Il problema: un percorso a ostacoli
• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi
matematici
Secondo incontro
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2012
1
Direzione e verso
Consideriamo solo linee non intrecciate, cioè semplici.
Distinguiamo tali linee in linee aperte- linee chiuse
Esempi
Linee semplici aperte
Linee semplici chiuse
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2
Retta
r
Ogni retta ha una “direzione” e due versi di percorrenza, l’uno opposto
all’altro, indicati dalle frecce
Osservazione: quando ci si muove su due rette parallele (r, s) si può confrontare,
il verso di percorrenza su una delle rette con quello sull’altra e parlare, a livello
intuitivo, di: versi di percorrenza
concordi
r
s
discordi
r
s
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3
Semiretta
O
r
• Ogni semiretta ha una “direzione” : quella della retta cui
appartiene.
Se si percorre la semiretta partendo dall’origine il verso è unico,
indicato dalla freccia.
• Se si parte da un qualsiasi punto della semiretta diverso dall’origine
i versi di percorrenza sono due come nella retta.
Di solito, però, quando si parla di verso di una semiretta si intende a
partire dall’origine.
Linee finite. Si percorrono partendo da uno dei due
estremi.
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4
Segmento
r
M
P
Ogni segmento ha una “direzione” : quella della retta cui
appartiene.
Su ogni segmento vi sono due versi, l’uno opposto all’altro:
MP , PM.
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5
Linea spezzata aperta
E
B
A
C
T
Abbiamo due versi di percorrenza che sono l’uno l’opposto dell’altro.
Possiamo percorrere la linea spezzata da B a C oppure da C a B.
Anche in questo caso si può indicare il verso di percorrenza scelto con una
freccia (la freccia è indispensabile quando non vi sono lettere ai vertici)
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6
Linea spezzata aperta
E
A
B
C
T
Se esaminiamo i vari segmenti di cui è composto il percorso, per ciascun segmento
possiamo parlare, di direzione e di verso.
L’intero percorso, però, non ha una direzione; è quindi errato affermare che il
percorso ha quattro direzioni, perché quattro sono le rette alle quali appartengono i
segmenti della spezzata
E
A
B
C
T
Se percorro la linea spezzata da C a B, la direzione delle quattro rette non cambia,
mentre i versi di percorrenza dei quattro lati della linea spezzata sono opposti ai
precedenti CA , AT , TE , EB.
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7
Linee curve aperte finite
B
A
Anche per queste linee abbiamo due versi di percorrenza tra loro opposti
BA
AB
Per la direzione il discorso si complica.
In ogni punto la direzione è data dalla retta tangente alla curva in quel
punto.
Come determinare la retta tangente in ogni punto?
Se la linea curva è un arco di circonferenza non ci sono problemi
H
A
O
C
In ogni punto la direzione è quella della retta tangente
all’arco di circonferenza in quel punto. Tale retta è la
perpendicolare al raggio dell’arco nel punto di
tangenza.
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8
Linee curve aperte finite
Se la linea curva non è parte di una circonferenza per trovare la tangente in ogni punto si deve
individuare il cerchio osculatore alla curva in quel punto.
Per ogni punto si deve cioè trovare il cerchio che è tangente alla curva in tre o più punti, cioè
quello che ”tocca di più la linea in quel punto”. È il cerchio che dà la curvatura della linea in quel
punto.
La retta perpendicolare al raggio del cerchio osculatore nel punto di tangenza dà la direzione della
curva in quel punto.
P
r
.
O
Il cerchio di raggio r è il cerchio
osculatore (o cerchio di curvatura)
nel punto P della linea a.
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9
Linee semplici chiuse
Per distinguere i due possibili versi di percorrenza presenti su ogni linea si introducono i
termini:
verso orario
Se si percorre la linea nel
verso in cui ruotano le
lancette dell’orologio
verso antiorario
Se si percorre la linea nel verso
contrario a quello in cui ruotano le
lancette dell’orologio
Per convenzione si assume quale verso positivo della rotazione quello antiorario
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10
Angoli esterni di poligoni convessi
ATTENZIONE!!!
La nozione di angolo esterno è delicata: oltre alle difficoltà insiste nel concetto di
angolo, la denominazione di angolo esterno richiama una presunta “negazione”
rispetto agli angoli interni, per cui è diffusa la convinzione errata secondo cui, se
l’angolo interno di un poligono convesso è l’angolo avente per lati le due
semirette a cui appartengono due lati consecutivi del poligono e nella cui regione
angolare esso è completamente contenuto, il corrispondente angolo esterno è
quello con gli stessi lati dell’angolo interno, ma nella cui regione angolare non è
contenuto il poligono, dunque l’angolo esplementare (completamento all’angolo
giro) dell’angolo interno con lo stesso vertice.
Esempio di errata individuazione di
un angolo esterno di un triangolo
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11
Angoli esterni di poligoni convessi
•
L’accezione del termine angolo che può
utilmente supportare la definizione di
angolo esterno nel caso di poligoni
convessi è quella di angolo come
cambiamento di direzione
Dato un poligono, se A è un suo
vertice, l’angolo esterno di vertice A
è l’angolo individuato dal
cambiamento di direzione tra le rette
alle quali appartengono i lati del
poligono consecutivi in A
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12
Angoli esterni di poligoni convessi
Se vuole rilevare il cambiamento della direzione della retta BC rispetto a quella
della retta AB, è necessario prima di tutto evidenziare il mantenimento della
direzione di AB, quindi si deve tracciare la semiretta di origine B opposta a
quella che contiene il segmento AB; tale semiretta è il primo lato dell’angolo,
mentre il suo secondo lato è la semiretta BC:
α
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13
Angoli esterni di poligoni convessi
Se vuole rilevare il cambiamento della direzione della retta AB rispetto a quella
della retta BC, è, invece, necessario evidenziare il mantenimento della
direzione di BC, quindi si deve tracciare la semiretta di origine B opposta a
quella che contiene il segmento BC; tale semiretta è il primo lato dell’angolo,
mentre il suo secondo lato è la semiretta BA:
β
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14
Angoli esterni di poligoni convessi
Come tutte le differenze, il risultato è diverso in base all’ordine con cui si
considerano le due direzioni; tuttavia, gli angoli  e  sono tra loro opposti al
vertice, per cui sono congruenti.
α
β
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15
Angoli esterni di poligoni convessi
Si propongono ancora attività motorie: in cortile, in palestra o su carta da pacco
si traccia un poligono convesso piuttosto grande e si invita un alunno a
posizionarsi su un vertice e a camminare lungo uno dei due lati uscenti da tale
vertice tenendo le braccia tese in avanti, parallelamente al lato stesso, fino a
raggiungere l’altro estremo del segmento. Quando raggiunge tale estremo,
l’alunno deve tenere immobile un braccio davanti a se, mantenendo la
direzione di provenienza, e ruotare l’altro braccio fino a disporlo parallelamente
alla direzione individuata dal lato consecutivo del poligono. Se per esempio, il
bambino è partito dal vertice A ed è giunto nel vertice B si ha:
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16
Angoli esterni di poligoni convessi
La riflessione su quanto fatto dovrebbe fare emergere che il contorno del
poligono è stato percorso in un verso fissato (orario nel caso rappresentato) e
che i lati dell’angolo indicante il cambiamento di direzione sono formati dal
“prolungamento” del primo lato del poligono e dal secondo lato del poligono.
Queste osservazioni dovrebbero aiutare nell’individuazione grafica degli angoli
esterni di un poligono convesso e nella formulazione della definizione:
l’angolo esterno di un poligono convesso è l’angolo che, fissato un verso
di percorrenza della poligonale, indica il cambiamento di direzione tra le
rette di due lati consecutivi del poligono
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17
Rette parallele
il concetto di direzione
Due rette nel piano sono parallele se
sono coincidenti oppure non hanno
alcun punto di intersezione
inoltre
due rette non incidenti sono parallele
e due rette non parallele sono
incidenti
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18
La proprietà
astratta che
accomuna le
rette
appartenenti ad
una classe di
equivalenza,
ossia tra loro
parallele, viene
chiamata
direzione.
direzione
r
R
t
a
b
r
s
Q
t
v
r s
a
c
b
.
v
g
c
g
direzione
a
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20
DALL’ORIENTAMENTO SPAZIALE
AI SISTEMI DI RIFERIMENTO
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21
Quale spazio?
Spazio reale
Spazio geometrico
tridimensionale,
limitato,
anisotropo (verticale),
non omogeneo
a più dimensioni
illimitato,
isotropo,
omogeneo
lo spazio fisico non è lo spazio della geometria
ma la geometria permette di organizzare in modo
razionale, rigoroso, preciso, obiettivo, comunicabile senza ambiguità
lo spazio fisico.
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22
Localizzazioni nello spazio
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23
•
Rappresentazione di posizioni nel piano: costruzione
di sistemi di riferimento
- Individuazione e rappresentazione della posizione
di un punto su una retta
L’alunno deve comprendere che in un
allineamento :
•È necessario fissare un punto di
partenza e il verso di percorrenza della
linea
•Se cambia il punto di riferimento, una
stessa posizione è individuata da
informazioni diverse
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24
I palloncini
•Colora il terzo palloncino.
•Confronta il tuo lavoro con quello dei tuoi compagni. Cosa
noti? ……………………………………………………………………………
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25
Nella prima fila dall’alto numera i palloncini a partire da sinistra.
Colora il terzo di rosso, il quinto di verde, il settimo di blu.
Nella seconda fila numera i palloncini a partire da destra.
Colora il terzo di rosso, il quinto di verde, il settimo di blu.
Che cosa noti? ……………………………………………
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26
DOV'È L'UCCELLINO
•Disegna un uccellino su un albero del viale.
•Indica la sua posizione completando le frasi che seguono:
L'uccellino si trova ..................................... a partire dalla chiesa,
................................................................ a partire dalla scuola.
•Per stabilire qual è la posizione dell’uccellino a partire dalla fontana, quali
informazioni devi dare?
……………………………………………………………………………………………
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27
Organizzazione del piano mediante mappe
- suddivisione del piano in 2 - 4 –3 - 6 - 9 zone
- individuazione di ogni zona di una mappa mediante
l’uso dei termini: destra/ sinistra, alto/basso, centro
s
d
a
a,s
a,d
b,s
b,d
b
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28
Piano diviso in tre zone
a
s
c
d
c
b
a,s
a,c
a,d
c,s
c,c
c,d
b,s
b,c
b,d
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29
Organizzazione del piano mediante mappe
LUISA SISTEMA LE FIGURE
Oggi Luisa ha incollato sul suo album alcune figure. Ecco come si presenta una
pagina del suo album quando Luisa smette di lavorare per andare a cena:
• Precisa la posizione delle figure
usando i termini: sinistra/destra,
centro, alto/ basso
• Nelle tre caselle vuote disegna tu
tre figure rispettando il criterio
usato da Luisa
Nella casella in posizione alto centro ho disegnato ............…
Nella casella in posizione sinistra centro ho disegnato .....................
Nella casella in posizione destra basso ho disegnato
......................................................
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30
Individuazione di ogni casella mediante coordinate
Si deve ora avviare la costruzione di un sistema di riferimento adeguato a
denominare tutte le zone in cui può essere suddiviso un piano, qualunque sia il loro
numero.
A tal fine si propongono disegni di mappe in cui non sia più possibile individuare
una casella mediante le coordinate a,c,b; s,c,d.
Se si analizzano situazioni del tipo:
e si chiede agli alunni di indicare la posizione
della finestra chiusa del palazzo, essi possono
dare risposte come:
La finestra chiusa è: la quarta dal basso e la
terza da sinistra; la seconda dall'alto e la terza
da sinistra: al quarto piano spostata a destra ,
......................
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31
Individuazione di ogni casella mediante coordinate
Dal confronto delle risposte emerge l'esigenza di esprimere la posizione della
finestra chiusa con due sole coordinate uguali per tutti.
In una mappa del tipo
Si invitano a scegliere
dei simboli per
contrassegnarne ogni
riga e ogni colonna.
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32
Individuazione di ogni casella mediante coordinate




Per esempio la bicicletta
si trova nella casella di
coordinate (
Œ
oppure ( ,
,
)
)

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33
Individuazione di ogni casella mediante coordinate
Si propone di passare all’uso di
lettere e numeri per indicare
righe e colonne.
d
c
b
a
Si suggerisce di differenziare
inizialmente le righe dalle
colonne contrassegnando le une
con le lettere e le altre con i
numeri; in questo modo la coppia
di coordinate può non essere
ordinata.
Œ
1
2
3
4
La bicicletta si trova nella casella
di coordinate (3,b) ma anche
(b,3)
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34
Individuazione di ogni casella mediante coordinate
Successivamente su una mappa del tipo:
4
3
2
Il confronto tra le diverse risposte date
consente di evidenziare che, se le righe
e le colonne sono individuate dagli
stessi simboli, è necessario fissare
l'ordine di lettura delle coordinate.
Œ
1
1
2
3
La bicicletta si trova nella casella (2,3) o
nella casella (3,2)?
4
Poiché quando si struttura il piano con
un riferimento cartesiano si leggono
prima le coordinate delle colonne, poi
quelle delle righe è opportuno abituare
gli alunni a leggere in tale ordine anche
le coordinate di una mappa.
Tale ordine può essere evidenziato da
una freccia messa come in figura
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35
Mappe con un numero qualsiasi di caselle
I GIOCATTOLI DI CAMILLA
Camilla ha nascosto i suoi giocattoli in uno scaffale e per ritrovarli in fretta ha
dato a ciascuno di loro un contrassegno formato da una coppia numerolettera.
Osserva bene lo scaffale e
scopri il contrassegno di ogni
giocattolo:
coccinella (2,A)
orsacchiotto ….......
cane
….......
coniglio ….......
gatto
….......
topo
….......
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36
Mappe con un numero qualsiasi di caselle
LA FOTOGRAFIA DI SAMBUCA
Nella mappa è nascosta la fotografia di Sambuca. Vuoi scoprire chi è?
Colora di marrone quadrati corrispondenti alle seguenti coordinate:
(2,2) ; (2,3) ; (3,3) ; (4,3) ; (5,2) ; (5,3) ; (5,4) ; (5,5) ; (6,5)
6
Chi è Sambuca? …........
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
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37
Costruzione di griglie; individuazione della
posizione dei punti nel piano mediante coordinate
Per poter individuare la posizione di ogni oggetto nel piano è necessario
costruire un riferimento che permetta di attribuire ad ogni punto del piano
stesso una coppia di coordinate. In questo caso il piano viene reticolato come
in figura
La proposta di attività nelle
quali, in una casella della
mappa, siano presenti due o
più oggetti consente di
mostrare che le coordinate
relative alla casella non sono
sufficienti per precisare la
posizione di ogni oggetto
4
3
2
1
1
2
3
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38
Si suggerisce di preparare in aula un paese immaginario dove le strade,
perpendicolari fra loro, sono evidenziate da nastro adesivo di due colori, uno
per le strade orizzontali l'altro per quelle verticali.
Si invitano due alunni alla volta a percorrere due strade fra loro perpendicolari
e a fermarsi nel punto in cui esse si incrociano
I bambini partono, si incontrano, si fermano, si salutano, evidenziano l'incrocio
con un adesivo sul quale scrivono i loro due nomi .
Il punto d'incrocio resta così individuato da due coordinate: i nomi dei due
ragazzi .
Se si chiede di precisare in quali
incroci sono posizionati i vari
oggetti, i bambini si renderanno
conto che ciò non è possibile e
dovrebbero proporre di
contrassegnare ogni strada con
simboli diversi quali numeri o
lettere.
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39
L’analogia con quanto già fatto per la mappa si estende anche alla necessità di
fissare un ordine nella lettura dei contrassegni delle strade, quando tali
contrassegni sono dello stesso tipo (in particolare numeri):
Per arrivare al disegno di un
reticolo si riduce via via la
larghezza delle strade fino a
rappresentarle con un segmento,
come in figura:
b
a
1
2
4
3
b
2
a
1
1
2
1
2
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3
40
Costruzione di griglie
UN PRATO FIORITO
Ogni fiore si trova in un
punto ben preciso del
prato.
Scrivi , vicino ad ogni
fiore, la coppia di numeri
che dà la sua posizione.
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41
I sistemi di riferimento
Necessità di sistemi di riferimento oggettivi:
uso di una coppia di coordinate per individuare
in modo univoco
una casella in una mappa
con un numero qualunque di regioni
Più usati in geometria
•Coordinate cartesiane
•Coordinate polari
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42
Un sistema di riferimento cartesiano a coordinate naturali
Per assegnare, in un piano a, un sistema di coordinate cartesiane
dobbiamo fissare:
• due rette orientate perpendicolari, dette assi di riferimento, che si incontrano in
un punto O;
• un'unità di misura per ciascun asse
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43
Un sistema di riferimento collegato alla posizione dell'osservatore:
coordinate polari.
Per assegnare un sistema di coordinate polari occorre fissare
• un punto O, detto polo
• una semiretta a di origine O, detta asse polare , con l'unità di misura lineare
• un verso di rotazione da considerarsi come positivo (di solito l'antiorario).
Ogni punto P del piano, diverso da O, resta individuato da una coppia di numeri:
• il primo rappresenta la distanza di P da O, detta modulo;
• il secondo, compreso tra 0° incluso e 360° escluso, rappresenta l'ampiezza
dell'angolo orientato avente per lati, ordinatamente, l'asse a e la semiretta O P:
1
O
a
P
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44
Coordinate geografiche
Per determinare la posizione di un punto P sulla superficie terrestre si usano due
coordinate speciali:
• Latitudine
distanza di P dall’equatore, misurata in gradi lungo il
meridiano passante per P (PÔR). Si parla di latitudine Nord
e latitudine Sud, rispetto all’equatore, comprese tra 0° e 90°
•Longitudine
distanza di P dal meridiano di Greenwich, misurata in gradi
lungo il parallelo passante per P (PÂT). Si parla di
longitudine Nord e longitudine Sud, rispetto al meridiano
di Greenwich, comprese tra 0° e 180°
Si determina in tal modo una corrispondenza biunivoca tra i punti della superficie
terrestre e coppie ordinate di numeri, espressi in misure angolari
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45
Riferimento cartesiano
I NODI " AMICI"
Osserva il piano cartesiano che vedi disegnato. Segna tutti i nodi che si trovano
sulla colonna tratteggiata e scrivi
le loro coordinate ………….
Che cosa cambia ?...........
Che cosa resta invariato?...
Segna tutti i nodi che si trovano
sulla riga tratteggiata e scrivi le
loro coordinate ….
Che cosa cambia ?................
Che cosa resta invariato? …
Traccia con un colore la
diagonale del reticolo che parte
dal punto (0,0). Segna tutti i nodi
che si trovano su di essa e scrivi
le loro coordinate.
Che cosa noti?
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46
Coordinate polari
UNA GARA DI BARCHE
A VELA
Pippo, marinaio di acqua
dolce, è giudice in una
gara di barche a vela.
All'improvviso il vento
smette di soffiare e la
superficie del lago è
piatta: nessuna barca a
vela è in movimento.
Pippo approfitta della
bonaccia per rilevare la
posizione delle barche.
Questa è la situazione.
Scrivi le coordinate polari che individuano la posizione di ogni barca a vela.
Barca a vela n°1………
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47