Il problema: un percorso ad ostacoli
• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi
matematici
26 marzo 2013
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese marzo maggio 2013
1
Utilizzo contemporaneo di più unità di misura
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109)
Durante l’operato con l’uso contemporaneo di più unità di misura nelle
misurazioni è opportuno chiedere agli alunni
come si può trasformare la misura ottenuta con una strategia in quella
ottenuta con un’altra strategia?
dopo avere ottenuto la misura con una certa strategia, per esempio
utilizzando solo l’unità minore, è possibile esprimere la misura rispetto alle
altre unità, senza ripetere con esse la misurazione?
Gli alunni avvertono l’esigenza di avere unità di misura “cambiabili” l’una
nell’altra.
Utilizziamo pezzi dei numeri in colore: si tratta di materiale facilmente
reperibile, in gran quantità, anche se non è del tutto idoneo come campione
in quanto lo spessore dei pezzi, soprattutto quelli di minore valore, non
è trascurabile rispetto alla lunghezza.
In ogni caso, con esso è particolarmente comodo per introdurre unità di
misura di lunghezza in rapporto tra loro.
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Utilizzo contemporaneo di più unità di misura
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109)
I REGOLI sono particolarmente comodi per introdurre unità di misura di
lunghezza in rapporto tra loro.
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Utilizzo contemporaneo di più unità di misura
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109)
Se si lascia ai bambini la scelta di tre pezzi come campioni di tre unità distinte,
essi prendono un pezzo piccolo, solitamente il cubetto unitario, un pezzo di
valore intermedio e il pezzo arancione che vale 10, per cui è possibile
effettuare operazioni di cambio diretto tra l’unità minore e una qualunque delle
altre due, ma non è detto che sia possibile quello fra l’unità intermedia e l’unità
maggiore.
Se, per esempio, vengono scelti il cubetto bianco, il pezzo ciclamino e il pezzo
arancio e si indicano le rispettive lunghezze con i colori dei pezzi, si ha
1 ciclamino = 4 bianchi
1 arancione = 10 bianchi
ma non c’è un operatore intero che trasforma l’unità ciclamino nell’unità
arancione.
Sono, dunque, possibili cambi solo riconducendo le lunghezze al pezzo bianco
oppure per particolari gruppi di unità (per esempio, 10 ciclamini = 4 arancioni).
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Utilizzo contemporaneo di più unità di misura
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109)
È più comodo l’utilizzo di terne di regoli quali
1 bianco
1 giallo = 5 bianchi
1 arancione = 2 gialli = 10 bianchi
per le quali esiste un operatore moltiplicativo intero che mette in
relazione ogni coppia di unità
X5
1 bianco
X2
1 giallo
1 arancione
X 10
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5
Utilizzo contemporaneo di più unità di misura
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109)
È possibile effettuare conversioni, dato che sono noti i
fattori di conversione.
Per esempio
1 arancione e 3 bianchi = 2 gialli e 3 bianchi = 23
bianchi.
Si suggerisce di esercitare le conversioni concretamente, ossia sostituendo
realmente per esempio 1 campione arancione con 2 campioni gialli, … in modo
che gli alunni possano richiamare le azioni già sperimentate con il materiale
multibase di cambi tra le unità di ordine diverso, come unità, decine, centinaia.
Si ritiene importante introdurre la dimensione storica anche in questo ambito,
soprattutto per rendere consapevoli gli alunni del significato del termine
“convenzionale”
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Utilizzo contemporaneo di più unità di misura
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109)
Sia i regoli precedentemente considerati sia le unità di misure storiche hanno un
limite: la molteplicità di operatori con i quali si effettuano le conversioni, per
cui ogni volta che si vuole fare un cambio è necessario ricordare il fattore che lega
le due unità in questione.
Se si scelgono, però, opportunamente i regoli è possibile costruire un sistema di
unità in cui vi è un solo operatore fondamentale; per esempio, se si prendono
1 bianco
1 rosso = 2 bianchi
1 ciclamino = 2 rossi = 4 bianchi
l’operatore, che può essere applicato anche due volte consecutivamente, è “ 2”; si
ritrova così una struttura simile a quella della scrittura dei numeri in base 2.
Se si scelgono come unità
1 bianco
1 verde chiaro = 3 bianchi
1 blu = 3 verdi chiaro = 9 bianchi
l’operatore fondamentale è “ 3” e si ritrova una struttura simile a quella della
scrittura dei numeri in base 3.
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Utilizzo contemporaneo di più unità di misura
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
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UN SISTEMA DI MISURA PER LA CLASSE
Giulia e Alessandra devono portare a scuola i nastri per decorare i
costumi di carnevale.
Per misurare la lunghezza dei vari nastri usano i regoli sotto
disegnati.
Confronta i regoli e completa le frasi.
•Il regolo ciclamino è lungo come
2
•Il regolo marrone è lungo come ……..
•Il regolo marrone è lungo come ……..
regoli rossi
regoli ciclamino
regoli rossi
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Utilizzo contemporaneo di più unità di misura
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
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Completa il seguente schema scrivendo, in corrispondenza di ogni freccia,
l'operatore giusto. Ogni regolo è indicato con l’iniziale del suo colore.
…
x2
R
C
M
…
Rispondi alle seguenti domande.
•Ci sono unità di misura che non sono collegate a nessuna delle altre da
un operatore? ……
•Hai inserito nello schema operatori uguali? …………………………
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Utilizzo contemporaneo di più unità di misura
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
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Osserva i nastri e misurane la lunghezza, usando ogni volta il minor numero
possibile di regoli tra quelli scelti da Giulia e Alessandra
a
b
Unità di
misura
nastro
c
M
C
R
a
b
d
c
d
e
e
f
f
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Sistema Internazionale
• Rimane per questi sistemi di unità un
limite grave: il ristretto ambito in cui essi
sono noti e applicati, per cui è difficoltosa
la comunicazione con chi è esterno alla
classe in cui le unità sono state scelte.
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UTILIZZO DEL METRO
UN’UNITÀ PER TUTTI
Per allestire una rappresentazione teatrale, i bambini delle classi terze
hanno bisogno di varie strisce di stoffa. La mamma di Gualtiero ha un
negozio di tessuti e si offre di fornire le strisce necessarie, delle quali
vuole sapere le misure. Per fornire le informazioni necessarie, Gualtiero
e i suoi compagni utilizzano lo strumento costruito durante le lezioni di
matematica: una striscia di carta lunga come il regolo marrone, sulla
quale sono state riportate le lunghezze dei regoli ciclamino, rosso e
bianco. Ecco riprodotto lo strumento della classe:
Ogni striscia di stoffa deve essere alta 1 marrone e 1 ciclamino.
La mamma legge la misura, ma non capisce quanto devono essere
alte le varie strisce di stoffa. Perché?
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Rispondi mettendo una crocetta sulle risposte che ritieni più adatte.
La mamma non riesce a leggere la scrittura di Gualtiero.
La mamma non conosce le unità di misura utilizzate dai
bambini della classe.
La mamma non capisce perché i bambini hanno sbagliato a
misurare.
La mamma chiede allora a Gualtiero di misurare di nuovo l’altezza delle
strisce, ma con una unità di misura conosciuta da tutti. Quando
Gualtiero riferisce in classe della difficoltà avuta dalla mamma, la
maestra spiega che anche gli uomini del passato avevano avuto gli
stessi problemi. Infatti, ogni popolo utilizzava una propria unità di
misura di lunghezza; addirittura comuni vicini potevano avere unità
diverse: che grande confusione nello scambio delle misure! Dopo molto
decenni di studio da parte degli scienziati, nel 1875 a Parigi venne
firmato l’accordo tra 17 Stati per utilizzare il nuovo sistema metrico.
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176
Esempi
1) Per ciascuno dei seguenti poligoni, si dà agli alunni la consegna di disegnare
sul quaderno un segmento uguale al perimetro del poligono. Affinché il disegno
sia informativo sul confronto delle lunghezze, senza ricorrere alla loro misura,
si pone il vincolo che i segmenti siano incolonnati e con il primo estremo alla
stessa distanza dal margine. Accanto ad ogni segmento si segna la lettera del
poligono a cui si riferisce.
d
c
a
e
b
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176
Risulta:
a
b
c
d
e
… ha il perimetro
minore di quello di
…
Poligono a
Poligono b
Poligono c
Poligono d
Poligono e
Poligono a
Poligono b
Poligono c
Poligono d
Poligono e
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson pag. 170 e pg.176
Si sollecitano le riflessioni degli alunni con domande quali
1. Qual è il poligono con il perimetro maggiore? Quanti lati ha?
2. Qual è il poligono con il perimetro minore? Quanti lati ha?
3. Vi sono poligoni che hanno lo stesso numero di lati? Essi hanno
uguale perimetro?
4. Qual è la successione dei poligoni posti in ordine crescente di
perimetro?
Successivamente si fa quantificare, in lati quadretto, il perimetro di
ogni poligono e si rileva che i numeri che esprimono le misure sono
nella stessa relazione delle corrispondenti lunghezze.
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176
2) Rispetto all’attività precedente è più problematica quella inversa, ossia
il passaggio, non univoco, dal segmento che rettifica una poligonale al
poligono che ha perimetro uguale alla lunghezza del segmento. Si può
graduare il lavoro segnando inizialmente sul segmento dato le lunghezze,
quindi assegnando anche il numero, dei lati del poligono. Per esempio:
a
b
c
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176
Il lavoro sulla quadrettatura può essere considerato banale, ma in realtà se
opportunamente predisposto permette di tornare a riflettere sulla diversità di
lunghezza tra il lato quadretto e la diagonale quadretto. A tal fine può essere
stimolante una situazione problematica come quella proposte negli esempi
seguenti.
Luca, Alì e Sara devono disegnare un poligono che ha il perimetro uguale alla
lunghezza del segmento:
Ai tre amici il lavoro sembra molto facile. Ecco come ognuno di loro ha
risolto il problema.
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176
LUCA
SARA
ALÌ
Io ho visto che il
segmento è lungo 8 lati
quadretto e ho
disegnato questo
poligono.
Anche io ho contato 8 lati
quadretto e ho disegnato
questo poligono.
Io ho disposto gli 8 lati
quadretto in modo da
formare questo poligono.
Chi ha risposto in modo corretto al problema? Perché?
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176
2) Si fanno osservare poligoni disegnati su carta quadrettata, come i seguenti:
a
b
d
f
e
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20
Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Ericksonda da pag. 170 a pag.176
NIENTE FORMULE!!!!!!
Non si ritiene opportuno parlare con gli alunni di “formule” per il calcolo della
misura del perimetro, in quanto le cosiddette formule non sono altro che
scritture aritmetiche, formalizzazioni diverse della stessa operazione di
somma delle misure dei lati. Si considera didatticamente più formativo fare
riflettere gli alunni proprio sulla varietà di modi aritmetici per giungere alla
misura del perimetro di un poligono, tutti ugualmente corretti, e di lasciare a
ciascun alunno la scelta della strategia di calcolo da adottare.
Ogni alunno, infatti, posto di fronte alla richiesta di calcolare la misura del
perimetro di un poligono, usa il procedimento che “vede” più facilmente.
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176
NIENTE FORMULE!!!!!!
ESEMPIO
Calcolo la misura del perimetro in centimetri
usando tre espressioni diverse
3cm
5cm
a) 5 + 3 + 5 + 3 = 16
b) ( 5 x 2 ) + ( 3 x 2 ) = 16
c) ( 5 + 3 ) x 2 = 16
Il perimetro del rettangolo è di 16cm .
C’è un’espressione che vale per qualunque
poligono?
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UN PERIMETRO … TANTE ESPRESSIONI
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 187)
Per ogni poligono segna con una crocetta l’espressione che corrisponde alla richiesta.
AB = 10cm
BC = 4cm
La misura in centimetri del perimetro del
parallelogramma ABCD non si calcola con
 10 + 4 + 10 + 4
 (2  10) + (2  4)
 2  (10 + 4)
 10 + 4
PQ = 5m
PQ = QR = RS
PS = 2,4m
La misura in metri del perimetro del
parallelogramma PQRS si può calcolare con
 5 + 2,4
 (2  5) + 2,4
 (3 x 5) + 2,4
 3 x (5 + 2,4)
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UN’ESPRESSIONE … TANTI PROBLEMI
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 188)
Valeria, Antonella, Michele e Riccardo sono impegnati nei compiti. Sembra tutto molto
semplice, perché i quattro amici non devono risolvere problemi, ma … inventarne.
Possono liberare la loro fantasia, ma devono solo rispettare la consegna:
“Per ogni espressione data scrivi il testo di un problema in cui viene richiesto il
perimetro di un poligono”.
Ecco cosa hanno scritto i bambini per l’espressione:
3 + 8 + 3 + 8.
VALERIA
MICHELE
Un rettangolo ha i lati
lunghi 3cm e 8cm.
Determina la misura del
perimetro del rettangolo in
centimetri.
Calcola la misura del
perimetro in centimetri di
un rombo che ha i lati
lunghi 3cm e 8cm.
Un romboide ha i
lati lunghi 3dm e
8dm. Quanti
decimetri misura il
suo perimetro?
ANTONELLA
RICCARDO
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Quanto misura il
perimetro in metri
di un quadrilatero
che ha due lati
lunghi 3m e due
lati lunghi 8m?
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Perimetro – area - volume di una figura: definizioni
(di Clara Colombo Bozzolo)
Perimetro- area- volume:
1. Sono un ente geometrico, cioè una linea, una superficie, un solido?sì
2. Sono una misura di tale ente geometrico, cioè un numero?
sì
3. Sono una grandezza
sì
no
no
no
Perimetro di una figura piana:
1. è il contorno della figura
2. è la misura del contorno
3. è la lunghezza del contorno
sì
sì
sì
no
no
no
Il termine “perimetro” vale solo per i poligoni?
Il cerchio ha un perimetro?
sì
sì
no
no
In un poligono il perimetro:
1. è la somma dei lati
2. è la somma delle misure dei lati
3. è la somma delle lunghezze dei lati
sì
sì
sì
no
no
no
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25
Il perimetro
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60)
Al termine perimetro vengono attribuiti diversi significati:
a) contorno di un poligono, quindi è sinonimo di poligonale, ossia di spezzata
chiusa e semplice;
b) lunghezza del contorno di un poligono, per cui designa una grandezza;
c) misura della lunghezza del contorno di un poligono, pertanto è un numero
reale non negativo.
L’accezione con cui viene utilizzato la parola perimetro condiziona la
correttezza o meno di espressioni ad esso relative.
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26
Il perimetro
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60)
Al termine perimetro vengono attribuiti diversi significati:
a) contorno di un poligono, quindi è sinonimo di poligonale, ossia di spezzata
chiusa e semplice;
“un poligono di perimetro ABCD” presuppone il significato a), in quanto ABCD
è la denominazione della poligonale
b) lunghezza del contorno di un poligono, per cui designa una grandezza;
“il perimetro di un poligono è di 13cm” è coerente solo con l’accezione b),
dato che 13cm è una lunghezza;
c) misura della lunghezza del contorno di un poligoni, pertanto è un numero
reale non negativo.
in centimetri, il perimetro di un poligono è 13” comporta l’assunzione
dell’accezione c), poiché il perimetro viene identificato con un numero,
ossia una misura.
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Il perimetro
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 55
NOSTRA SCELTA
Con il termine perimetro intendiamo la lunghezza del contorno di una
figura piana.
Il perimetro essendo una lunghezza è, quindi, una grandezza.
In base a ciò, non solo si parla di perimetro di un poligono, ma anche di
perimetro di un cerchio, inteso come la lunghezza della circonferenza che
delimita il cerchio, di perimetro di una figura piana delimitata da una linea
mista chiusa, …
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Perimetro – area - volume di una figura: definizioni.
Area di una figura piana:
1. è “lo spazio piano” occupato dalla figura
2. è la misura di tale parte di piano
3. è una grandezza relativa all’equiestensione
di figure piane
Volume di un solido:
1. è la parte di spazio occupato dal solido
2. è la misura di tale parte di spazio
3. è una grandezza relativa all’equiestensione
di figure solide
sì
sì
no
no
sì
no
sì
sì
no
no
sì
no
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