UN MONDO DI PROBLEMI,
MA … MATEMATICI
• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi
matematici
25 marzo 2014
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese marzo maggio 2014
1
Perché non si può dividere per 0?
Il motivo per cui non è possibile eseguire la divisione per 0
è giustificato dalle seguenti considerazioni.
Sia
X ∊R X≠0
se ∃ y
t.c. X/0 = Y
Si avrebbe anche: X = 0Y.
Dato, però, che ogni numero moltiplicato per 0 dà come
risultato 0,
risulterebbe: X = 0 (in evidente contrasto con l'ipotesi
iniziale).
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2
Perché non si può dividere per 0?
Supponiamo:
X = 0,
∄ un unico numero reale Y, t. c.
0/0 = Y
0 = 0Y
∀Y
quindi, il risultato di tale operazione sarebbe
indeterminato.
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3
INTRODUZIONE DELLO
ZERO
I MUSICANTI DI BREMA
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4
Gli animali sono quattro
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5
ESCE L’ASINO
Restano tre animali
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6
ESCE IL CANE
Restano due animali
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7
ESCE IL GATTO
Resta un animale
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8
ESCE IL GALLO
Restano zero animali
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9
Il paese delle fate è molto bello perché è costruito con tante case
colorate.
In ogni casa abita una fata con delle bacchette magiche fatte così:
una bacchetta magica una sola magia, una sola magia da ogni
bacchetta magica.
C'è la casa azzurra dove abita la fata Fiordaliso che ha 10 bacchette
magiche.
C'è la casa gialla dove abita la fata Polentina con le sue 5 bacchette
magiche.
C'è la casa verde dove abita la fata Lattuga che purtroppo ha perso le
sue bacchette al parco giochi.
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10
Disegna le bacchette magiche di Fiordaliso
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11
Disegna le bacchette magiche di Polentina
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12
Disegna le bacchette magiche di Lattuga
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13
Quale fata può fare più magie? (Ricordati
che per ogni magia ci vuole una bacchetta
magica e che con una bacchetta magica si
può fare una sola magia).
……………………………………………………………………
…………………………………..
Quale fata non può più fare neanche una
magia?
Perché……………………………………………..
……………………………………………………………………
……………………………………
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14
Alcune precisazioni didattiche
In quali numeri gli zeri
sono necessari?
3,20
3,202
NO perchè non
cambia il valore del
numero
3,02
Sì perchè cambia il 3,200
valore del numero
Sì perchè cambia
il valore del numero
NO perchè non
cambia il valore del
numero
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15
Alcune precisazione didattiche
Quando gli zeri sono
necessari?
3,2 – 1,548 = ?
È necessario scrivere:
3,200 – 1,548 =
Gli zeri aggiunti non cambiano il valore del numero, ma
rendono possibile la sottrazione
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16
Alcune precisazione didattiche
Quando gli zeri sono
necessari?
Calcola il quoziente della seguente divisione approssimato
ai decimi
11 : 8 = ?
Quando si calcola il quoziente di una divisione approssimato ai
decimi, ai centesimi …, è opportuno aggiungere lo zero o gli zeri
già all’inizio.
11,0 : 8 =
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17
Alcune precisazione didattiche
Quando gli zeri sono
necessari?
Calcola il quoziente delle seguenti divisioni
654 : 6 =109
4,2 : 7 = 0,6
A scuola si usa dire: Quando il divisore non “ci sta” nel dividendo
significa che “ci sta” zero volte.
È meglio dire è contenuto 0 volte e lo 0 va scritto al quoziente.
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18
Alcune precisazione didattiche
Lo zero a sinistra dei
numeri interi.
Nelle date: 03/06/00 – 18/06/08
In questo contesto lo zero indica la mancanza di unità
o di decine.
A sinistra dei numeri naturali lo zero non serve
altrimenti non avremmo più i numeri con una, due, tre
cifre, ma sempre con infinite cifre.
…00032
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19
Alcune precisazione didattiche
L’uso dello zero nell’ordinamento dei
numeri decimali con la parte intera
uguale
L’ordinamento dei numeri decimali con la parte intera uguale viene
facilitato dal pareggiare il numero di cifre decimali:
es.
3,6 ; 3,17; 3,129, ecc si ordinano più facilmente se si scrive
3,600 ; 3,170; 3,129 così il confronto avviene ... fra interi:
600 ; 170 ; 129.
In fondo è come ridurre tutto in millesimi:
3 600; 3 170; 3 129.
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20
Lo zero … nel paesaggio
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21
Lo zero … nella poesia
L'AVVENTURA DELLO ZERO
di Gianni Rodari
Il signor Tre
che si leva il cappello
e fa un inchino
fino al tombino…
e poi, per Giove
il Sette, l’Otto, il Nove
che fanno lo stesso.
Ma cosa era successo?
Che l’Uno e lo Zero
seduti vicini,
uno qua l’altro là
formavano un gran Dieci:
nientemeno, un’autorità!
Da quel giorno lo Zero
fu molto rispettato,
anzi da tutti i numeri
ricercato e corteggiato:
gli cedevano la destra
con zelo e premura
(di tenerlo a sinistra
avevano paura),
gli pagavano il cinema,
per il piccolo Zero
fu la felicità.
C'era una volta
un povero Zero
tondo come un o,
tanto buono ma però
contava proprio zero e
nessuno
lo voleva in compagnia.
Una volta per caso
trovò il numero Uno
di cattivo umore perché
non riusciva a contare
fino a tre.
Vedendolo così nero
il piccolo Zero,
si fece coraggio,
sulla sua macchina
gli offerse un passaggio;
schiacciò l’acceleratore,
fiero assai dell’onore
di avere a bordo
un simile personaggio.
D’un tratto chi si vede
fermo sul marciapiede?
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22
E per finire con lo zero …
Zero: mancanza di un segno
o segno di una mancanza?
(G. Giorello, 1981 Enciclopedia Einaudi; vol. 14)
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23
ALCUNI NUMERI NATURALI
NELLA E LELLA
Questa è la storia delle formichine Nella e Lella
che tutto il giorno girano per il mondo
per capire se è rotondo.
Camminano sia in montagna, sia in pianura:
la loro vita è proprio dura!
Raccolgono semi in eterno
per sopravvivere al lungo inverno.
Durante i loro viaggio tanti amici possono incontrare
e con loro si fermano un po’ a giocare.
Ma il lavoro che le aspetta è impaziente
e lo devono riprendere immediatamente.
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24
Ecco le formichine Nella e Lella, contale e scrivi il numero che
ti dice quante sono.
Ogni formichina utilizza un solo sacco per ritirare le provviste.
Dai ad ogni formichina un solo sacco.
Rispondi:
• C’è un sacco per ogni
formica?….
• Ogni sacco è usato da una
sola formica?……..
• Quante sono le
formiche?……….
• Quanti sono i sacchi?....
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25
LA RACCOLTA
La formica Nella decide di raccogliere i semi in un bellissimo giardino
pieno di fiori colorati. Riesce a trovare 4 semi gialli a forma di stella e 2
arancioni tondi tondi: in tutto 6 bellissimi semi da portare con orgoglio
nel formicaio.
Ecco i semi che ha raccolto la formica Nella; colorali e scrivi quanti sono.
I semi raccolti da Nella sono……
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26
Anche la formica Lella ha raccolto, nello stesso
giardino, sei semi tutti verdi e a forma di
triangolo.
•Disegna e colora i semi che ha raccolto Lella e
scrivi quanti sono.
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27
SEMI A CONFRONTO
Colora i semi di
Nella e quelli di
Lella
I semi di Nella
sono tanti quanti
quelli di
Lella?………
Cosa puoi fare
per essere
sicuro?..
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28
NUOVI AMICI
Nella e Lella stanno lavorando con molto
impegno quando sentono delle vocine
allegre: qualcuno si sta divertendo. Decidono
di fermarsi un momento a curiosare. Tra
l’erba scorgono otto allegre chioccioline che
stanno giocando. Nella e Lella decidono di
farsi avanti per conoscere questi allegri
animaletti.
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29
•Ecco le chioccioline che attirano l’attenzione
di Nella e Lella. Colorale e contale.
Quante sono le
chioccioline viste
da Nella e da
Lella?………………
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30
CHI CERCA TROVA
Oggi è domenica e le formichine Nella e Lella decidono di
fare un gioco con la loro amica chiocciolina Marta. La
formica Lella prima nasconde 8 semi tondi tondi, poi farà
da arbitro. Nella e Marta dovranno cercare i semi nascosti.
Vincerà chi troverà più semini.
Al via Nella parte di corsa, mentre Marta cammina
lentamente, ma osserva tutto con molta attenzione.
Alla fine del gioco l’arbitro Lella controlla i bottini: Nella ha
scoperto 3 semini, mentre Marta ne ha scovati 4.
Chi ha trovato più semini?…..
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31
Prima di rispondere completa il disegno.
HA TROVATO
HA TROVATO
………………
………………
Con i numeri possiamo scrivere che
4 è maggiore di 3
4>3
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32
Questi sono i semini che aveva nascosto
Lella.
Colora di rosso i semini scovati da Nella.
Colora di giallo i semini trovati da Marta.
Sei riuscito a colorare tutti i semi?…..
Perché?……………
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33
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34
PAOLO E ALICE SI DIVERTONO CON IL TIRO
A SEGNO
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 1 pag.109 a cura di C. Colombo
Bozzolo, Erickson)
LEGGI CHE COSA DICONO I FUMETTI E DISEGNA LA FRECCIA CHE
MANCA
ALICE
IO HO FATTO
PIÙ PUNTI
IO HO FATTO
MENO PUNTI
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PAOLO
35
PAOLO E ALICE SI DIVERTONO CPN IL TIRO A SEGNO
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 1 pag.109 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
AL GIOCO SI UNISCE SILVIA PER UN’ALTRA PARTITA. DOPO IL PRIMO
TIRO:
SILVIA
IO HO FATTO 5
PUNTI
ALICE
IO HO FATTO
MENO PUNTI
DI PAOLO
IO HO FATTO
PIÙ PUNTI DI
SILVIA
PAOLO
Confronta il tuo lavoro
con quello dei tuoi
compagni.
Tutti avete scelto gli
stessi numeri? ………
Perché …………………
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36
SFIDE AL TIRO A SEGNO 42c
(Colombo Bozzolo, Costa, Alberti, Nel mondo della matematica, vol 1, Erickson)
Grande Aquila Saggia ha fatto appendere il bersaglio per il tiro a segno a
un albero. Iniziano la sfida al tiro a segno Piede Veloce e Orecchio di
Lepre
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37
Nel secondo lancio, Piede Veloce ha fatto tre punti in più di Orecchio di
Lepre.
• Quale punteggio ha
ottenuto Orecchio di
Lepre?......
• Disegna la sua
freccia nella zona
giusta.
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38
SFIDE AL TIRO A SEGNO
La parte è centrata sul confronto e sulla
quantificazione della differenza, quantificazione che
può essere registrata sia tramite la sottrazione
17 – 3 = …
sia tramite l’addizione aperta
3 + … = 17.
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39
SFIDE AL TIRO A SEGNO 42d
Nel terzo lancio Orecchio di Lepre è riuscito a centrare la zona che vedi nel disegno.
Piede Veloce non ha perso.
• Quale punteggio
può avere realizzato
Piede Veloce? Scrivi
tutte le possibilità.
…………………
• Confronta la tua
risposta con quella
dei tuoi compagni e
discutine con
l’insegnante
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40
SFIDE AL TIRO A SEGNO
Del primo quesito della scheda 42d si sottolinea che
l’informazione “non ha perso” dà luogo a due possibili
esiti:
• Piede Veloce può o avere pareggiato, quindi realizzato un
punteggio uguale a quello di Orecchio di Lepre,
• oppure avere vinto, per cui avere ottenuto un punteggio
maggiore di quello dello sfidante.
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41
Nella nuova sfida al tiro a segno ogni partecipante deve tirare una dopo l’altra
tre frecce. Vince chi ottiene il punteggio totale maggiore.
Occhio di Falco, con tutte e tre le frecce andate a segno, ha ottenuto 39 punti.
Il disegno mostra i punti fatti da Occhio di Falco con due frecce.
Quanti punti ha ottenuto con la terza freccia?
Rispondi alla
domanda del
problema e registra
la strategia che hai
usato per ottenere il
punteggio.
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42
SFIDE AL TIRO A SEGNO
Il secondo quesito della scheda 42d può essere risolto con operazioni successive
registrate
• con l’addizione aperta 11 + 8 + … = 39
• con operazioni separate: 11 + 8 = 19 39 – 19 = 20
• con l’espressione 39 – (11 + 8) = 20
• con una catena di operatori
-11
39
28
-8
20
• per tentativi nel completamento dell’addizione aperta
11 + 8 + … = 39.
Pure il procedere per tentativi può essere in qualche modo regolamentato; per
esempio, gli alunni possono rilevare che la somma delle unità dei due addendi noti è
9, quindi la cifra delle unità dell’addendo incognito deve essere 0: l’unico punteggio
che ha 0 come cifra delle unità è 20; in effetti:
11 + 8 + 20 = 39.
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43
SFIDE AL TIRO A SEGNO 42e
Anche Dente di Lupo è riuscito a mandare a segno tutte e tre le frecce e ha
realizzato 45 punti. Ecco la situazione dopo avere lanciato la prima freccia.
Che punti può avere ottenuto Dente di Lupo con ognuna delle altre due
frecce?
Torva tutte le possibili soluzioni, spiegando il procedimento che hai seguito.
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44
SFIDE AL TIRO A SEGNO
Piede veloce centra il bersaglio con tutte le frecce, ma realizza solo 30 punti: in
quali zone possono essere arrivate le sue frecce?
20
17
14
Rispondi alla
domanda,
spiegando il
procedimento
che hai seguito
per trovare tutte
le possibili
soluzioni
11
8
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45
Punteggi possibili: 8 11 14 17 20
Si devono trovare tre numeri con somma 30; si può osservare che
dovendo dare una somma pari necessariamente i numeri sono o tutti e tre
pari oppure due dispari e un pari.
Se si ipotizza che i tre centri siano in settori diversi si hanno solo le
possibilità
8 + 14 + 20 = 42 che non è il punteggio ottenuto da Piede Veloce
11 + 17 + … = 30 che non ha soluzione.
Almeno due centri devono avere colpito lo stesso settore; non è però
possibile che tutte e tre le frecce abbiano colpito lo stesso settore, perché
nessuno dei punteggi in tale caso è uguale a 30. Ne segue che solo due
frecce hanno dato lo stesso punteggio, quindi si hanno due addendi uguali
la cui somma è pari, per cui pure il terzo addendo deve essere pari.
In base a queste considerazioni, dalla tabella si ricavano le coppie 16, 14,
8, 22, le quali permettono di concludere che Piede Veloce può avere
colpito
con due frecce il settore da 8 punti e con una freccia il settore da 14
con due frecce il settore da 11 e con una freccia il settore da 8.
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46
Per la risoluzione del secondo quesito della scheda 42e può essere
utile impostare una tabella in cui si registrano i punti guadagnati anche
con ripetizione dei settori colpiti:
n° centri
1
2
3
8
8
16
24
11
11
22
33
14
14
28
42
17
17
34
51
20
20
40
60
punti
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47
SFIDE AL TIRO A SEGNO
Si rivela particolarmente efficace anche per i quesiti seguenti riflettere
sul comportamento dei numeri pari e dei numeri dispari rispetto
all’addizione: due numeri dello stesso tipo, ossia appartenenti alla
stessa classe di congruenza modulo 2, hanno per somma un numero
pari; due numeri di tipo diverso, ossia appartenenti a classi di
congruenza diverse modulo 2, hanno per somma un numero dispari.
Si può estendere l’analisi anche a somme di tre addendi:
• una somma è pari se tutti i tre addendi sono pari oppure uno è pari e
due sono dispari
• una somma è dispari se tutti i tre addendi sono dispari oppure uno è
dispari e due sono pari.
Nel caso del problema di Occhio di Falco dove ha ottenuto 39 punti, la
somma dei punteggi dei due tiri fatti (pag. 57) è dispari, un addendo è
pari e l’altro è dispari, quindi l’addendo mancante deve essere pari: la
scelta si riduce a 8, 14, 20.
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48
In modi analoghi ai precedenti può essere risolto il primo quesito della scheda
42e: (pag. 44)
la somma di tre addendi deve essere dispari (45) e si sa che un addendo è pari
(20); ne segue che dei due addendi mancanti uno deve essere pari e l’altro
deve essere dispari.
Si devono verificare, dunque, solo le coppie
(8, 11), (8, 17), (14, 11), (14, 17);
tra queste, risolvono il problema (8, 17) e (11, 14).
Si osserva che l’individuazione di una delle due coppie permette di ricavare
anche l’altra; infatti, se si fosse trovata la coppia (11, 14), si potrebbe
concludere che anche la coppia (8, 17) e soluzione, in quanto il suo primo
termine si ottiene sottraendo 3 a 11 e il suo secondo termine si ottiene
addizionando 3 a 14, quindi la loro somma è uguale a quella di 11 + 14:
11
+
-3
8
14
=
25
=
25
+3
+
17
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49
SFIDE AL TIRO A SEGNO 42f
I quattro piccoli pellerossa si sfidano su un nuovo bersaglio.
Vince la sfida chi, lanciando tre frecce, realizza il punteggio maggiore. I quattro amici
hanno una buona mira, perché ognuno riesce a mandare a segno tutte le proprie frecce.
Nelle tabelle sono indicati alcuni loro punteggi.
15
10
6
3
1
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50
Punteggi possibili: 1 3 6 10 15
Completa le tabelle in base alle informazioni assegnate.
Esegui le operazioni necessarie sul quaderno
Occhio di Falco
1° tiro
2° tiro
10
1
3° tiro
Totale punteggio
14
Orecchio di Lepre ha colpito tre settori diversi.
1° tiro
2° tiro
3° tiro
Totale punteggio
Orecchio di Lepre
17
Piede Veloce ha ottenuto un punteggio totale doppio di quello di Occhio di Falco.
1° tiro
2° tiro
3° tiro
Totale punteggio
28
Piede Veloce
Dente di Lupo ha colpito sempre lo stesso settore e si è classificato secondo.
1° tiro
2° tiro
3° tiro
Totale punteggio
Dente di lupo
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51
Nei quesiti della scheda 42f non è rilevante l’ordine in cui i punteggi
sono stati ottenuti, per cui le terne di punti non sono ordinate.
Orecchio di Lepre ha un punteggio totale dispari, per cui i punti parziali
devono essere o tutti dispari o due pari e uno dispari:
i tre numeri dispari nel bersaglio hanno come somma 19 (1 + 3 + 15),
per cui la soluzione corrisponde alla seconda tipologia di addendi
gli unici numeri pari presenti nel bersaglio sono 10 e 6,
quindi l’addizione aperta 10 + 6 + … = 17 è completata in modo unica
da 1.
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52
Punteggi possibili: 1 3 6 10 15
Occhio di Falco ha totalizzato 28 punti, numero che può essere somma o di
tre numeri pari o di due numeri dispari e un numero pari:
per avere tre numeri pari uno dei settori che danno un punteggio pari deve
essere stato colpito almeno due volte; si hanno i casi
10 + 10 + 10 = 30
10 + 10 + 6 = 26
10 + 6 + 6 = 22
6 + 6 + 6 = 18
nessuno dei quali risolve il quesito
con un solo un addendo pari si hanno i casi
6 + 15 + 15 = 36
6 + 15 + 3 = 21
le altre combinazioni comprendenti il numero 6 forniscono un risultato
minore di 21, quindi non danno soluzioni al quesito; ne segue che
l’addendo pari deve essere 10
10 + 15 + 15 = 40
10 + 15 + 3 = 28 soluzione
le altre combinazioni comprendenti il numero 10 danno somme minori di
18, quindi non risolvono il problema.
Si conclude che l’unica soluzione è la terna non ordinata di punteggi
10, 15, 3.
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53
Punteggi possibili: 1 3 6 10 15
Dente di Lupo ha colpito sempre lo stesso settore e si è classificato secondo.
1° tiro
2° tiro
3° tiro
Totale punteggio
Dente di lupo
Per individuare il punteggio di Dente di Lupo è opportuno procedere in
modo inverso rispetto ai casi precedenti:
si determina il triplo di ciascuno dei punti guadagnati in ciascun settore
del bersaglio e si considerano solo i risultati che sono minori di 28 e
maggiori di 17.
L’unica soluzione possibile è 18, quindi Dente di Lupo ha colpito per
tre volte il settore da 6 punti.
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54
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10a)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Nella zona “Far West” del parco Giocolandia si può partecipare a sfide di
tiro al bersaglio con arco e frecce. Con ciascun lancio ogni giocatore
guadagna tanti punti quanti indicati nel settore colpito dalla freccia; se la
freccia non colpisce il bersaglio, il lancio vale 0 punti.
Con il bersaglio sotto disegnato si sono sfidati Manuel e Nicola: ciascuno
ha effettuato cinque lanci i cui esiti sono registrati nella tabella seguente.
N. di lanci
punteggi
Manuel
Nicola
5
1
2
15
3
1
25
50
1
1
1
• Come è finita la partita? ………………
• Giustifica la tua risposta ………………..
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55
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10a)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
Ambito matematico: aritmetica (numeri, operazioni)
logica (relazioni, deduzioni).
Tipo di testo: iconico/simbolico, verbale, in forma schematica.
Soluzione: unica – non unica.
Attività specifiche richieste nella risoluzione: uso di tabelle o diagrammi.
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
Il testo del problema della scheda 10a fornisce informazioni relative alle
regole del gioco del tiro al bersaglio.
Il problema richiede una lettura attenta della tabella, per non incorrere
nell’errore di leggere i numeri in corrispondenza dei nomi dei due giocatori
come punti, invece che come quantità di lanci.
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56
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10a)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
La risoluzione si presta a diverse formalizzazioni aritmetiche, tra le quali
• il calcolo tramite addizioni ripetute
punti di Manuel:
5 + 15 + 15 + 15 + 50 = 100
punti di Nicola
5 + 5 + 15 + 25 + 50 = 100
• il calcolo tramite una successione di operazioni
punti di Manuel
3  15 = 45
5 + 45 + 50 = 100
punti di Nicola
2  5 = 10
10 + 15 + 25 + 50 = 100
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57
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10a)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Dato che la prima sfida è terminata senza vincitori, Manuel e Nicola
procedono ad un’ulteriore sfida. Ciascuno di essi effettua tre lanci:
Manuel totalizza 45 punti e Nicola ne totalizza 55.
Quanti punti può avere realizzato in ogni lancio ciascuno dei
bambini?
Per rispondere alla domanda completa la tabella
Manuel
Nicola
Totale: 45 punti
Totale: 55 punti
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58
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA(10a)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
• per Manuel (45) le soluzioni sono due: 5, 15, 25 – 15, 15, 15
• per Nicola (55) le soluzioni sono tre: 0, 5, 50 - 5, 25, 25 – 15, 15, 25
soluzioni nelle quali non ha importanza l’ordine di realizzazione del
punteggio.
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59
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10b)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Utilizzando il bersaglio disegnato, Andrea deve totalizzare 23 punti
lanciando cinque frecce. Prima di procedere ai lanci, osserva
attentamente il bersaglio e individua i settori nei quali dovrebbero
arrivare le frecce: scopre che ci sono quattro possibilità.
Completa la tabella con le quattro possibilità
individuate da Andrea.
Punti per ogni
lancio
Punteggio
totale
1° possibilità
23
2° possibilità
23
3° possibilità
23
4° possibilità
23
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60
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10b)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
• I numeri che contrassegnano il primo
bersaglio della scheda 10b sono cinque
potenze consecutive di 2:
1 = 20, 2 = 21, 4 = 22, 8 = 23, 16 = 24
• Il compito consiste, quindi, nello scomporre in
quattro modi diversi il numero 23 come
somma di cinque addendi che sono o
potenze di 2 o il numero 0:
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61
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10b)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Punteggio
totale
Punti per ogni lancio
1° possibilità
16
4
2
1
0
23
2° possibilità
16
4
1
1
1
23
3° possibilità
16
2
2
2
1
23
4° possibilità
8
8
4
2
1
23
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62
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10b)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
Risoluzione per tentativi
Troppo laboriosa
Ricerca della soluzione con una tabella compilata in ogni riga fino a quando si
ottiene un numero maggiore di 110 o si superi il numero di lanci effettuati.
n° di centri nel settore
1
2
3
4
5
6
17
17
34
51
68
85
102
18
18
36
54
72
90
108
23
23
46
69
92
115
42
42
84
126
valore del settore
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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63
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10b)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Alessandra, Silvia e Alice hanno giocato con il bersaglio sotto disegnato.
Ognuna ha lanciato sei frecce totalizzando 110 punti, in modo diverso dalle
altre. Silvia e Alice hanno mandato a segno solo cinque frecce ciascuna;
Alessandra con un lancio ha realizzato 23 punti.
Quali settori hanno colpito le frecce delle tre amiche?
* Completa
la tabella con i punteggi che possono avere realizzato le tre amiche.
Punti realizzati in ogni lancio
Punteggio
totale
Alessandra
Silvia
Alice
Confronta la tua risposta con quella di un tuo
compagno e discutine con l’insegnante.
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64
n° di centri nel settore
1
2
3
4
5
6
17
17
34
51
68
85
102
18
18
36
54
72
90
108
23
23
46
69
92
115
42
42
84
126
valore del settore
• In tale tabella si devono cercare i numeri che hanno come somma 110.
• Per Silvia e Alice tale risultato è stato ottenuto con sole cinque frecce, che
possono avere colpito
quattro volte il settore da 17 e una volta il settore da 42: 68 + 42 = 110
quattro volte il settore da 23 e una volta il settore da 18: 92 + 18 = 110.
Le informazioni date non sono sufficienti per stabilire quale delle due giocatrici
ha realizzato una delle sequenze di punti e quale l’altra.
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65
n° di centri nel settore
1
2
3
4
5
6
17
17
34
51
68
85
102
18
18
36
54
72
90
108
23
23
46
69
92
115
42
42
84
126
valore del settore
• Alessandra con un lancio ha ottenuto 23 punti,
quindi con gli altri cinque ha ottenuto 110 – 23 = 87 punti;
potrebbe avere colpito tre volte il settore da 17 e due volte il settore da 18
51 + 36 = 87
• Dato che nulla si dice su eventuali lanci non mandati a segno da parte
di Alessandra e sulla eventuale ripetizione di punteggi, è anche possibile che la
ragazza abbia colpito, oltre alla volta esplicitamente indicata, altre due volte il
settore da 23, una volta il settore da 18 e abbia mandato fuori bersaglio un
lancio
69 + 18 = 87
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66
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10c)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Si è appena conclusa la sfida tra Luisa, Sofia e Claudio: hanno
fatto un lancio a turno per un totale di tre lanci a testa.
Ecco come si presenta il bersaglio a sfida terminata e i commenti
dopo la gara.
Dopo i primi cinque
lanci era in testa
Luisa, sebbene lei
avesse lanciato una
sola freccia
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67
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10c)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Di’ la verità, Sofia,
ti bruciava d’aver
ottenuto un solo
punto con il lancio
precedente!
Hai visto, Luisa,
con quanta forza
ho scagliato la mia
ultima freccia?
L’ultimo di tutti i
lanci è stato un
bel centro.
Quanti punti ha ottenuto Claudio
con il suo terzo lancio?
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68
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10c)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Per rispondere alla domanda ricostruisci, completando la tabella, i
punteggi realizzati nel corso della sfida. Aiutati osservando il
disegno, in cui Luisa, Sofia e Claudio sono identificabili dalla
propria iniziale scritta sulla maglietta.
1° lancio
2° lancio
3° lancio
Sofia
Claudio
Luisa
Claudio con il suo terzo lancio ha ottenuto ……….. punti.
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69
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10c)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
una lettura attenta delle informazioni
verbali
iconiche
Osservazione del bersaglio
valore del settore
1
2
3
4
5
n° di frecce nel settore
1
2
1
2
3
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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70
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10c)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Giocatore
1a
possibilità
2a
possibilità
3a
possibilità
4a
possibilità
Sofia
(1, 3)
(2, 2)
(3, 1)
(2, 2)
(2, 2)
(1, 3)
(2, 2)
(3, 1)
Claudio
Qualunque possibilità si realizzi, rimangono da attribuire solo le frecce
indicate nella seguente tabella:
valore del settore
n° di frecce nel settore da
attribuire
1
0
2
0
3
0
4
2
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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5
2
71
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10c)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Terza informazione
fumetti di Sofia e di Luisa
Sofia con l’ultimo lancio ha colpito il
centro del bersaglio e con il
secondo lancio ha ottenuto solo un
punto.
Si è verificata la seconda possibilità
indicata nella tabella precedente e si
attribuisce a Sofia anche una dei tiri
da 5
1° lancio
2° lancio
3° lancio
Sofia
3
1
5
Claudio
2
2
Luisa
5
valore del settore
1
2
3
4
5
n° di frecce nel settore da
attribuire
0
0
0
2
2
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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72
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10c)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Quarta informazione
fumetti dello spettatore
L’ultimo tiro è effettuato da Luisa,
che ha dunque realizzato un altro
centro.
Rimangono da attribuire solo le due frecce che hanno colpito il settore da 4,
per cui si ha
1° lancio
2° lancio
3° lancio
Sofia
3
1
5
Claudio
2
2
4
Luisa
5
4
5
Si conclude che con il suo terzo lancio Claudio ha realizzato 4 punti.
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73
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10d)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Otto ragazzi hanno appena
terminato una sfida con il bersaglio
qui disegnato; la sfide si è conclusa
con i punteggi totali indicati nella
tabella.
Tutti i giocatori hanno avuto una
buona mira e hanno mandato a
segno ogni freccia. Ognuno di loro
disponeva di quattro frecce: tre
frecce blu e una rossa. Il punteggio
ottenuto con la freccia rossa veniva
raddoppiato.
Che punti può avere realizzato
ciascun giocatore con ognuna delle
sue frecce?
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74
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10d)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Per rispondere alla domanda del problema completa la tabella.
Punti ottenuti con
ogni freccia blu
Punti con Punteg
la freccia
gio
rossa
totale
Antonio
32
Luciano
29
Cristian
28
Giacomo
26
Valentina
25
Zaira
24
Tony
22
Isabella
20
Confronta il tuo lavoro con quello di un tuo compagno e discutine con l’insegnante.
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75
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10d)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
Il problema ammette più soluzioni per ciascuno degli otto lanciatori:
Luciano: 29 punti
Punti ottenuti con ogni freccia blu
Punti ottenuti con la
freccia rossa
1
1
7
10
1
3
5
10
3
3
3
10
1
7
7
7
3
5
7
7
5
5
5
7
5
7
7
5
3
10
10
3
7
10Bozzolo -Patrizia Dova
10 - Marinella Del Torchio 1
Clara Colombo
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76
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10d)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Cristian: 28 punti
Punti ottenuti con ogni freccia blu
Punti ottenuti con la
freccia rossa
1
3
10
7
1
7
10
5
3
5
10
5
5
7
10
3
Antonio: 32 punti
Punti ottenuti con ogni freccia blu
Punti ottenuti con la
freccia rossa
1
1
10
10
3
5
10
7
1
7
10
7
5
7
10
5
10
10
10
1
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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77
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10e)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Nel bersaglio rappresentato sono
segnati i punti in cui si sono conficcate
le frecce lanciate da Cinzia, Roberto e
Daniele. Ognuno di loro ha scagliato
cinque frecce: Cinzia con un lancio ha
realizzato 5 punti, Daniele con due lanci
ne ha realizzati 8. Alla fine i tre amici
hanno totalizzato lo stesso punteggio
complessivo.
Chi dei tre amici ha colpito il centro del
bersaglio?
Completa la tabella
Giocatori
Punti ottenuti con
ogni lancio
punteggio
complessivo
?
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78
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10e)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
Prima informazione
Lettura del testo
I giocatori sono tre e ognuno di
loro ha lanciato cinque frecce
Seconda informazione
Lettura del bersaglio
I segni lasciati nel bersaglio sono quindici,
pertanto tutti lanci sono andati a segno
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79
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10e)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Terza informazione
Lettura del bersaglio
I giocatori terminano la sfida con uguale
punteggio, quindi tale punteggio si ottiene
dividendo per 3 il numero totale di punti
I dati forniti dal bersaglio possono essere tradotti in una tabella:
valore del settore
1
2
3
5
10
15
20
40
n° di frecce nel settore
2
2
1
2
1
3
3
1
Il calcolo del totale dei punti può essere impostato con un’espressione:
(2  1) + (2  2) + (1  3) + (2  5) + (1  10) + (3  15) + (3  20) + (1  40) = 174.
Ognuno dei tre giocatori ha realizzato 174 : 3 = 58 punti.
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80
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10e)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Quarta informazione
Lettura del bersaglio
Una persona ha realizzato con una freccia 40 punti, per cui con
le altre ha necessariamente ottenuto i punteggi 10, 5, 2, 1.
Nella tabella sono indicate le frecce ancora da assegnare
valore del settore
n° di frecce nel settore
da assegnare
1
21
2
12
3
1
5
12
10
01
15
3
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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20
3
40
10
81
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10e)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Il giocatore che ha ottenuto 20 con una freccia ha poi due possibilità per
raggiungere 58 punti
1a possibilità
20
20
15
2
1
2a possibilità
20
15
15
5
3
Si ha dunque
Giocatori
Punti ottenuti con ogni lancio
punteggio
complessivo
40
10
5
2
1
58
20
20
15
2
1
58
20
15
15
5
3
58
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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82
SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10e)
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
Quinta informazione
Lettura del testo
Daniele con due lanci ha ottenuto 8 punti, quindi corrisponde alla
terza riga della tabella; Cinzia con un lancio ha ottenuto 5 punti,
quindi corrisponde alla prima riga della tabella:
Giocatori
Punti ottenuti con ogni lancio
punteggio
complessivo
Cinzia
40
10
5
2
1
58
Roberto
20
20
15
2
1
58
Daniele
20
15
15
5
3
58
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83
Dove era la pallina caduta?
Collection DIAGONALE.- Math en fleche - ed. Nathan- Paris 1993
Una pallina si è staccata
dal disco del tirassagno.
Prima della caduta della
pallina il totale dei punti
marcati era 305.
In quale zona si trovava la
pallina che si è staccata?
305 – (5x3 + 10x3 + 50x3 + 100) = 305 – (15 + 30 + 150 + 100) =
= 305 – 295 = 10
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84