Il problema: un percorso ad ostacoli
• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi
matematici
12 marzo 2013
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese marzo maggio 2013
1
A DOMANDA … RISPONDI
1)
2)
3)
4)
5)
Che cosa intendi per grandezze matematiche?
Puoi scrivere alcuni esempi di grandezze?
Che cosa intendi per grandezze omogenee?
Puoi scrivere alcuni esempi di grandezze omogenee?
Che cosa significa misurare una grandezza?
Sapreste rispondere senza
dubbi
a queste domande?
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Le grandezze: il punto di vista della matematica
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson
da pag.25 a pag. 30)
In matematica la teoria delle grandezze ha un’impostazione assiomatica,
nella quale il concetto di grandezza è assunto come concetto primitivo, privo
di definizione esplicita, caratterizzato da alcuni assiomi.
Sia G un insieme i cui elementi sono detti grandezze omogenee.
Si assumono come ipotesi a fondamento della teoria i seguenti assiomi:
A1) In G è definita una relazione, detta uguaglianza e indicata con il
simbolo =, che ha le proprietà
- riflessiva: ogni elemento a di G è uguale a se stesso
a=a
- simmetrica: se a è uguale a b, allora b è uguale ad a
a=bb=a
- transitiva: se a è uguale a b e b è uguale a c, allora a è
uguale a c
a=beb=ca=c
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Le grandezze: il punto di vista della matematica
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson
da pag.25 a pag. 30)
L’uguaglianza a cui si fa riferimento assume un significato diverso in base
alla particolare classe di grandezza esaminata e il suo sussistere può
essere verificato con tecniche specifiche.
Per esempio, se G è l’insieme delle lunghezze, per stabilire se due
lunghezze sono uguali si opera il trasporto rigido: la lunghezza a di un
segmento è uguale alla lunghezza b di un altro segmento se i due
segmenti sono sovrapponibili mediante un movimento rigido.
Se si tratta del peso, per stabilire l’eventuale uguaglianza si ricorre al
posizionamento dei due corpi di cui si confronta il peso ciascuno su un
piatto di una bilancia.
Per constatare se due corpi hanno la stessa temperatura si può osservare
se due colonnine di mercurio raggiungono la medesima altezza in un
tubicino capillare (termoscopio), quando esse sono poste a contatto con
ciascuno dei due corpi.
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Le grandezze: il punto di vista della matematica
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson
da pag.25 a pag. 30)
A2) In G è definita un’operazione, detta addizione ed indicata con +,
che associa ad ogni coppia ordinata di elementi a, b di G un terzo
elemento c , chiamato somma ed indicato con il simbolo
c=a+b
Questa operazione deve avere le medesime proprietà dell’addizione tra
numeri naturali:
- proprietà commutativa:
a+b= b+a
- proprietà associativa:
a + (b + c) = (a + b) + c
- esistenza dell’elemento neutro, detto grandezza nulla e indicato
con 0:
0+a=a+0=a
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Le grandezze: il punto di vista della matematica
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson
da pag.25 a pag. 30)
Anche l’addizione assume un significato specifico in relazione all’insieme di
grandezze considerato.
Nel caso della lunghezza, se a è la lunghezza di un segmento AB e b è la
lunghezza del segmento BC, adiacente ad AB, allora c somma di a con b è
la lunghezza del segmento AC.
Nel caso della temperatura non ha, invece, senso l'operazione di addizione:
se si mescola dell’acqua a 10°C con dell’acqua a 15°C, si ha acqua la cui
temperatura non è la somma delle temperature, anzi ha un valore
compreso tra 10°C e 15°C.
Ne segue che la temperatura non può essere considerata una grandezza,
secondo questa impostazione assiomatica.
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Le grandezze: il punto di vista della matematica
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson
da pag.25 a pag. 30)
L’addizione introdotta per via assiomatica permette di definire nell’insieme
G una relazione: una grandezza a è non minore di una grandezza b, in
simboli
a≥b
se esiste in G una grandezza c tale che sia
a=b+c
Dalla definizione si dimostra facilmente che la relazione è
- riflessiva: ogni grandezza è non minore di se stessa
a≥a
- antisimmetrica: se a è non minore di b e b è non minore di a,
allora a è uguale a b
a≥b eb≥aa=b
- transitiva: se a è non minore di b e b è non minore di c, allora a
è non minore di c
a≥b eb≥ca≥c.
La relazione è, dunque, una relazione d’ordine largo;
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Le grandezze: il punto di vista della matematica
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson
da pag.25 a pag. 30)
Si dimostra, inoltre, che la grandezza nulla, elemento neutro
della addizione, è unica.
Ne consegue che è anche possibile definire la sottrazione tra
grandezze: se la grandezza a è non minore della grandezza b
(a ≥ b) si chiama differenza di a con b la grandezza c indicata
con
c=ab
tale che
a = b + c.
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Le grandezze: il punto di vista della matematica
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson
da pag.25 a pag. 30)
Sempre a partire dall’addizione è possibile definire il multiplo di un dato
elemento dell'insieme G secondo un numero naturale n; considerata una
grandezza a e un numero naturale n, il multiplo di a secondo n viene
indicato con na
In generale, se n  2 la grandezza multiplo di a secondo n è la somma di a
con se stessa n volte
na = a + a + ... + a .
n volte
Si dimostra che qualunque siano la grandezza a e il numero naturale n, il
multiplo di a secondo n è non minore di a
na  a.
Questa proprietà non è valida se si considera l’ampiezza degli angoli, per
cui l’ampiezza di un angolo non può essere denominata grandezza nel
senso del termine dato da questa impostazione assiomatica (si veda Nel
mondo della geometria volume 2 da pag. 103 a pag.113).
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Le grandezze: il punto di vista della matematica
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson
da pag.25 a pag. 30)
Un assioma importante è quello che garantisce la possibilità di “suddividere” in
un numero qualsiasi di parti uguali una grandezza:
A 4) Data una grandezza a  0 e un numero naturale n  0, esiste una
ed una sola grandezza b tale che a sia multipla di b secondo n, ossia
a = nb.
La grandezza b dell’assioma viene detta sottomultiplo di a secondo n
e viene indicata anche con
b=
1
a
a= .
n
n
L’assioma afferma l’esistenza di sottomultipli di una grandezza piccoli a piacere.
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Le grandezze: il punto di vista della matematica
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson
da pag.25 a pag. 30)
GRANDEZZE COMMENSURABILI
GRANDEZZE INCOMMNESURABILI
Consideriamo un insieme G di grandezze; diciamo che due grandezze a e b
sono fra loro
-commensurabili quando hanno un sottomultiplo comune, cioè quando esiste
una grandezza c tale che
a = nc e b = mc
- incommensurabili se non hanno un sottomultiplo comune.
La scoperta delle grandezze incommensurabili viene attribuita storicamente
alla scuola Pitagorica: con il teorema di Pitagora si dimostra, infatti, che la
lunghezza del lato di un quadrato e la lunghezza della relativa diagonale
non hanno un sottomultiplo comune. Un altro esempio di coppia di grandezze
incommensurabili è data dalla lunghezza della circonferenza e di quella del
relativo diametro.
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La misura
“Quando voi potete misurare ed esprimere in numeri ciò
di cui state parlando, solo allora sapete effettivamente
qualcosa; ma quando non vi è possibile esprimere
numericamente l’oggetto della vostra indagine,
insoddisfacente ne è la vostra conoscenza e scarso il
vostro progresso dal punto di vista scientifico”.
Lord Kelvin
(Sir William Thomson, 1824 – 1907)
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12
La misura quantifica, attraverso convenzioni fissate
dall’uomo, qualità degli enti e degli oggetti dette
grandezze, “non ne scopre nulla di intrinseco […] ma
inventa un numero che quella grandezza descrive entro
certi limiti e sotto certe condizioni” (Cunietti)
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13
Grandezze e misura: quadro teorico
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson
da pag.25 a pag. 30)
La misura è intrinsecamente connessa con la vita quotidiana
si quantifica
il tempo e il suo scorrere
il valore delle cose
il peso, la quantità di spazio…
l’affinità tra le persone, …
il quoziente di intelligenza
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Grandezze e misura: quadro teorico
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson
da pag.25 a pag. 30)
… La misurazione, intesa come processo con cui si
determina una misura, è fondamentale tanto che Lord
Kelvin afferma “che quando voi potete misurare ed
esprimere in numeri ciò di cui state parlando, solo
allora sapete effettivamente qualcosa; ma quando non
vi è possibile esprimere numericamente l’oggetto della
vostra indagine, insoddisfacente ne è la vostra
conoscenza e scarso il vostro progresso dal punto di
vista scientifico”
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Grandezze e misura: quadro teorico
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson
da pag.25 a pag. 30)
Sempre più la misura la fa da padrona in molti campi, anche non appartenenti alle scienze sperimentali.
Ma “frequenza d’uso” non è sinonimo di facilità
Infatti è necessario
circoscrivere l’ambito di stretta
pertinenza della misura
definire il significato del
termine misura
OSSIA
individuare ciò che può essere misurato.
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Grandezze e misura: quadro teorico
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson
da pag.25 a pag. 30)
Cunietti (1990/1991: 45) rileva che “la misura riguarda sì la realtà fisica,
concreta, ma contemporaneamente il modello mentale che questa realtà vuole
rappresentare […] Perciò la misura partecipa di vari ambiti:
•quello concreto della realtà,
•quello astratto e mentale […] dell’interpretazione della conoscenza di questa
realtà,
•quello nuovamente concreto, ma di derivazione totalmente umana, della
tecnica”.
La definizione di misura comporta, quindi, la precisazione del punto di vista da
cui viene formulata. Quello che si può affermare in generale è che la misura
quantifica, attraverso convenzioni fissate dall’uomo, qualità degli enti e degli
oggetti denominate grandezze, “non ne scopre nulla di intrinseco […] ma inventa
un numero che quella grandezza descrive entro certi limiti e sotto certe
condizioni”
Il concetto di misura rimanda, quindi, al concetto di grandezza.
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Indagine sulle conoscenze pregresse
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) da pag. 55 a pag.
con bambini di 7-8 anni prima di avviare il percorso sulla premitura
• Le esperienze sulla misura sono frequenti nella
quotidianità degli alunni, così come l’uso di
parole relative a grandezze e unità di misura.
• Per la progettazione di un itinerario didattico che
assuma le conoscenze pregresse come oggetto
di approfondimento, revisione,
formalizzazione, precisazione, si ritiene
quanto mai opportuno effettuare un’indagine su
tali conoscenze.
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1.
Che cos’è, secondo voi, la misura?
• È una cosa che serve per misurare le case, le
strade, la pressione delle gomme, la pressione
della nonna.
• Si misura il pane con la bilancia.
1.a) Che cosa si misura del pane?
Quanto è pesante.
• Si misura la febbre.
• Anche l’aria se è calda o fredda.
• Si misura il tempo: i minuti, i secondi, le ore.
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19
1.
Che cos’è, secondo voi, la misura?
• Il mio papà ha misurato il tavolo per comprarne
uno più grande.
• 1.b) Come ha fatto il papà?
• Ha preso il metro e ha cominciato dove comincia
il tavolo ed è andato fino alla fine, ha detto alla
mamma 120, ne vuole comprare uno più
grande.
• 1.c) A che cosa serve la misura che ha preso?
• La dice al venditore, lui gliene dà uno più lungo.
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20
1.
Che cos’è, secondo voi, la misura?
• La mia mamma mi misura quanto sono lunga
per farmi un vestito.
• Anche la bilancia della dottoressa misura quanto
sei alto e anche quanto pesi.
• A casa mia si misurano i mobili per vedere se ci
stanno nella casa nuova.
• C’è anche la misura dei vestiti e delle scarpe per
sapere quale comprare giusta per la tua misura.
• Io ho la media.
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21
2.
•
•
•
•
•
•
Avete detto molte cose che si possono misurare: la
lunghezza di una persona per fare un vestito, la
febbre, il caldo e il freddo, queste cose si misurano
tutte adoperando lo stesso strumento?
Non si può misurare tutto allo stesso modo; bisogna
usare cose diverse che vanno bene.
2.a) Come si fa a sapere se vanno bene?
Si sa: per la febbre c’è il termometro, per i vestiti c’è il
metro, per il pane c’è la bilancia.
Quando giochi a bocce misuri per vedere chi è più vicino
e chi è più lontano dal boccino. C’è un’asta apposta con
su i numeri: chi fa il numero più piccolo è il più vicino.
Io quando gioco misuro con i piedi e conto i passi: se
uno è tre e l’altro è quattro, ha vinto il tre perché è più
vicino.
Il metro si usa per misurare quanto è lungo qualcosa.
Si può misurare con le mani, con un bastoncino, con la
matita.
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3. Perché si adoperano cose diverse?
• Si adoperano cose diverse perché i viventi
si pesano sulla bilancia, come dalla
dottoressa, per il tavolo che non è vivente
si adopera il metro.
• Non è vero, perché mia mamma misura
quanto sono cresciuto e adopera il metro.
Prima fa un segno sulla mattonella dove
arrivo e poi misura.
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4. Perché si misura?
• Perché il tavolo è largo tre metri e se non
lo misuri non sai la vera misura.
• Se non misuri il latte dei bambini gliene dai
troppo e stanno male.
• Per sapere quanto è la lunghezza o il peso
di una cosa.
• La misura ti fa sapere qualche cosa di più
di una cosa che prima non sapevi.
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Matrice cognitiva
campioni, strumenti
arbitrari
campioni, strumenti
convenzionali
di grandezze
estensive:
lunghezza, massa
pressione, …
misura
“similitudine” tra
grandezza e
unità di misura
di “grandezze”
intensive:
taglia, scarpe,
temperature, …
di proprietà
di oggetti:
tavolo, strade,
mobili
per confronto
diretto
necessità di
scegliere in base
all’oggetto/proprietà
da misurare
espressa da
un numero
indirettamente
con lettura dalla
scala di uno
strumento
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25
Sottolinea le proprietà che possono essere misurate, cioè
che sono grandezze
(da Matematix geometria primo anno pag.66 Ed. Ghisetti e Corvi
a)
La bellezza di un tramonto.
b)
La lunghezza di una strada.
c)
La facilità di un esercizio di matematica.
d)
L’estensione di un campo da rugby.
e)
La bontà di un dolce.
f)
Lo spessore di un foglio di quaderno.
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Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali sono false
(da Matematix geometria primo anno pag.66 Ed. Ghisetti e Corvi
V
F
a) Tutte le grandezze possono essere
misurate.
b) L’aroma di un fungo è una grandezza
c) L’altezza di un grattacielo e la lunghezza
di un piede sono grandezze omogenee.
d) Il tempo dedicato allo studio e l’età di
una persona sono grandezze
eterogenee.
e) Per misurare una grandezza si deve
fissare un’unità di misura omogenea con
la grandezza data.
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Le grandezze: il punto di vista della matematica
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson
da pag.25 a pag. 30)
LUNGHEZZA
ESEMPI DI
GRANDEZZE
MASSA
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