UN MONDO DI PROBLEMI,
MA … MATEMATICI
• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi
matematici
5 novembre 2013
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
1
TREDICINO GATTO ARLECCHINO
Di Clara Colombo Bozzolo
Poligono concavo di 13 lati da dividere
in triangoli i cui vertici siano nodi del
reticolo.(non più di 15)
E
Quanti triangoli puoi disegnare al
minimo?
H
F
G
Che tipi di triangoli hai disegnato?
Ci sono tutti i tipi di triangoli?
C
D
I
L
B
M
A
N
O
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2
TREDICINO GATTO ARLECCHINO
Di Clara Colombo Bozzolo
E
H
8 triangoli
F
C
G
D
I
L
B
M
A
N
O
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3
TREDICINO GATTO ARLECCHINO
Quando le conoscenze degli alunni lo hanno permesso si è ripreso il
problema di "Tredicino gatto arlecchino" e dopo aver fatto copiare
la sua figura su carta centimetrata si sono fatti disegnare su
tale carta anche i poligoni, sia separatamente sia dentro la
figura del gatto.
Si è quindi proceduto come indicato nel seguito:
l'insegnante ha preparato la tabella che presentiamo, con le figure in
scala ridotta (i quadretti avevano il lato lungo 0,5cm), e ha invitato i
ragazzi a completarla
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4
Fig.5
Poligono
Nome-Proprietà
A’
Triangolo ottusangolo
scaleno
• ha un angolo ottuso e
due acuti
ˆ  33, B
ˆ  117, C
ˆ  30
A
C
A
C’
B
F
G
E
•
misure dei lati e
del perimetro
in cm
misura
dell' area
in cm2
AB = 4
BC
4,5
AC 7,4
4+4,5+7,4
15,9
8
EF
2,8
2,8x4
11,2
8
7,84
numero
degli assi
di
simmetria
0
ha tre lati tutti di
lunghezza diversa
Quadrato
• ha 4 angoli retti (90°)
• ha quattro lati uguali
• è un poligono regolare
• è un parallelogramma
4
H
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5
RIPASSIAMO LE FORMULE
• A tempo opportuno, quale ripasso delle formule
relative alle aree dei poligoni si sono ripresentati
i singoli poligoni disegnati in scala 1/2, e
organizzati come nella figura che segue.
IMMAGINE POLIGONO
NOME
Trapezio
Misura dell’area in cm2
A = [(b1 + b2) x h] : 2
scaleno
rettangolo
A = [(3 + 2) x 2] : 2=5
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6
IMMAGINE POLIGONO
NOME
Quadrilatero
concavo
Misura dell’area in cm2
A1 = (b1 x h1) : 2= (2 x 2) : 2= 2
A2 = (b2 x h2) : 2= (1 x 1) : 2= 0,50
Atot = A1 + A2= 2 + 0,50= 2,50
A = [(b1 + b2) x h] : 2
Trapezio
scaleno
A = [(4 + 4,5) x 1] : 2=4,25
Calcolo l’area in due modo diversi
Rombo
A = (d1 x d2) : 2= (4 x 2) : 2= 4
A=bxh
2,2 x 1,8
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3,96
7
I RETTANGOLI SI TRASFORMANO
di Clara Colombo Bozzolo
Ricordiamo che si dice corda di un poligono (in generale di una figura
piana) ogni segmento che ha per estremi due punti del contorno e che
non giace sul contorno stesso.
Materiale necessario:
•Dieci rettangoli di carta colorata per ogni alunno (già ritagliati o da
ritagliare); le lunghezze dei lati possono essere a piacere. Noi abbiamo
lavorato sui rettangoli di lati 4cm e 7cm.
•Righello, forbici e scotch.
•Fogli sciolti o di quaderno sui quali disporre le figure ottenute.
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8
I RETTANGOLI SI TRASFORMANO
di Clara Colombo Bozzolo
Testo del problema
1. Su uno dei dieci rettangoli che ti sono stati dati traccia, usando il righello,
una corda in modo da dividere il rettangolo in due quadrilateri congruenti
non rettangoli
•
Che tipo di quadrilateri ottieni?..................................................
2. Disegna la stessa corda su ognuno degli altri nove rettangoli. Contrassegna
le due parti di un medesimo rettangolo con la stessa lettera
3. Ritaglia con molta precisione i dieci rettangoli.
4. Unisci a due a due ( usando lo scotch ) i quadrilateri ottenuti da ogni
rettangolo, in modo che abbiano sempre in comune solo un lato della
stessa lunghezza e in modo da ottenere un certo numero di poligoni uno
diverso dall’altro (certamente otterrai anche il rettangolo di partenza)
Sai prevedere quanti poligoni di forma diversa puoi ottenere?………………
Rispondi prima di metterti a lavorare e giustifica la tua risposta
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9
I RETTANGOLI SI TRASFORMANO
di Clara Colombo Bozzolo
Ora mettiti a lavorare e verifica praticamente se il numero delle figure
ottenuto è uguale al numero che avevi previsto.
5. Incolla sulla sinistra dei fogli che ti sono stati dati i poligoni ottenuti,
uno sotto l’altro. Metti la colla solo a metà della figura.
6. Contrassegna ogni poligono ottenuto con un numero.
7. Scrivi alla destra di ogni poligono nome, cognome e indirizzo
preciso!!!
Ad es. per il rettangolo potrai scrivere:
quadrilatero convesso, trapezio, parallelogramma, rettangolo.
8. Quali dei poligoni trovati hanno il centro di simmetria?
Indica e segna tale centro di simmetria
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10
I RETTANGOLI SI TRASFORMANO
di Clara Colombo Bozzolo
9. Misura con il goniometro al massimo l’ampiezza di due angoli: per mezzo
della loro ampiezza trova quella degli angoli di tutti i poligoni ottenuti.
In realtà basterebbe misurare l’ampiezza di un solo angolo?
Perché?......................
10. Quali delle figure trovate ha la misura del il perimetro minore?........... Quale
maggiore?......... Perché?..........................
11. I lati di ogni rettangolo sono lunghi rispettivamente 4cm e 7cm. Misura, con
l’approssimazione al millimetro, la lunghezza degli altri lati che ti servono
per calcolare il perimetro di ciascuna figura.
Prima di iniziare il lavoro rispondi alla seguente domanda:
vi sono poligoni che sono sicuramente isoperimetrici. Quali?.........................
12. Sai trovare la misura, in centimetri quadrati, dell’area di ciascun poligono?
Rifletti e scrivi le tue osservazioni…………………………………..
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11
I RETTANGOLI SI TRASFORMANO
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12
I RETTANGOLI SI TRASFORMANO
Se due lati consecutivi del trapezio rettangolo sono uguali, per
esempio il lato obliquo uguale alla base maggiore, allora si
ottengono altri due poligoni diversi dagli otto precedenti.
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13
I RETTANGOLI SI TRASFORMANO
di Clara Colombo Bozzolo
• Classifica i poligoni ottenuti secondo i seguenti criteri :
- essere convesso ( c )
- avere almeno un asse di simmetria ( s )
e rappresenta la classificazione ottenuta usando il diagramma che preferisci
(Eulero-Venn, Carroll, Albero)
Nel diagramma indica ogni poligono con il numero che gli hai attribuito.
DIAGRAMMA DI EULERO-VENN
P
7.
c
3.
1.
4.
5.
2.
6.
s
8.
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14
I RETTANGOLI SI TRASFORMANO
di Clara Colombo Bozzolo
DIAGRAMMA DI CARROLL
P
s
Ns
c
4.
1.
Nc
2.
8.
6.
3.
5.
7.
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15
I RETTANGOLI SI TRASFORMANO
di Clara Colombo Bozzolo
DIAGRAMMA AD ALBERO
P
NC
C
S
NS
S
1
3
2
4
5
8
NS
7
6
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16
I triangoli prepotenti
(da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.187)
Osserva il disegno
a
c
e
b
d
f
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17
I triangoli prepotenti
(da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.188)
Pierino, Carletto e Marina stanno discutendo sui disegni della scheda
Il triangolo e nasconde un quadrilatero. Pierino dice che si tratta di un romboide,
Carletto è convinto che si tratti di un rombo.
Chi ha ragione?............................................................... Perchè?...............
Il quadrilatero è un romboide,
avendo i lati opposti paralleli e i lati
consecutivi non congruenti.
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18
I triangoli prepotenti
(da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.188)
Sotto quale triangolo potrebbe essere nascosto un quadrato?................................
Giustifica la tua scelta....................................................................................
Un quadrato potrebbe essere
nascosto sotto il triangolo d, in
quanto è l'unico caso in cui nella
parte visibile del quadrilatero si
rilevano tre angoli retti e due lati
consecutivi congruenti.
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19
I triangoliprepotenti
(da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.188)
Marina dice che sotto il triangolo b c’è un esagono. È possibile?............................
Completa il disegno.
È possibile che il triangolo b
nasconda un esagono, che deve
essere necessariamente concavo
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20
I triangoli prepotenti
(da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.188)
Sotto il triangolo c è nascosto un quadrilatero. Pierino deve elencarne le proprietà,
ma non ricorda neppure il nome di tale figura.
Aiutalo tu completando, prima, il disegno.
Il quadrilatero è un rombo
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21
I triangoli prepotenti
(da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.188)
Pierino dice che sotto il triangolo f si nasconde un parallelogramma. Carletto
questa volta è d’accordo. Sei d’accordo anche tu?..............................................
Perché?...........................................................................
Il quadrilatero non può essere un
parallelogramma in quanto ha una
sola coppia di lati paralleli.
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22
I triangoli prepotenti
(da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.188)
Secondo Marina il quadrilatero nascosto sotto il triangolo a può avere tutti gli
angoli retti, ma non è un quadrato. E’ vero?..................................................
Qual è il nome del quadrilatero?........................................................................
Nel quadrilatero sotto il triangolo a
sono già visibili tre angoli retti,
quindi anche il quarto angolo deve
essere retto; inoltre due lati
consecutivi non sono congruenti,
pertanto si tratta di un rettangolo.
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23
Un tetto speciale
(dalla rivista Math Ecole n°173 – agosto 1996)
Vedi sei tegole a forma di triangolo equilatero
•Una nera
N
•Una bianca
B
•Una grigia
G
•Una a righe
R
•Una a quadretti Q
•Una a puntini
P
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24
Un tetto speciale
Si dispongono, a una a una, queste sei tegole su un tetto triangolare.
Ciascuna tegola ricopre in parte quelle su cui viene posata.
Vedi com’è il tetto quando tutte le tegole sono state messe a posto.
Indica in quale ordine si
sono posate le sei
tegole, dalla prima
all’ultima.
Spiega come hai fatto
per trovarlo
Soluzione R B N G P Q
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25
UN CICLAMINO SPECIALE
di Clara Colombo Bozzolo
Guarda bene il disegno.
I petali del fiore sono tre …
Mentre la foglia è un poligono ….
Ripassa con il pennarello il contorno
del fiore che poligono hai
ottenuto?...
Le due parti dello stelo che si vedono
che linee sono?...........
Vedi, nel disegno, un’altra linea dello
stesso tipo?.... Colorala di rosso
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26
Disegna i tre petali e scrivi il nome di ogni figura
Calcola l’area di
ciascun
quadrilatero in cm2
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27
a
8
l’ area è ………
cm2
b
8
L’area è……….
cm2
c
2
8
L’area è………cm
2 Dova - Marinella Del Torchio
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia
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28
Dalle risposte precedenti puoi dedurre che
l’area del fiore in cm2 è………..
1. Calcola l’area della foglia in cm2
2. E’ più esteso il fiore o la foglia?
. Usando, solo se necessario anche il righello, calcola il
perimetro del fiore e quello della foglia in centimetri (latiquadretto) approssimando le misure al millimetro.
4. Nel fiore un petalo ha l’asse di simmetria e un altro petalo ha il
centro di simmetria. Metti in evidenzia entrambi con un colore
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29
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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30
Disegna ogni petalo dimezzando le lunghezze dei lati e controlla che
l’area della nuova figura sia la quarta parte di quella di partenza.
a
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31
b
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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32
c
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33