UN MONDO DI PROBLEMI,
MA … MATEMATICI
• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi
matematici
8 aprile 2014
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese marzo maggio 2014
1
In questa immagine c'è una stella nascosta.
Siete capaci di vederla?
Soluzione
Nel disegno si trova una stella a cinque
punte. La stella in realtà non è nascosta,
è sotto i vostri occhi.
Concentratevi sulla figura ed osservatela
con la mente libera e ricettiva. Alcune
persone impiegano pochi minuti, altri
alcune ore, per altri ancora è necessario
qualche giorno, ma alla fine tutti trovano
la stella.
Di solito è un'illuminazione improvvisa
dopo un periodo più o meno lungo di
ricerche senza successo.
Da quel momento in poi la stella sarà
vostra e nessuno potrà più togliervela.
Ogni volta che guarderete questo disegno
la vedrete subito, con estrema chiarezza,
per sempre.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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2
Questo è il segreto della matematica: un problema che
all'inizio sembra difficile e forse impossibile, dopo aver
ricevuto l'illuminazione, diventa facilissimo si ricorda per
tutta la vita.
Ma è importante non scoraggiarsi mai, non irritarsi e
soprattutto arrivarci da soli.
Ora calcola l’area della stella misurando ciò che ti serve con l’approssimazione
al millimetro. Quante stelle uguali a quella che hai trovato puoi riprodurre, al
massimo, nel disegno di Samuel Loyd?
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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3
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo,
Erickson)
In uno schema a forma di piramide si deve inserire un numero in ogni mattone
rispettando le seguenti regole:
•nessun mattone deve essere contrassegnato con il numero zero;
•i numeri sui mattoni della base della piramide devono essere diversi;
•ogni mattone che non forma la base della piramide deve essere contrassegnato
con la somma dei numeri indicati sui due mattoni sui quali è posato.
Completa le seguenti piramidi rispettando le regole.
A
5
2
4
1
3
•Come hai proceduto a
completare la piramide? …
…………………………………..
•Hai trovato difficoltà ad
effettuare il completamento? ….
Perché? ………………….
Per il completamento della piramide A sono assegnate più informazioni rispetto a quelle
minime, in modo da dare agli alunni la possibilità di un autocontrollo nella comprensione
e nella messa in opera della regole di compilazione delle piramidi.
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4
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo,
Erickson)
Completa le seguenti piramidi rispettando le regole.
B
9
6
11
•Come hai proceduto a
completare la piramide? …
…………………………………..
•Hai trovato difficoltà ad
effettuare il completamento? ….
Perché? ………………….
5
Nella piramide B si chiede di applicare un passaggio inverso: nota la
somma del valore di due mattoni e uno di tali valori, si deve ricavare l’altro
per differenza
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5
La piramide di mattoni
Attività per le classi prime e seconde
Problema: se si scambiano fra loro i due mattoni in basso, il numero che figura
nel mattone in alto cambia?
5
4
4
5
Scrivere un numero in forma additiva in modi diversi
La mia mini-piramide ha in cima un mattone in cui è rappresentato il numero 12. Sai
dirmi quali numeri possono figurare nei mattoni sui quali esso appoggia?
12
Posso usare tutti
gli amici del 12?
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6
Dopo l’addizione
Attraverso opportune situazioni problematiche ci si può avvicinare alla sottrazione.
Giacomo ha costruito la sua piramide. A Rita piaceva e l'ha copiata, ma
una macchia è caduta sul foglio. Sai dirmi cosa c'era scritto sotto la
macchia?
28
28
15
13
Ad alunni di quarta e quinta, con i
quali si sia già incontrato l’uso della
lettera al posto di un numero
sconosciuto, si propone una
rappresentazione diversa da quella
della macchia:
28
n
15
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7
Seconda fase
Conoscendo i numeri rappresentati nei mattoni del primo piano, completa la
piramide.
10
5
19
39
15
10
24
5
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19
8
Si propongono dei problemi nella cui soluzione è necessario ricorrere anche alla
sottrazione.
22
22
9
3
6
3
7
6
42
42
20
8
13
22
8
20
14
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6
9
Piramidi a tre piani.
Il problema può aprire il passaggio all’algebra.
Si inizia conducendo la classe a capire che il problema sarebbe
risolvibile se si conoscesse il numero nel mattone centrale della
base.
36
13
15
Alcuni alunni rimangono bloccati
ritenendo impossibile trovare
una soluzione; la maggior parte
però comincia a procedere per
tentativi ponendo un numero nel
mattone centrale della base e
trovando i numeri del secondo
piano, la cui somma dovrebbe
essere uguale a 36.
Da fare al corso
Far vedere solo la piramide da risolvere poi i commenti
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10
Piramidi a tre piani.
Se lo si rappresenta quindi con una lettera (ad esempio ‘a’), i numeri
nei due mattoni del secondo piano si possono indicare in questo modo:
36
13+a 15+a
13
a
15
La relazione di uguaglianza che
lega 36 con 13 + a e con 15 + a
porta all’equazione:
13 + a + 15 + a = 36
la cui soluzione consente di
completare la piramide:
13 + a + 15 + a = 36
28 + 2a = 36
2a = 36 – 28
2a = 8
a = 8:2
a=4
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11
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
Ecco alcune delle piramidi che chiedono un po’ più di abilità.
Completa le seguenti piramidi rispettando le regole.
A
50
10
13
•Come hai proceduto a
completare la piramide? …
…………………………………..
•Hai trovato difficoltà ad
effettuare il completamento? ….
Perché? ………………….
7
Da fare al corso
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12
Abbastanza semplice risulta il
completamento della metà di
sinistra della piramide A della
scheda 29b.
La modalità di completamento si
può differenziare per la parte a
destra della piramide, in quanto può
capitare che alcuni alunni
procedano per tentativi dai mattoni
della base fino a quello al vertice. È
sicuramente più economico, invece,
effettuare il completamento nel
verso opposto, ossia dal vertice alla
base; si ha:
50
23
10
7
13
3
10
50
27
23
10
7
14
13
3
10
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4
13
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
Completa le seguenti piramidi rispettando le regole.
80
B
23
11
21
•Come hai proceduto a
completare la piramide? …
…………………………………..
•Hai trovato difficoltà ad
effettuare il completamento? ….
Perché? ………………….
Da fare al corso
Per la piramide B è necessario osservare che il numero 80 al vertice è la
somma di 23, 21 e del doppio del numero segnato nel mattone racchiuso
tra i precedenti. Tale numero è, dunque, ottenibile con passaggi aritmetici
sintetizzabili nell’espressione
[80 – (23 + 21)] : 2 = 18
Il completamento della piramide è poi immediato.
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14
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
Completiamo la piramide inserendo il numero 18
80
41
23
11
39
18
12
21
6
15
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15
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
Ecco alcune piramidi di mattoni che vengono affrontate solo dai soci
più esperti del circolo “Enigmistica matematica”.
A
8
12
11
•Rispettando la regola, trova tutti i possibili
completamenti diversi, riproducendo la
piramide sul quaderno tutte le volte che ti è
necessario.
Da fare al corso
•Hai potuto completare la piramide in tanti modi diversi quanti ne avevi
previsti? ……………. Perché?
•Confronta il tuo lavoro con quello di un tuo compagno e discutine con
l’insegnante.
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16
Il problema sotteso dal completamento della piramide A consiste nel
determinare almeno uno dei numeri che contrassegnano i mattoni della
base della piramide.
Visti i numeri segnati sui mattoni della seconda fila, si devono trovare le
coppie di numeri, diversi da 0, amici di 8 nell’addizione, quelle di 12 e quelle
di 11.
A
Da quale numero
iniziamo?
8
12
11
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17
Si può decidere di utilizzare tutte le coppie di numeri amici di 8, che sono le
meno numerose, per tentare di compilare la piramide: le coppie da provare
sono solo (1, 7), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1), dato che (0, 8), (4, 4) e
(8, 0) non rispettano le regole, e danno luogo alle piramidi che seguono
8
1
12
7
8
11
5
(1, 7) dà una
soluzione
6
2
12
6
11
6
5
(2, 6) non dà una soluzione
perché nella base ci sono
due numeri uguali
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18
8
12
3
5
8
11
7
4
(3, 5) dà una soluzione
8
6
12
2
5
3
9
8
1
(6, 2) dà una soluzione
11
2
(5, 3) dà una soluzione
11
10
12
7
12
1
11
11
0
(7, 1) non dà una soluzione
perché un mattone è
contrassegnato con 0
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19
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
Ecco alcune piramidi di mattoni che vengono affrontate solo dai soci
più esperti del circolo “Enigmistica matematica”.
B
Secondo te, quante sono le coppie di numeri
( , ) che si possono scrivere al posto dei
punti? ………… Perché? ………
6
17
7
Da fare al corso
•Riproduci la piramide sul quaderno e completala in almeno cinque modi
diversi.
•Confronta il tuo lavoro con quello di un tuo compagno e discutine con
l’insegnante.
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20
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
B
6
17
7
Perché?
•La piramide B ammette infiniti completamenti, dato che è soddisfatta da
quasi tutte le coppie di numeri amici di 7 nella sottrazione: il primo
termine della coppia dà il numero da mettere nella seconda fila, il
secondo numero quello mancante nella prima fila; l’unica condizione è
che questo secondo numero sia diverso da 0, da 6, da 7 e da 17.
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21
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
I soci del circolo “Enigmistica matematica” non si accontentano di completare le
piramidi: vogliono capire quali regole matematiche si nascondono nei mattoni. Si
sono posti un primo problema:
se si cambia l’ordine in cui sono scritti i numeri sui mattoni della base di una
piramide, cambia il numero sul mattone al vertice?
I soci hanno fissato come piramide di partenza quella data nel disegno e ora
sono tutti all’opera per costruire tutte le piramidi che si ottengono da questa
cambiano il posto dei numeri nella prima riga.
4
3
2
1
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22
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
Numero nel
Il problema connesso alla prima
piramide consiste nel cogliere
come cambia il numero al
vertice, modificando la
disposizione dei numeri alla
base. È possibile che gli alunni
ipotizzino che il numero al
vertice non cambia anche se i
numeri alla base vengono scritti
in ordine diverso, perché vale la
proprietà commutativa
dell’addizione. È, però, facile
verificare che tale ipotesi non è
vera. Per dare una risposta
esaustiva si devono analizzare
tanti casi quante sono le
permutazioni dei quattro numeri
alla base, ossia 24, nella
tabella che segue sono indicate
tutte le possibili quaterne e per
ciascuna la somma al vertice
Somma al
vertice
1° m.
2° m.
3° m.
4° m.
4
3
2
1
20
4
3
1
2
18
4
1
2
3
16
4
1
3
2
18
4
2
1
3
16
4
2
3
1
20
3
1
2
4
16
3
1
4
2
20
3
2
1
4
16
3
2
4
1
22
3
4
1
2
20
3
4
2
1
22
2
1
3
4
18
2
1
4
3
20
2
3
1
4
18
2
3
4
1
24
2
4
1
3
20
2
4
3
1
24
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23
Un punteggio particolare
Sergio ha piantato le sue frecce su
questo bersaglio.
Ha ottenuto un totale di 100 punti.
Tutte le frecce hanno colpito il
bersaglio.
Quante frecce ha dovuto lanciare
Sergio per ottenere questo
notevole risultato?
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24
Il problema si risolve facilmente se si imposta una tabella a doppia entrata relativa ai
punteggi che si ottengono colpendo ciascuna zona 1, 2, 3, …n volte
Numero frecce lanciate
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
11
22
33
44
55
66
77
88
99
13
13
26
39
52
65
78
91
31
31
62
93
33
33
66
99
42
42
84
44
44
88
46
46
92
Naturalmente in ogni riga ci si ferma al numero maggiormente prossimo a 100 e
successivamente si esamina ciascun numero della tabella e si cerca in essa il suo
completamento a 100.
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25
il completamento a 100 è 89
non c’è
22
il completamento a 100 è 78
c’è
33
il completamento a 100 è 67
non c’è
Es.11
………………………………………………………………………….
Esaurite le prove si conclude che l’unica soluzione è:
22 + 78 = 100
cioè
2 x 11 + 6 x 13 = 100
(2 + 6) frecce = 8 frecce
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26
Un tirassegno particolare
In un bersaglio la corona circolare
più esterna vale 1 punto, la
successiva vale 2 punti, le altre 4,
8, 16, punti e infine il centro vale
32.
In quanti modi si possono
totalizzare 51 punti tirando 5
freccette?
Si tenga presente che non conta
l’ordine in cui si tirano le freccette e
che le freccette che sbagliano il
bersaglio valgono 0 punti.
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27
Il problema diventa più interessante se si tiene conto della seguente
osservazione: “qualunque numero naturale può essere scritto come
somma di potenze di due”.
Scuola secondaria di primo grado
Scrittura dei numeri in base due
In base due le cifre utilizzate sono 0 e 1 e, ciascun numero, come in tutte le basi,
ha una e una sola codificazione.
Es.: 27= 1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21+ 1x20 = 110011
Il 27 può anche essere scritto, come somma di potenze di due
27 = 16 + 8 + 2 + 1
Possiamo però scrivere altre addizioni che diano 27 usando solo le potenze del
due ripetute.
27 = 16 + 4 + 4+ 1 + 1 + 1
Quando gli alunni hanno scritto alcuni numeri in questo modo possiamo proporre
il problema “ Un tirassegno particolare
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28
(Problema dato alle Olimpiadi di matematica del 1993, Gara Junior)
Scriviamo il 51 come somma di potenze di 2:
51 = 32 + 16 + 2 + 1
Poiché si devono usare cinque freccette possiamo aggiungere uno
zero alla somma indicate oppure possiamo scomporre uno degli
addendi in somma di potenze di 2.
Si hanno le seguenti quattro possibilità;
51 = 32 + 16 + 2 + 1 + 0
51 = 16 + 16 + 16 + 2 + 1
51 = 32 + 8 + 8 + 2 + 1
51 = 32 + 16 + 1 + 1 + 1
Se non si vuole trattare la scrittura in base due gli alunni procedono
per tentativi. Anche in questo caso devono trovare tutte le soluzioni.
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29
Dove era la pallina caduta?
Collection DIAGONALE.- Math en fleche - ed. Nathan- Paris 1993
Una pallina si è staccata
dal disco del tirassagno.
Prima della caduta della
pallina il totale dei punti
marcati era 305.
In quale zona si trovava la
pallina che si è staccata?
305 – (5x3 + 10x3 + 50x3 + 100) = 305 – (15 + 30 + 150 + 100) =
= 305 – 295 = 10
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30
IL BERSAGLIO
(da Relly matematico 1999/2000 F.Jaquet …)
Saverio ha ottenuto un totale di 11 punti lanciando le sue quattro freccette su
questo bersaglio
Egli sostiene che tirando ogni volta
quattro freccette può ottenere tutti i
possibili punteggi da 3 a 20
0
3
5
Che casa ne pensate?
Per ogni punteggio trovato, indicate
i calcoli
(Un po’ più difficile) Le frecce sono 7
(5,5,3,3,3,0,0) per un totale di 19, e i
possibili punteggi da 3 a 35
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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31
IL BERSAGLIO
0
(da Relly matematico 1999/2000 F.Jaquet …)
Ambito concettuale
-Aritmetica
3
5
-Inventare addizioni con quattro addendi
Analisi del compito
-Comprendere che
3=3 + (3 x 0) è il punteggio minimo
20=5 x 4 è il punteggio massimo
- Verificare per tentativi la possibilità
di ottenere i numeri compresi tra 3 e
20:
Non si può ottenere né 4, né 7, né 17, né 19
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32
Il gioco dei birilli
Dalla rivista :
MATH ECOLE n.168, agosto 1995, pag.39.
In questo gioco vi sono sette birilli che valgono:
28, 27, 19, 15, 25, 18 e 22 punti.
Nel corso del gioco, come vedi nella
figura, alcuni birilli sono caduti.
Quelli che sono rimasti in piedi
totalizzano 66 punti.
Trovare il valore di ciascuno di
questi birilli.
Soluzione: 19 – 25 - 22
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33
Il gioco dei birilli … e se
In questo gioco vi sono sette birilli che valgono:
28, 27, 19, 15, 25, 18 e 22 punti.
Nel corso del gioco, come vedi nella
figura, alcuni birilli sono caduti.
Quelli che sono rimasti in piedi
totalizzano 56 punti.
Trovare il valore di ciascuno di
questi birilli.
Soluzione: 19 – 15 - 22
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34
Il divertimento di
Tommaso ( Math-Ecole
n.169, ottobre 1995,
pag.12, n.1)
A questo gioco si
lanciano delle palle per
far cadere delle scatole,
tutte uguali e disposte
come in figura.
Quando una scatola cade trascina con sé, nella caduta,
tutte le scatole che stanno sopra di essa.
Alla fine del gioco si contano tutti i punti segnati sulle
scatole cadute.
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35
a)Tommaso ha ottenuto esattamente 33 punti. Quali
scatole ha fatto cadere?
( Risposta: 7, 9, 4, 2, 6, 5)
b)Tommaso dice che ha ottenuto i 33 punti lanciando
solamente due palle. Quali sono le due scatole che ha
toccato con le sue due palle?
( Risposta : 7 , 5 )
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36
La bilancia: un cubo è di troppo!
(Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11)
Giacomo ha nove cubi, di materiali differenti, che pesano: 1, 3, 5, 7, 8,
10, 11, 13, e 15 grammi. Ne mette quattro sul piatto di destra di una
bilancia e quattro su quello di sinistra. Per ristabilire l’equilibrio, sul
piatto di destra deve aggiungere un peso di 30g.
?
Quale può essere il cubo che non si trova sulla bilancia? Spiega il
ragionamento che fai.
E se mettessi 5 pesi sul piatto di sinistra e 3 su quello di destra, senza
modificare le altre condizioni, potrei raggiungere l’equilibrio scartando un
cubetto? Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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37
La bilancia: un cubo è di troppo!
(Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11)
Soluzione
30g
?
p.p.
peso per piatto
p.c.d.
peso cubetti destra
c.s
peso cubetto scartato
4c. ?
4 cubetti?
Peso in grammi dei cubetti
1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13 e 15
Peso totale in grammi: 103
I pesi sono in grammi
30g
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38
La bilancia: un cubo è di troppo!
(Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11)
 Avendo 7 addendi dispari potevamo prevedere che la
somma fosse dispari! (1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13 e 15, 30)
 103 è dispari quindi non può essere diviso in due parti
uguali da mettere sulla bilancia.
Perché l’equilibrio sia possibile dobbiamo:
• scartare un peso dispari
• controllare se i pesi rimanenti possono
essere disposti come indicato nel disegno:
quattro cubetti su ogni piatto più il peso da 30g
 Esaminiamo tutti i casi possibili notando che il peso
minimo di 4 cubetti è, in grammi, 1+3+5+7=16 Conviene
fare uno schema:
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese marzo maggio 2014
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La bilancia: un cubo è di troppo!
(Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11)
c.s.
p.p.
p.c.d.
4c.?
1
102 : 2 = 51
51-30=21
21
. . . . no
3
100 : 2 = 50
50-30=20
20
. . . . no
5
98 : 2 = 49
49-30 =19
19
1+3+7+8 sì
7
96 : 2 = 48
48-30=18
18
. . . . no
11
92 : 2 = 46
46-30=16
16
1+3+5+7 sì
Inutile continuare perché avevamo notato che 16g era il più piccolo peso
di cui disponevamo.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese marzo maggio 2014
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La bilancia: un cubo è di troppo!
(Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11)
E se mettessi 5 pesi sul piatto di sinistra e 3 su quello di destra, senza modificare le
altre condizioni, potrei raggiungere l’equilibrio scartando un cubetto?
Esaminiamo tutti i casi possibili notando che il peso minimo di 3 cubetti è, in grammi,
1+3+5= 9.
SCHEMA
c.s.
p.p.
p.c.d.
3 c. ?
1
102 : 2 = 51
51-30=21
21
3 7 11
3
100 : 2 = 50
50-30=20
20
5 7 8
5
98 : 2 = 49
49-30 =19
19
1 8 10
7
96 : 2 = 48
48-30=18
18
3 5 10
11
92 : 2 = 46
46-30=16
16
3 5 8
13
90 : 2 = 45
45-30=15
15
3 5 7
15
88 : 2 = 44
44-30=14
14
1 5 8
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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