UN MONDO DI PROBLEMI,
MA … MATEMATICI
• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi
matematici
6 maggio 2014
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese marzo maggio 2014
1
Una curiosa leggenda narra che un pescatore trovò lungo le rive del fiume Lo, un affluente del
fiume Giallo, una tartaruga che portava incisi sul suo guscio degli strani segni geometrici. Il
pescatore portò la tartaruga all’imperatore e i matematici al suo servizio studiando quei segni,
scoprirono una imprevedibile struttura: un quadrato di numeri con somma costante 15 su ogni
riga, colonna o diagonale. Lo Shu, così venne battezzato questo quadrato numerico, diventò
uno dei simboli sacri della Cina, rappresentazione dei più arcani misteri della Matematica e
dell’Universo.
I segni sul guscio della tartaruga e la loro traduzione in numeri
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2
I cinesi attribuirono alle sue proprietà
matematiche un significato mistico, tanto da
farne il simbolo che in sè riuniva i principi
primi che formarono le cose, gli uomini e
l'universo e che tuttora sono in esso presenti.
Così i numeri pari vennero a simbolizzare il
principio femminile dello yin, mentre i dispari
quello maschile dello yang. Al centro vi è il
numero 5 che appartiene alle due diagonali,
alla colonna e alla riga centrali: esso
rappresenta la Terra. Tutto attorno sono
distribuiti i quattro elementi principali: i metalli
simbolizzati dal 4 e dal 9, il fuoco indicato dal
2 e dal 7, l'acqua dall'1 e dal 6 e il legno dal 3
e dal 8.
I quadrati magici probabilmente giunsero in
Occidente attraverso gli Arabi.
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3
Il matematico Cornelio Agrippa
(1486-1535) si dedicò alla
costruzione dei quadrati magici
di ordine superiore a due,
infatti costruì quadrati magici di
ordine 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e a
essi attribuì un significato
astronomico: rappresentavano
i sette pianeti allora conosciuti
(Saturno, Giove, Marte, il Sole,
Venere, Mercurio e la Luna).
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4
Dal Rinascimento in poi c’è sempre stato
interesse per queste figure che, intagliate nel
legno o in altri materiali, servivano come amuleti
e sono tuttora in uso in alcune regioni
dell’Oriente. Nel '500 e nel '600 si pensava che
questi quadrati magici incisi su una piccola
lastra d’argento potessero servire come amuleti
contro la peste. L’alone di mistero e di magia
che circonda queste figure geometriche è in
parte comprensibile se si analizzano le loro
sorprendenti possibilità combinatorie.
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5
Bisogna attendere il 1300 per avere una
prima vera analisi sui quadrati magici da
un punto di vista meramente matematico.
Analizzando il lavoro dell'arabo Al-Buni,
l'erudito bizantino greco
Manuel Moschopoulos (circa 1265 - 1316)
scrisse un trattato matematico a proposito dei
quadrati magici, andando oltre il misticismo dei
suoi predecessori. Si pensa che
Moschopoulos fu il primo occidentale ad
occuparsi dell'argomento.
Manuel Moschopoulos
Intorno alla metà del XV secolo, l'italiano Luca
Pacioli studiò queste strutture e raccolse
tantissimi esempi. Si cominciava così a dare
la giusta interpretazione della struttura
logico-matematica di queste griglie di
numeri.
Luca Pacioli
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6
Nel 1599 Diego Palomino pubblicò a Madrid un'opera sui
quadrati magici, ma non indicò alcun procedimento
generale per costruirli.
Un elegante metodo per trovare quelli di ordine dispari fu pubblicato nel 1612 da C.
G. Bachet nei suoi Problèmes plaisant.
Un procedimento per la costruzione dei quadrati di ordine pari fu dato da B. Frenicle
De Bessy in un'opera pubblicata nel 1693
Le pubblicazioni sui quadrati magici divennero, poi, sempre più frequenti ed è così
che apparvero le Rècrèations di Ozanam, il Traitè des quarrès sublimes di Poignard
(Bruxelles, 1704) e varie memorie di L. Eulero.
Oggi, grazie anche a Martin Gardner che ne ha data ampia diffusione nei suoi
articoli su "Scientific American" prima e nel suo Enigmi e giochi matematici vol. 2 poi,
i quadrati magici sono diventati parte fondamentale di quella branca della
Matematica che va sotto il nome di Matematica Ricreativa.
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7
Albrecht Dürer
Melancolia I
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8
Ecco il particolare dell’incisione:
Addizionando tra loro i numeri di ogni colonna, ogni riga e ogni diagonale si ottiene sempre
Il medesimo risultato,
34.
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9
Basilica della Sagrada Familia a Barcellona,
Si tratta del quadrato magico di Josep Maria Subirachs Sitjar.
Nel crittogramma di Subirachs non sono presenti i numeri 12 e 16 (mentre i
numeri 10 e 14 sono ripetuti due volte) e il risultato della somma dei numeri
di ciascuna riga, colonna e diagonale è 33, gli anni della vita di Gesú.
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10
Un quadrato magico è un quadrato diviso in nxn caselle quadrate
Le caratteristiche di un quadrato magico sono le seguenti:
in ciascuna casella appare un numero naturale diverso da zero;
un dato numero non appare più di una volta;
se la somma dei numeri di una data riga è s, deve essere s la
somma dei numeri:
di ogni riga
di ogni colonna
di ogni diagonale del quadrato
Il numero s si dice “la chiave” del quadrato magico.
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11
Nel quadrato magico
della fig.1 la chiave è 34
Fig. 1
16
2
3
13
34
5
11
10
8
34
9
7
6
12
34
4
14
15
1
34
34
34
34
34
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34
12
Costruire quadrati magici
Un criterio generale per costruire quadrati magici di ordine nxn non è
facile da trovare.
Nell’esempio che segue ci riferiamo ad un quadrato magico di ordine 3x3
 la cui chiave è 24 (scelta a caso)
 e nel quale abbiamo sistemato, sempre a caso: 3 e 7
Fig. 2
3
7
Fig. 3
x
3
x
21-x
7
x-11
28-x
14
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2x-25
13
Costruire quadrati magici
Fig. 3
3
x
21-x
7
x-11
28-x
14
2x-25
1^ colonna:
3^ casella 24 – (3 + 7) = 14
1^ riga:
3^ casella 24 – (3 + x) = 21 – x
diagonale:
2^ casella 24 – (14 + 21 - x) = x – 11
2^ riga:
3^ casella 24 – (7 + x - 11) = 28 – x
3^ colonna:
3^ casella 24 – (21 – x + 28 - x) = 2x - 25
Abbiamo dati sufficienti per impostare un’equazione da cui trovare x.
Tale equazione è data dall’altra diagonale:
3 + (x – 11) + (2x – 25) = 24
da cui si ha x = 19
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14
Costruire quadrati magici
Nella fig.3, sostituendo ad x il numero 19, abbiamo il seguente quadrato magico.
Fig. 4
3
Abbiamo un numero negativo; ciò dice
che la chiave scelta era incompatibile
con i numeri assegnati.
19
2
Cosa fare?
7
8
9
14
-3
13
Basta addizionare ad ogni numero del
quadrato magico uno stesso numero in
modo da rendere positivo (e quindi essere
messo in corrispondenza con il naturale)
anche il numero -3.
Dobbiamo addizionare un numero
maggiore di 3
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15
RIFLETTIAMO
• COSA SI INTENDE CON LA SCRITTA
3
2 
4
2 3 8 3 11
   
1 4 4 4
4
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16
Costruire quadrati magici
Per esempio se addizioniamo 4 otteniamo il quadrato magico della Fig.5.
36
Fig.5
7
23
6
36
11
12
13
36
18
1
17
36
36
36
36
36
Questo quadrato non ha più chiave 24, ma ha chiave:
24 + (4 x 3) = 36
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17
Costruire quadrati magici
Chiave 14
17
x
3
Può darsi che il procedimento seguito ci
porti ad un valore frazionario di x
3
17
3
16
3
7
14
3
7
3
11
3
19
3
14
Fig. 6
Cosa fare?
Basta moltiplicare tutti i numeri del
quadrato magico per 3 (o per un multiplo
di 3).
In tal modo otteniamo un quadrato magico
dove appaiono solo numeri interi.
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18
Costruire quadrati magici
La chiave del quadrato di Fig.6 era 14, la nuova chiave è:
14 x 3 = 42
42
9
17
16
21
14
7
42
12
11
19
42
42
Fig.7
42
42
42
42
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19
Costruire quadrati magici
Per lo più i numeri che formano un quadrato magico sono scritti in
progressione aritmetica (cioè formano una successione di numeri in
cui la differenza tra un termine e quello successivo è costante), ma ciò
non è necessario.
Per semplicità si usa spesso una particolare progressione aritmetica
costituita dalla serie ordinata dei numeri naturali a cominciare
dall’unità.
il problema allora è quello di disporre i primi nove, sedici, venticinque
ecc… numeri naturali nelle caselle di un quadrato 3x3, 4x4, 5x5,
… in modo che il quadrato sia magico.
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20
Quando il quadrato magico è di ordine dispari, cioè formato da 3x3,
5x5, ecc. caselle esiste un metodo generale per costruirlo, metodo difficile
da giustificare.
Quadrato 3 x 3: numeri da 1 a 9, chiave 15
1
4
7
2
5
8
3
6
9
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Si possono evitare le frecce e
dare una regola generale?
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21
I quadrati magici a scuola
Problema:
Nel quadrato a fianco disponi i numeri
da 1 a 9 in modo che la somma dei
numeri situati sulla stessa riga, sulla
stessa colonna o sulla stessa diagonale
del quadrato sia sempre 15.
il quadrato che ottieni si chiama
quadrato magico.
Tentativi casuali
Tentativi guidati
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22
Scrivere tutte le terne di numeri naturali (non ripetuti) la
cui somma è 15.
9
9
8
8
8
7
7
6
1
2
1
2
3
2
3
4
5
4
6
5
4
6
5
5
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23
Abbiamo fatto notare che:
c
b
a
Il numero che
occupa la
posizione a
appartiene a
Il numero che
occupa la posizione
b appartiene a
Il numero che
occupa la posizione
c appartiene a
3 terne
2 terne
4 terne
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24
Osservando le terne scritte si nota che l’unico numero che appartiene a 4
terne è il 5.
Il 5 si trova al centro del quadrato
9
9
8
8
8
7
7
6
1
2
1
2
3
2
3
4
5
4
6
5
4
6
5
5
8
4
5
2
6
I numeri che appartengono a 3 terne sono: 4 – 2 – 8 – 6 e vanno scritti nei
quattro angoli (due a caso e gli altri devono soddisfare le terne scritte)
Es.: Se nella prima casella della prima riga scrivo 4, nella terza casella
del’ultima riga devo scrivere 6.
Se nella prima casella dell’ultima riga scrivo 8, nella terza casella della prima
riga devo scrivere 2.
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25
Ipotesi
La disposizione dei nove
numeri per formare un
quadrato magico non è
unica.
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26
Isometrie del quadrato (otto)
rotazioni
8
1
6
3
5
7
4
9
2
Posizione di partenza
4
9
2
3
5
7
8
1
6
1/4 di giro a destra
6
1
8
7
5
3
2
9
4
3/4 di giro a destra
2
7
6
9
5
1
4
3
8
2/4 di giro a destra
8
3
4
1
5
9
6
7
2
4/4 di giro (a destra
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27
Isometrie del quadrato (otto)
Simmetrie assiali
a
d
c
8
1
6
b
3
4
5
9
6
7
2
1
5
9
8
3
4
4
3
8
9
5
1
2
7
6
7
2
Posizione di partenza
Asse a
2
9
4
Asse c
Asse b
7
5
3
6
1
8
8
1
6
3
5
7
4
9
2
Asse d
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28
La chiave del quadrato magico
Quando i numeri sono in progressione
aritmetica e il quadrato magico è di ordine tre,
la chiave del quadrato è sempre il triplo del
numero centrale.
Si verifica su molti esempi diversi fino a
dedurre che “è molto probabile” che ciò
accada sempre.
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29
La chiave del quadrato magico
Approfondimento per la scuola sec. di primo grado
Se i numeri sono in progressione aritmetica la somma dei termini
equidistanti dagli estremi è costante.
Es.: nella progressione
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Si ha: 1 + 9 = 2 + 8 =3 + 7 = 4 + 6 =10
Rispetto al 5, che è il numero centrale, si ha la seguente struttura:
5
5-1
5-2
5+1
5+2
5-3
5+3
5-4
5+4
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30
Approfondimento per la scuola sec. di primo grado
5
5-1
5+1
5-2
5+2
5-3
5+3
5-4
5+4
Le terne diventano
4 + 5 + 6 = (5 – 1) + 5 + (5 + 1) = 5 x 3 = 15
3 + 5 + 7 = (5 – 2) + 5 + (5 + 2) = 5 x 3 = 15
2 + 5 + 8 = (5 – 3) + 5 + (5 + 3) = 5 x 3 = 15
ecc.
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31
Approfondimento per la scuola sec. di primo grado
In generale, se a è il numero della casella centrale, fissato a piacere, si
costruiscono i numeri della progressione aggiungendo e togliendo ad a i
multipli di uno stesso numero n, scelto in modo che le sottrazioni siano tutte
possibili.
I nove numeri della progressione sono allora:
a – 4n, a – 3n, a – 2n, a – n, a + n, a +2n, a +3n, a +4n
Ecco un possibile quadrato la cui chiave è 3a
a-3n a+4n
a-n
a+2n
a-2n
a+n
a
a-4n a+3n
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32
Ragioniamo con i numeri
UN QUADRATO MAGICO
Verifica che è un quadrato magico, cioè che la somma dei numeri situati in
ogni riga, in ogni colonna e in ogni diagonale è la stessa.
……..
15
8
1
6
3
5
7
4
9
2
……..
15
……..
15
La chiave del quadrato magico è 15
……
15
……..
……..
……
15 ……
15 ……
15
15
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33
COSTRUIAMO QUADRATI MAGICI
Nel quadrato disegnato sotto, disponi i numeri da 2 a 10 in modo che la somma
dei numeri situati in ogni riga, in ogni colonna e in ogni diagonale del quadrato
sia sempre 18.
Per aiutarti, scrivi prima tutte le terne possibili con i numeri naturali da 2 a 10,
non ripetuti, la cui somma è 18.
10
6
2
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
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34
Segui la traccia per inserire i nove numeri nelle caselle del quadrato
Il numero ………. appartiene a 4 terne,
quindi va scritto nella casella ………………………..
I numeri ………………. appartengono a 3 terne,
dunque vanno scritti nelle caselle ………………
I numeri ………………… appartengono a 2 terne,
dunque vanno scritti nelle caselle ………
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35
Trascrivi i numeri e controlla se la loro somma in ogni riga, in ogni
colonna e in ogni diagonale è 18.
……..
……..
……..
……..
……..
…… …… ……
Confronta il tuo lavoro con quello di un tuo compagno.
Che cosa noti?
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36
ORA PROVA tu!
Scegli un numero diverso da 0; a partire da questo, scrivi gli otto
numeri successivi che ottieni numerando per 3.
3
6
9
12
15 1 8
21 24
27
Inserisci i nove numeri nelle caselle con la seguente regola: ogni
numero si sposta, dentro il quadrato, in verticale o in orizzontale
a3
b12
c
21
6
15
24
9
18
27
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37
Trascrivi i numeri nelle caselle della seguente tabella e calcola la loro somma
in ogni riga, in ogni colonna e in ogni diagonale.
Che cosa è la tabella che hai completato?
…………………………………………..
……..
……..
……..
……..
……..
……
……
……
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38
Successione numerica
Una successione numerica è una funzione reale definita solo sui numeri
naturali;
f:N
R
Una funzione di questo tipo associa quindi ad ogni numero naturale n un
certo valore reale f(n).
Per semplificare la notazione in generale si indica con:
f(n) = an
Esempio:
1
an =
n
nN* definisce la successione 1;
1
1
;
;…
2
3
mentre
an= n2
nN definisce la successione 0; 1; 4; 9;…
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39
progressione aritmetica
Si dice proggressione aritmetica una successione di interi per i quali sia
costante la differenza tra due qualunque termini consecutivi. Tale differenza è
detta ragione della successione.
ESEMPI:
Sono successioni aritmetiche anche le famose "tabelline“.
Considerando come base della tabellina il generico numero naturale n, si
ha che la progressione
n, 2n, 3n, 4n .... 10n
è una progressione aritmetica di ragione n.
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40
Esempio
Si consideri la progressione ottenuta partendo da 1 e numerando per quattro, quindi
applicando successivamente l’operatore + 4; i suoi primi 5 elementi sono:
1 +4
5 +4
9 +4
13 +4
17, …
Se invece di scrivere i risultati dell’applicazione dell’operatore, si lascia indicata
l’espressione, si coglie la regola che consente di determinare un numero qualunque della
successione in base alla sua posizione, senza determinare tutti i precedenti:
 primo elemento della successione
 il secondo elemento della successione si
ottiene aggiungendo una volta 4 al primo,
9 = (1 + 4) + 4 = 1 + (4  2)  il terzo elemento della successione si ottiene
aggiungendo due volte 4 al primo,
13 = (1 + 4 + 4) + 4 = 1 + (4  3)  il quarto elemento della successione si
ottiene aggiungendo tre volte 4 al primo,
17 = (1 + 4 + 4 + 4) + 4 = 1 + (4  4)  il quinto elemento della successione si
ottiene aggiungendo quattro volte 4 al
primo.,
…
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41
1
5 = 1 + 4 = 1 + (4  1)
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Dopo avere sintetizzato in una tabella come la seguente:
Posizione nella
successione
Numero
Quante volte è stato addizionato 4
al numero iniziale?
1°
1
0
2°
3°
4°
5°
5
9
13
17
1
2
3
4
si possono guidare gli alunni nella ricerca della regola che consente di
esprimere un numero della successione non in funzione del precedente, ma
del primo: per ottenere il numero che occupa la posizione n è sufficiente
addizionare al numero iniziale 1 il numero 4 per (n – 1) volte. In forza di
questa osservazione, il numero che occupa, per esempio, la decima
posizione nella progressione è 1 + (4  9) = 1 + 36 = 37.
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42
Verifica…divertente!
Si può fare verificare ai bambini su alcuni casi particolari che la
differenza tra due numeri qualsiasi della progressione è un multiplo
di 4:
13 – 5 = 8 = 4  2,
17 – 1 = 16 = 4  4,
……………………..
Questa proprietà è una condizione necessaria che permette di
stabilire se un numero appartiene o non appartiene alla
progressione.
Per esempio, 26 non appartiene alla progressione, in quanto la
differenza tra 26 e 17 è 9, che non è un multiplo di 4.
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43
Successioni numeriche - Progressioni aritmetiche
TORRI DI FIAMMIFERI
Filippo sta facendo con i fiammiferi un gioco … per niente
pericoloso: ha costruito una prima torre formata da un solo quadrato
di 4 fiammiferi, poi ne ha costruita un’altra formata da due quadrati
di fiammiferi, e così via
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TORRI DI FIAMMIFERI
Completa la tabella
numero
d’ordine
della torre
numero di
fiammiferi
della torre
1a
4
2a
7
3a
totale fiammiferi
con addizioni
con un’espressione
4+3
4 + (3  1)
4+3+3
4a
5a
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45
Completa la tabella
totale fiammiferi
con addizioni
con un’espressione
7
4+3
4 + (3  1)
3a
10
4+3+3
4 + (3  2)
4a
13
4+3+3+3
4 + (3  3)
5a
16
4+3+3+3+3
4 + (3  4)
numero
d’ordine
della torre
numero di
fiammiferi
della torre
1a
4
2a
•Osservando la tabella, riesci a ricavare un metodo per sapere quanti
fiammiferi servono per costruire una torre in base al posto occupato dalla torre
nella successione? … Quale?…
•Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno.
•In base al metodo che hai trovato, calcola quanti fiammiferi dovrebbero
servire a Filippo per costruire la decima torre della successione.
•Verifica la tua risposta costruendo la decima torre.
•Quanti fiammiferi servono per costruire la torre che occupa il quindicesimo
posto nella successione? …………………………………………
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46
GIOCHIAMO CON I NUMERI
Scopri la regola che nella successione permette di ottenere un numero dal
precedente. Con la stessa regola completa gli spazi liberi.
4
11
18
…….
…….
25
……..
……..
……..
…….
A partire da 4 la regola è ……………………………………………
- Completa la tabella
Numero
d’ordine della
successione
Numero
1a
4
2a
11
3a
Addizioni eseguite dal
primo numero
Con un’espressione
4 +…
4 + (…  1)
4 + …+ …
4a
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47
- Completa la tabella
Addizioni eseguite dal
primo numero
Con un’espressione
11
4+7
4 + (7  1)
3a
18
4+7+7
4 + (7  2)
4a
25
4+7+7+7
4 + (7  3)
Numero
d’ordine della
successione
Numero
1a
4
2a
•Osservando la tabella, riesci a ricavare un metodo per sapere che numero
occupa una certa posizione nella successione? …Descrivilo? …….
•Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno.
•In base al metodo che hai trovato, calcola che numero occupa il tredicesimo
posto nella successione …………………
Che numero occupa il trentesimo posto? ……….
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Un po’ di esercizi
Dahttp://utenti.quipo.it/base5/scuola/addites.htm
Completate i seguenti quadrati magici.
9
19
5
14
15
17
11
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16
49
METODO NUMERICO PER TROVARE LE 8 POSSSIBILITÀ
2
5
8
2
4
2
5
6
6
5
8
4
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8
50
8
5
2
8
4
8
5
6
6
5
2
4
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2
51
2
5
8
4
2
6
5
8
2
5
6
8
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4
52
8
5
2
4
8
6
5
2
8
5
6
2
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4
53
Numeri in incognito (soluzione non unica) (da “Nel mondo della matematica”
vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
(58  ) +  = 300
si deduce che
- il numero che corrisponde al simbolo  deve essere un
numero minore di 6, dato che 58  6  300
- il prodotto 58   è un numero pari, che può essere 0, 58 o
maggiore di 58
- il numero che corrisponde a  deve essere un numero pari,
diverso da 0 e non maggiore di 300.
Conviene procedere per sostituzioni a partire da , dato che
il valore di  si ottiene semplicemente per differenza:


0
1
2
3
4
300 242 184 126 68
5
10
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54
E se fosse…
(58  ) + 2   = 301
Non ho soluzioni perché la somma di due numeri pari
non può essere un numero dispari
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55
QUAL È IL PROBLEMA?
Segna con una crocetta quali fra i seguenti problemi si possono risolvere con
l’espressione indicata
(36 – 7 ) – ( 9 + 12 )
1) Marco gioca a biglie con alcuni amici. Prima di iniziare il gioco ha 36 biglie;
nel corso della prima partita ne perde 7, senza vincerne nessuna.
Durante la seconda partita Marco perde 9 biglie e ne guadagna 12.
Quante biglie ha alla fine?
2) Al termine delle lezioni 36 alunni prendono lo scuolabus per tornare a casa.
Alla prima fermata scendono solo 7 bambine. Alla fermata successiva
scendono 12 maschi e 9 femmine.
Quanti alunni sono ora sullo scuolabus?
3) Sergio ha una scatola contenente 36 nuove matite colorate. Ne toglie 7 per
colorare un quadretto da regalare alla mamma. Le sue sorelle, Mara e
Tiziana, desiderano provare i nuovi colori e chiedono a Sergio il permesso
di usarli; Sergio acconsente. Mara toglie allora dalla scatola 9 matite e
Tiziana 12.
Quante matite colorate contiene ora la scatola?
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56
QUAL È IL PROBLEMA?
Segna con una crocetta quali fra i seguenti problemi si possono risolvere con
l’espressione indicata
(36 – 7 ) – ( 9 + 12 )
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
Il compito consiste nell’individuare i problemi la cui risoluzione aritmetica può
essere formalizzata con le espressioni aritmetiche date; ciò significa non
solo individuare le operazioni risolutive, ma anche l’esatto ordine di
applicazione.
L’espressione corrisponde ai problemi 2 e 3; particolarmente ingannevole è il
problema 1, in quanto ad esso può essere associata l’espressione (36 – 7)
– 9 + 12, che differisce da quella data “solo” per la mancanza di una delle
coppie di parentesi rotonde.
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57
LA COMBINAZIONE DELLA CASSAFORTE
Il signor Gianni Smemorini ha dimenticato la combinazione della sua cassaforte;
chiama a raccolta tutta la famiglia per vedere se mettendo insieme i loro ricordi si
riesce a ricostruire la combinazione.
Il signor Gianni ricorda che il numero è formato da 5 cifre tra loro diverse
la moglie dice che la prima cifra è 9
il figlio ricorda che l’ultima cifra è 8
la figlia è certa che la somma dei valori delle cifre della combinazione è 22.
Con queste informazioni la famiglia Smemorini riesce a trovare alcune
possibili combinazioni.
* Scrivi tutte le possibili combinazioni che rispettano le informazioni date.
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
Le informazioni date esplicitamente consentono di fissare la prima e l’ultima
cifra della combinazione della cassaforte:
9
8
La somma dei valori delle cifre della combinazione è 22, quindi la somma dei
valori delle cifre mancanti è 22 – (9 + 8) = 5. Tale somma deve essere
ottenuta con tre addendi distinti; si hanno i casi
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58
90148
90418
90238
90328
91048
91408
92038
92308
93028
93208
94018
94108
Nella seconda parte del
problema viene data
un’ulteriore informazione
(l’ordine decrescente dei
valori delle prime quattro cifre
della combinazione) che
permette di ridurre le
soluzioni possibili alle due
seguenti
93208
94108
Dato che il signor Gianni ha a disposizione tre tentativi per aprire la
cassaforte prima di fare scattare l’allarme, ora può provare
entrambe le combinazioni senza correre rischi.
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59
CRIPTOARITMETICA
• Completare la seguente addizione in tutti i modi possibili
3 a 7
2 b c
5 4 1
N.B. Lettere diverse non “nascondono” necessariamente
numeri diversi.
Sicuramente è c=4.
Poiché le centinaia sono a posto la somma delle decine non
deve avere riporto.
Ragioniamo sulle decine :
1+a+b=4 allora a+b =3 , cioé a,b sono gli ¨amici del 3 ¨
in addizione, precisamente:
a=0
b=3
a=3
b=0
a=1
b=2
a=2
b=1
Le possibili addizioni sono quindi quattro:
307
234
____
541
337
204
____
541
317
224
___
541
327
214
___
541
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60
E se ......
nell’addizione data inizialmente si eliminasse anche il 2 quante
diventerebbero le soluzioni ,
se il secondo addendo resta di tre cifre?
3 a 7
d b c
5 4 1
Per d= 2 valgono le quattro soluzioni già
trovate.
Se fosse d=1?
Allora avremmo:
1 + a + b = 14
quindi
a + b = 13
a=9
a=8
a=7
b=4
b=5
b=6
a=4
a=5
a=6
b=9
b=8
b=7
In totale avremo dieci soluzioni che soddisfano i dati.
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61