UN MONDO DI PROBLEMI,
MA … MATEMATICI
• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi
matematici
3 dicembre 2013
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
1
I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO
(da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.168)
Sandra ha un cartoncino rosso rettangolare i cui lati
consecutivi sono lunghi 22cm e 11cm.
Da esso vuol ritagliare dei bigliettini segnaposto rettangolari i
cui lati consecutivi siano lunghi 5cm e 3cm.
Quanti bigliettini segnaposto, al massimo, Sandra può ottenere
dal cartoncino rosso?
Qual è l’area della parte di cartoncino che avanza?
o Rispondi alle domande e spiega il procedimento che hai seguito.
………………………………………………………………………………
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
2
Nel disegno è rappresentato il cartoncino in scala, in modo che ad ogni quadretto
corrisponde 1cm2. Mostra come devono essere disposti i bigliettini segnaposto che
Sandra può ricavare.
Se hai bisogno di fare più tentativi utilizza un foglio con la stessa quadrettatura.
Sei riuscito a rappresentare nel cartoncino il numero massimo di bigliettini che avevi
calcolato? ………………………………………………….
Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno e discutine con l’insegnante.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
3
I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO
Sandra ha anche un cartoncino giallo rettangolare i cui lati
consecutivi sono lunghi 22cm e 11cm. Da esso vuole ricavare il
massimo numero di bigliettini segnaposto di forma rettangolare e con
i lati consecutivi lunghi 6cm e 4cm.
Quanti bigliettini segnaposto, al massimo, Sandra può ottenere dal
cartoncino giallo?
Qual è l’area della parte di cartoncino che avanza?
* Rispondi alle domande e spiega il procedimento che hai seguito.
………………………………………………………………………………………
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
4
Nel disegno è rappresentato il cartoncino in scala, in modo che ad ogni quadretto
corrisponde 1cm2. Mostra come devono essere disposti i bigliettini segnaposto che
Sandra può ricavare.
Se hai bisogno di fare più tentativi utilizza un foglio con la stessa quadrettatura.
Sei riuscito a rappresentare nel cartoncino il numero massimo di bigliettini che avevi
calcolato? ………………………………………………….
Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno e discutine con l’insegnante.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
5
I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
Il problema si presta a significativi confronti tra le strategie risolutive adottate
dagli alunni, strategie che possono condizionare la soluzione. Entrambe le parti
di cui si compone il problema possono essere risolte aritmeticamente, operando
sulle misure, in centimetri quadrati, delle aree dei rettangoli
-Misura dell’area del cartoncino rosso: 22  11 = 242
-Misura dell’area bigliettino segnaposto: 5  3 = 15
-numero bigliettini: 242  15 = 16 con resto 2
-Misura dell’area bigliettino segnaposto: 6  4 = 24
-numero bigliettini: 242  24 = 10 con resto 2
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
6
I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO
Il problema maggiore consiste nel disporre il numero di bigliettini,
ricavato aritmeticamente, nel cartoncino: la divisione dà il numero
massimo di bigliettini ottenibili dal cartoncino, ma non è detto che tale
numero possa essere concretamente ricavato, dato che si deve tenere
conto non solo dell’area, ma anche della forma e delle lunghezze dei
lati dei bigliettini. Si suggerisce di prevedere la possibilità che gli alunni
lavorino anche manipolativamente, oltre che graficamente.
Gli alunni in genere tendono a sistemare i bigliettini con lo stesso
orientamento nel rettangolo più grande, ma in tal modo non si riescono
a ottenere i bigliettini calcolati.
Nella prima parte della scheda 43a, alcuni tentativi errati possono
essere quelli di seguito rappresentati in scala:
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
7
I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO
Bigliettini ottenuti : 12
Area della parte di cartoncino avanzato: 62cm2
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
8
I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO
Bigliettini ottenuti : 15
Area della parte di cartoncino avanzato: 17cm2
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
9
Sono possibili diverse disposizioni del numero massimo di bigliettini; per ottenerle, spesso
gli alunni riformulano il problema: tentano di ricoprire il più possibile la metà del cartoncino,
poi “ripetono” la disposizione nella seconda metà. Tale “ripetizione” avviene con l’uso, più o
meno esplicitamente verbalizzato, di diverse isometrie, come mostrano i seguenti disegni in
scala:
Bigliettini ottenuti : 16
Area della parte di cartoncino avanzato: 2cm2
Il rettangolo
principale è diviso
in due parti
congruenti dal
segmento più
marcato; la
disposizione dei
rettangoli più
piccoli in una
parte è la traslata
di quella nell’altra
parte.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
10
In questo caso la disposizione dei bigliettini in una parte è simmetrica,
rispetto alla retta del segmento evidenziato, di quella nell’altra parte.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
11
O
.
In questo caso la disposizione dei bigliettini è invariante rispetto alla
simmetria centrale (o rotazione di 180°) di centro O.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
12
Osserviamo che…
In ognuna delle disposizioni, otto rettangoli sono disposti con orientamento
5  3 e otto con orientamento 3  5. Infatti, confrontando le misure, in
centimetri delle lunghezze dei lati dei due tipi di rettangoli si ha:
11 = (3  2) + 5
quindi sul lato lungo 11cm possono essere appoggiati,
senza resto, due rettangoli con il lato lungo 3cm e un
rettangolo con il lato lungo 5cm
22 = (3  4) + (5  2)
quindi sul lato lungo 22cm possono essere
appoggiati, senza resto, quattro rettangoli con il
lato lungo 3cm e due rettangoli con il lato lungo
5cm.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
13
Nella seconda parte del problema nella scheda 43a, la situazione si complica perché il
calcolo non dà il numero di cartoncini effettivamente contenuti nel rettangolo.
Infatti il numero 11 non può essere ottenuto con gli addendi 6 e 4, mentre per il 22 si
hanno due possibilità:
(4  4 ) + 6 = 22 oppure (6  3) + 4 = 22
Bigliettini ottenuti : 9
Area della parte di cartoncino avanzato: 26 cm2.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
14
SPOSTAMENTI
NELLO SPAZIO
E NEL PIANO
livello 6 – 8 anni
• Esecuzione di spostamenti nello
spazio
• Rappresentazione di spostamenti nel
piano: avvio allo studio delle linee
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
15
ITINERARIO
DIDATTICO
1.
Esecuzione di spostamenti nello spazio
1.1Esecuzione di percorsi legati
- all’esplorazione dell’ambiente
- al gioco
- alla fiaba
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
16
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALL’EDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a:
•Far conoscere ai bambini il nuovo ambiente
•Mettere in rilievo la necessità dei punti di riferimento
•Sperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
•I giochi come il girotondo contribuiscono all’intuizione di
linea chiusa
•I percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
all’intuizione di linea aperta
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
17
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
•Racconti come Pollicino, Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE L’ ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITÀ DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
L’esecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico) .
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
18
VARI TIPI DI PERCORSI
• Percorsi liberi
• Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non è possibile “ritornare
sui propri passi”
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
19
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
• il punto di partenza e il punto di arrivo
coincidono
• il punto di partenza e il punto di arrivo
sono distinti
• si passa una sola volta da ogni punto
• si passa più di una volta per uno stesso
punto
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
20
ITINERARIO
DIDATTICO
2. Rappresentazione di spostamenti nel piano
2.1 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee aperte/chiuse,
semplici/intrecciate
- confini e regioni
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
21
CLASSIFICAZIONI E LORO
RAPPRESENTAZIONI
Diagramma ad albero
SEMPLICE
CHIUSA
INTRECCIATA
LINEE
APERTA
SEMPLICE
INTRECCIATA
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
22
Diagramma di Carroll
SEMPLICE
INTRECCIATA
CHIUSA
APERTA
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
23
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice
chiusa
a
c
b
d
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
24
REGIONI E CONFINI
Una linea chiusa e semplice suddivide il piano in due
regioni, distinte in regione interna e regione esterna
rispetto alla linea che funge da confine.
Come si definisce
una regione esterna e
interna a livello
teorico?
REGIONE ESTERNA è
quella che può contenere
una retta per intero;
quella INTERNA non può
contenere una retta.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
25
Osserviamo,
rappresentiamo,
riflettiamo
Progressivamente l’insegnante proporrà situazioni
indipendenti dall’esperienza diretta dei bambini e
già rappresentate graficamente; si suggerisce di
proporre inizialmente schede che mettono in
evidenza di volta in volta uno solo dei concetti
geometrici che si intendono analizzare.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
26
AVVENTURE NEL BOSCO
Cappuccetto Rosso deve portare le provviste alla nonna. Per
arrivare alla sua casa attraversa il bosco
Traccia una delle strade che
C.R. può percorrere per
arrivare alla casa della
nonna
Segna la casella con la
risposta giusta
La linea che hai tracciato è
APERTA
CHIUSA
e
Semplice
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
intrecciata
27
C. R., mentre va dalla nonna, incontra lo scoiattolo Codalunga che vuol fare merenda
con le ghiande. Per raggiungere le ghiande Codalunga attraversa il bosco; sulla strada
incontra alcuni animaletti, nell’ordine indicato dalle frecce
Traccia la strada
percorsa da Codalunga
per arrivare alle ghiande
Segna la casella con la
risposta giusta.
La linea che hai
tracciato è
APERTA
CHIUSA
e
Semplice
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
intrecciata
28
ATTENZIONE
Nel caso di percorsi in cui sono fissati i punti di partenza, di arrivo e alcuni
di passaggio, la traiettoria che unisce tali punti non è univocamente
determinata, quindi le linee che rappresentano i diversi spostamenti
possono presentare caratteristiche diverse. Ne segue che le risposte alle
consegne formulate non sono uniche; per tale ragione si suggerisce di
confrontare le diverse soluzioni fornite dai bambini per mettere in evidenza
la loro validità.
Esempio
Se si fissano P come punto di partenza, Q come punto di passaggio e A
come punto di arrivo, sia la linea continua che quella tratteggiata rispettano
i vincoli dati ma sono una intrecciata e l’altra semplice.
Q
A
P
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
29
Ora lo scoiattolo Codalunga osserva la farfalla Cleo che si è posata
sulla viola. Poco dopo Cleo riprende il volo: va sulla margherita, poi
sul tulipano, quindi sulla rosa e infine torna al punto di partenza.
Traccia il
percorso di Cleo
Segna le caselle con
la risposta giusta
Il percorso di Cleo è
rappresentato da una
linea
SEMPL.
INTREC.
CHIUSA
APERTA
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
30
GLI ANIMALI DELLA FATTORIA
Claudio e Silvia stanno giocando con le costruzioni della fattoria e
decidono di unire con un filo quelli che appartengono alla stessa specie.
Ecco come hanno collegato i cani e le oche.
Segna le caselle con la
risposta giusta
La linea che rappresenta il
filo che unisce i cani è
La linea che rappresenta il
filo che unisce le oche è
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
31
Anche Luca e Mara partecipano al gioco: ecco come hanno
collegato i maiali e i gatti della fattoria
Segna le caselle con la
risposta giusta
La linea che rappresenta il
filo che unisce i maiali è
La linea che rappresenta il
filo che unisce i gatti è
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
32
LA STRADA NASCOSTA
Dopo un’intera giornata passata a pascolare nel prato, la pecorella
Camilla vuole tornare a casa.
Speriamo che in mezzo a questo labirinto Camilla trovi la strada giusta.
Traccia il percorso che
deve fare la pecorella
Camilla
Segna le caselle con la
risposta giusta
Il percorso di Camilla è
rappresentato da una linea
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
33
CRICRI A SPASSO
Cricri si è così divertito a saltellare nel prato che decide di fare un altro
giretto. Parte ancora dalla sua tana, ma va prima a salutare il bruco, poi a
chiacchierare con la chiocciola e, infine, prima di tornare nella sua tana,
passa dalla coccinella.
Traccia il percorso
del grillo Cricri
Metti una crocetta
nella tabella per
indicare le
caratteristiche della
linea che hai tracciato
aperta
chiusa
Sempl.
Intrec.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
34
CRICRI A SPASSO
Fare salti nel prato per andare a trovare i suoi amici diverte tanto Cricri, che
decide di continuare. Parte sempre dalla sua tana e, saltando saltando, va dal
bruco, poi dalla coccinella, infine si ferma a giocare dalla chiocciola
Traccia il percorso
del grillo Cricri
Metti una crocetta
nella tabella per
indicare le
caratteristiche della
linea che hai tracciato
aperta
chiusa
Sempl.
Intrec.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
35
CRICRI A SPASSO
Il grillo Cricri e il suo amico bruco insieme si divertono sempre moltissimo,
per questo Cricri vuole andare da lui per una gara di salto in alto ma, prima
di arrivare da lui, passa a salutare la chiocciola e poi la coccinella.
Traccia il percorso
del grillo Cricri
Metti una crocetta
nella tabella per
indicare le
caratteristiche della
linea che hai tracciato
aperta
chiusa
Sempl.
Intrec.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
36
OB.:percorsi su griglia formati da tratti rettilinei – uso di codici
MILENA COMPIE TRE ANNI
Milena compie tre anni: la mamma le ha fatto una torta speciale e i nonni le
hanno regalato due libri di fiabe. Se Milena parte dal punto P e segue il percorso
descritto dalle frecce seguenti, andrà a mangiare la torta o a leggere i libri?
 
 Traccia sulla griglia il
percorso fatto da Milena,
sapendo che ogni freccia
corrisponde a un lato del
quadretto della griglia
Milena è andata a ………
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
37
LA FAMIGLIA LEPROTTINI
Papà Leprottini ha corso tutto il giorno ed ora si sta riposando. Deve
ancora percorrere il tratto di strada che vedi disegnato per raggiungere
mamma Leprottini e il loro piccolo leprotto
* Descrivi, usando le
frecce, il percorso che
papà Leprottini deve fare
per arrivare dal suo
leprotto, usa una freccia
per ogni lato – quadretto,
abbiamo iniziato il
lavoro.
…………………
…………………………
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
38
MAMMA CAPRA VA E TORNA
Mamma capra, per raggiungere il suo capretto, fa il seguente percorso:
2d, 3a, 6d, 1a, 1d, 2a.
a significa alto rispetto
al foglio
d significa destra rispetto a te
Il numero indica di quanti lati
quadretto è ogni spostamento.
Con un codice simile al precedente, ora
scrivi tu le istruzioni che permettono a
mamma capra di tornare al punto di
partenza, percorrendo lo stesso tragitto
Confronta le istruzioni dei due
percorsi. Che cosa noti?
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
39
STELLINA È GOLOSA D’INSALATA
La chiocciolina Stellina ha molta fame. Per raggiungere il cespo d’insalata
deve muoversi sulle linee del reticolo e può spostarsi solo in basso rispetto al
foglio o a sinistra rispetto a te.
Traccia con un colore un
percorso che stellina può fare per
arrivare al cespo d’insalata.
Descrivi il percorso che hai segnato
utilizzando i codici:
s significa sinistra
b significa basso
Indica con un numero di quanti lati quadretto è ogni spostamento di Stellina.
1b 1s 1b 2s
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
40
STELLINA È GOLOSA D’INSALATA
Anche oggi la chiocciolina Stellina ha molta fame e decide di ritornare a
mangiare alcune foglie d'insalata. Non vuole ripetere il percorso già fatto, ma
deve sempre rispettare le regole precedenti.
Traccia con un colore un
secondo possibile percorso di
Stellina
Descrivi il percorso con lo
stesso codice che hai usato
l’altra volta
2b 3s
Confronta i tuoi due percorsi con
quelli dei tuoi compagni.
Che cosa noti? ……………..
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
41
POSSIBILI PERCORSI SU
schede presentate RETICOLO
sono relative all’individuazione
Le
dei
possibili percorsi su un reticolo, quando si fissano punti di
partenza e di arrivo e si vincola all’utilizzo di un solo verso per
ognuna delle due direzioni del reticolo stesso; questo significa
che le situazioni devono essere formulate con i termini di una
sola delle seguenti possibilità:
•Destra, alto
•Destra, basso
•Sinistra, alto
•Sinistra, basso
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
42
Si invitano i bambini a confrontare le misure rispetto al
lato quadretto, dei vari percorsi, in modo da evidenziare
che la loro lunghezza resta invariata.
Gli alunni noteranno che la lunghezza complessiva dei tratti
orizzontali e quella dei tratti verticali sono uguali rispettivamente
alle lunghezze dei due lati perpendicolari del rettangolo che ha
come vertici opposti i punti di partenza e di arrivo.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
43
Disegniamo quattro dei possibili percorsi che uniscono P con A ,
in ciascuno di essi la misura, rispetto al lato-quadretto, dei tratti
orizzontali è 5 e quella dei tratti verticali è 3, quindi ogni percorso
è lungo 8 lati-quadretto.
In attività simili si dovrà
fare attenzione a non
richiedere tutti i diversi
percorsi possibili
tra
due punti fissati, perché
il loro numero è il
risultato di un calcolo
combinatorio e può
essere molto elevato.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
44
Un po’ di esercizio … divertente
Il rettangolo
E' possibile percorrere il contorno delle figure qui sotto con un solo tratto di
penna percorrendo tutti i segmenti, ma ciascuno una sola volta?
Fig.1
Fig.2
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
Fig.3
45
1. E' possibile disegnare le figure qui sotto senza mai staccare la penna dal foglio e
percorrendo ogni segmento una sola volta?
Fig.1
Fig.2
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
46
I ponti di Königsberg
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
47
I ponti di Königsberg
Siamo a Konisberg, nel 1759.
Il fiume che attraversa la città si divide in due rami formando
un'isola in corrispondenza della biforcazione.
Il territorio è diviso in 4 aree come si vede nella figura qui sotto:
l'isola A, le due sponde B, C e la parte interna alla biforcazione D
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
48
Origini storiche
Nel 1736, il matematico svizzero Eulero (1707-17883), affrontò
l’annoso problema dei 7 ponti di Königsberg (Prussia):
E’ possibile o meno fare una passeggiata che parta da un qualsiasi punto della
città, percorra una ed una sola volta ciascuno dei 7 ponti, e ritorni quindi al
punto di partenza?
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
49
Origini storiche
Eulero affrontò il problema schematizzando la pianta della città
A
A
B
D
D
B
C
C
…e così Königsberg venne rappresentata con un insieme di 4
punti (uno per ciascuna zona della città), opportunamente uniti
da 7 linee (una per ciascun ponte)
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
50
I ponti di Königsberg
Una figura di questo tipo, formata da punti
nodali (A, B, C, D) e da linee che li
congiungono (a, b, c, d, e, f, g), si chiama
grafo.
I punti A, B, C, D si chiamano nodi.
Le linee a, c, d, e, f, g si chiamano archi ( o
lati o segmenti).
Le superficie chiuse limitate da una serie di
archi si chiamano regioni
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
51
I ponti di Königsberg
Il numero di archi che
escono da un nodo si
chiama ordine del
nodo.
Ad esempio l'ordine del
nodo A è 5, mentre
l'ordine del nodo D è 3
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
52
I ponti di Königsberg
Quando si dice "nodo
pari" o "nodo dispari"
si intende
rispettivamente
"nodo di ordine pari" o
"nodo di ordine dispari”
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
53
Il problema dei 7 ponti
• Teorema di Eulero: Un grafo G, connesso, è percorribile se e
solo se ha tutti i nodi di grado pari, oppure se ha esattamente
due nodi di grado dispari.
• NOTA: un grafo con tutti i nodi di grado pari può essere
percorso partendo da un qualsiasi nodo (e terminando quindi
su di esso).
Invece, per percorrere un grafo avente due nodi di grado
dispari e tutti gli altri di grado pari, è necessario partire da uno
qualsiasi dei due nodi di grado dispari, e terminare quindi
sull’altro nodo di grado dispari.
 Il problema dei 7 ponti non ammette soluzione, in
quanto i 4 nodi hanno tutti grado dispari!
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
54
I ponti di Königsberg
Quello che sembrava un piccolo rompicapo
senza importanza, nelle mani di Eulero
diventò un grande problema matematico,
punto di partenza della teoria dei grafi e di
una nuova scienza: la topologia, destinata a
grandi sviluppi, un secolo più tardi.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
55
Variazioni (8 ponti)
I vertici del grafo sono identificati con
personaggi e ruoli, in modo da verificare la
comprensione dell'argomento mantenendo
viva l'attenzione.
Sulla riva settentrionale della città sorge
il castello del principe Blu, sulla riva
meridionale sorge quello del principe
Rosso, suo fratello e rivale.
Sull'isola orientale vi è la chiesa, sede del
Vescovo mentre nell'isola centrale si trova
un'osteria, nella quale molti abitanti della
città avevano l'abitudine la sera di
trattenersi per tentare poi l'impresa
chiamata passare i ponti.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
56
L'ottavo ponte del principe Blu
Il principe Blu, dopo aver analizzato il sistema dei ponti cittadini con l'aiuto
della teoria dei grafi, si convince dell'impossibilità di passare i ponti.
Decide allora di costruire di nascosto un ottavo ponte che gli permetta la
sera di passare i ponti partendo dal suo castello e finendo all’osteria dove
potersi vantare della sua riuscita; e inoltre fa in modo che il principe Rosso
non riesca a fare altrettanto a partire dal suo castello.
Dove costruisce l'ottavo ponte il principe Blu
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
57
L'ottavo ponte del Principe Blu
(soluzione)
Le passeggiate di Eulero sono possibili se
esattamente 2 nodi posseggono un
numero dispari di spigoli, che sono
esattamente i nodi iniziale e finale della
passeggiata. Poiché il problema presenta
solo 4 nodi, tutti con grado dispari, la
passeggiata inizia nel nodo blu e termina
nel nodo arancione. Bisogna quindi
disegnare un nuovo spigolo fra gli altri due
nodi. Poiché hanno formalmente un
numero dispari di spigoli, bisogna creare
un numero pari di spigoli in tutti i nodi che
non siano quello iniziale e finale.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
58
Il nono ponte del Principe Rosso
Risolto il problema dell'ottavo ponte,
il nono ponte presenta una
soluzione facile. Si richiede di
utilizzare il nodo rosso come punto
di partenza e l'arancione come
arrivo. Per cambiare la parità dei
nodi rosso e blu, disegna un altro
spigolo fra i due.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
59
Il decimo ponte del Vescovo
Il decimo ponte va in una direzione
leggermente diversa. Il Vescovo
vuole che ogni cittadino ritorni al
punto di partenza. Questo è un
cammino euleriano e richiede che
tutti i nodi siano di grado pari. Dopo
la soluzione del nono ponte i nodi
rosso e arancione sono di grado
dispari quindi devono essere
cambiati aggiungendo un nuovo
spigolo fra di loro.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
60
Alla luce di quanto spiegato, possiamo capire perché il rettangolo con le
diagonali è un esercizio impossibile
2
... mentre la casetta ha diverse soluzioni.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
61
HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]
Altri esercizi
Ecco alcuni altri esercizi. Quali sono possibili e quali impossibili?
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
62
Altri esercizi: soluzioni
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
63
Altri esercizi: soluzioni
I tre esercizi qui sopra sono equivalenti e impossibili poiché hanno 4 nodi dispari.
Le figure a fianco sono equivalenti e,
avendo solo nodi pari, possono essere
tracciate partendo da uno qualunque dei
nodi.
Questo esercizio è impossibile
perché ha 4 nodi dispari.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
64
Emma Castelnuovo
• .... Il punto di partenza dell’apprendimento
deve essere il problema, non la teoria
bella e fatta, e la prima soluzione deve
essere escogitata costruttivamente …
• Poi verrà, se verrà, la sistemazione
rigorosa, deduttiva, la teoria compiuta.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
65
Bibliografia
•
Baruk S. (1998), Dizionario di matematica elementare, Bologna, Zanichelli
traduzione a cura di F. Speranza e L. Grugnetti.
•
Colombo Bozzolo C., 1992, I problemi: affascinante attività del pensiero umano, in Scuola italiana
moderna, n. 11.
D’Amore B., 1993, Problemi. Pedagogia e psicologia della matematica nell’attività del problem
solving, Franco Angeli, Milano.
•
•
•
•
•
•
Freudenthal H. (1994) Ripensando l’educazione matematica, Brescia, Edizioni La
Scuola traduzione a cura di C.F. Manara.
Hilbert D. (1970), Fondamenti della geometria, Milano, Feltrinelli
Manara C.F., 1984, L’insegnamento della matematica per problemi. Spunti di
discussione, in L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 7, n.3.
Manara C.F. (1989), Problemi di didattica della matematica, Brescia, Edizioni La
Scuola
Zan R., 1998, Problemi e convinzioni, Pitagora, Bologna.
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
66