UN MONDO DI PROBLEMI,
MA … MATEMATICI
• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi
matematici
18 marzo 2014
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese marzo maggio 2014
1
Calendario incontri
• 1° Incontro: martedì
18 MARZO 2014
• 2° Incontro: martedì
25 MARZO 2014
• 3° Incontro: martedì
8 APRILE 2014
• 4° Incontro: martedì
29 APRILE 2014
• 5° Incontro: martedì
6 MAGGIO 2014
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L’APPROCCIO PER PROBLEMI:
Guida tutta l’attività didattica-matematica
ARITMETICA:
GEOMETRIA:
•Naturali e operazioni su di
essi
•Lo spazio e la sua
organizzazione
•Decimali e operazioni su di
essi
•Le figure geometriche e le
loro trasformazioni
•Fatti e principi numerici
MISURA:
LA STATISTICA:
L’INFORMATICA:
•Il mondo dei grandi
numeri
•Il mondo degli algoritmi
•Ponte con l’aritmetica,
la geometria e le altre
scienze
LA LOGICA E LA PROBABILITÀ
Guida ad un controllo della correttezza e della
coerenza dei discorsi
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L’apprendimento e l’insegnamento dell’aritmetica
da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni”vol.1 da pag 27 a pag. 33 a cura di Clara Colombo
Bozzolo e Angela Costa. Erickson
La priorità dell’aritmetica
L’aritmetica è da sempre il contesto privilegiato della formazione
matematica elementare, tuttavia le indagini svolte in merito alle conoscenze
aritmetiche possedute dagli alunni della scuola di base (e non solo) spesso
evidenziano carenze nella comprensione del significato dei concetti, delle
operazioni e degli algoritmi aritmetici, che con difficoltà vengono ricordati o
ricostruiti.
Questa situazione indica la necessità di riflettere sui processi di costruzione
dei concetti aritmetici, prendendo in considerazione le ricerche condotte sia
nel campo della matematica sia in quello psicopedagogico. Il fatto che i
concetti e gli algoritmi dell’aritmetica siano considerati “elementari” non
significa che essi siano lapalissiani e ovvi, anzi, essi sono tra le colonne
portanti della matematica.
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I numeri naturali
Utilizzati dall’uomo per contare o ordinare oggetti concreti, i numeri
naturali hanno poi acquisito un proprio statuto, indipendente dalla
caratteristiche individuali degli oggetti contati o ordinati, sono diventati essi
stessi oggetto di studio, si sono arricchiti di connotazioni anche filosofiche
(per esempio, nella scuola Pitagorica), il loro insieme è stato strutturato e la
loro teoria è stata sistematizzata in modi diversi a seconda dei concetti
primitivi e degli assiomi assunti come punti di partenza.
Dunque, in aritmetica si realizza quel processo di costruzione della
conoscenza matematica il passaggio dall’affermazione
“3 mele e 2 mele danno 5 mele” alla scrittura “3 + 2 = 5”
non è solo un cambiamento formale di scrittura, ma una progressiva
astrazione e costruzione concettuale. Lo stesso B. Russell affermò “Devono
esserci voluti secoli e secoli per scoprire che una coppia di fagiani e un paio
di giorni sono entrambi esempi del numero due”.
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Il linguaggio dell’aritmetica
I simboli matematici verbali e grafici dei numeri naturali sono fortemente
integrati nel linguaggio naturale scritto e parlato.
I bambini imparano molto presto la successione dei numeri naturali; in
genere, però, sanno “contare” oltre la numerosità che riconoscono oppure
non sono in grado di connettere il numero contato e la numerosità.
Questo “scollamento” tra forma e contenuto caratterizza spesso anche
l’insegnamento dell’aritmetica, che viene inteso come proposta di paradigmi
numerici da imitare e riprodurre.
L’apprendimento dell’aritmetica viene, così, ridotto all’abilità di manipolare
simboli in modo meccanico.
Il linguaggio dell’aritmetica è sì altamente simbolico, ma tale
simbolismo ha un significato astratto che si fonda sulla realtà e sul senso
comune, dunque, è il punto di arrivo di un processo fatto di tanti
passaggi intermedi e di tante esperienze diversificate.
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IL CONCETTO DI NUMERO NATURALE
Riflessioni teoriche
Il concetto di numero naturale è uno dei concetti fondamentali per tutto il
pensiero matematico; tuttavia, per rispondere in modo razionale e rigoroso
alla domanda
“che cos’è un numero naturale?”
è stato necessario un lungo cammino storico dell’intera umanità e un
profondo travaglio nella comunità matematica
La teoria dei numeri naturali è stata esplicitamente costruita solo nel XIX
secolo, quando il numero naturale (e le relative operazioni) è stato definito
in modi che sono diversi nei concetti primitivi e negli assiomi assunti come
punti di partenza, ma equivalenti ai fini della razionalizzazione e della
sistematizzazione delle conoscenze sui numeri naturali.
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IL CONCETTO DI NUMERO NATURALE
Riflessioni teoriche
La teoria assiomatica dei numeri naturali proposta da Giuseppe Peano
(1858-1932) è fondata, invece, sui concetti primitivi :
•Numero
•zero
•successore
e su cinque assiomi che collegano tra loro i concetti primitivi;
per esempio, gli assiomi stabiliscono che numero è il nome comune degli
elementi di un insieme, che zero (0) è il nome di un particolare elemento
dell’insieme considerato, che il termine successore indica un’operazione
mentale che fa passare da un elemento dell’insieme dato ad un altro
elemento diverso da quello di partenza, ma appartenente allo stesso
insieme.
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Il nostro sistema di numerazione
Il nostro sistema di numerazione è posizionale e decimale.
L’aggettivo decimale si riferisce al fatto che vengono utilizzati solo dieci simboli
distinti (le cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) per rappresentare i numeri; questo
comporta che i raggruppamenti sono costituiti da dieci unità dell’ordine
precedente: parliamo di decine, centinaia, migliaia di unità per denotare,
rispettivamente, il primo, il secondo e il terzo raggruppamento di unità.
L’aggettivo posizionale indica che ogni cifra, oltre ad un valore intrinseco, ha
un valore relativo alla posizione occupata nella scrittura del numero. Infatti, la
scrittura di un numero come successione di cifre sintetizza la possibilità di
esprimere ogni numero come polinomio numerico ordinato secondo le
potenze decrescenti di 10;
per esempio, la scrittura 2379 significa
2103 + 3102 + 7101 + 9100.
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Il nostro sistema di numerazione
L’adozione di un determinato sistema di numerazione è una scelta
estremamente importante, in quanto da esso dipendono, tra l’altro,
alcune proprietà dei numeri e gli algoritmi delle operazioni;
per esempio, l’affermazione secondo cui un numero che ha come
ultima cifra 1 è dispari è corretta se il numero è scritto in base 10, non
lo è se il numero è scritto in base tre; l’esecuzione delle operazioni “in
colonna” sottintende, oltre ad alcune proprietà delle operazioni stesse,
la scrittura polinomiale dei numeri.
I sistemi additivi, escluso in parte quello romano, sono ormai scomparsi
non solo perché rendevano necessaria l’introduzione di nuovi simboli
man mano che i numeri diventavano più grandi, ma anche perché il
calcolo numerico comportava enormi difficoltà anche in casi molto
semplici.
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“… ha meno elementi di …”,
oppure “… ha più elementi di …”
In questo modo induciamo una relazione d’ordine anche tra i numeri che
esprimono le cardinalità degli insiemi in oggetto.
Tale ordinamento è condizione necessaria all’accezione ordinale dei
numeri naturali, ma non è sufficiente, dato che esistono altri numeri, per
esempio i numeri razionali assoluti, scritti in forma decimale o frazionaria,
per i quali è definito un ordinamento, ma non hanno significato espressioni
come “il numero successivo, il numero precedente”.
L’ordinalità dei numeri naturali è fondata sulla possibilità di scandire gli
elementi, separarli e di ottenere tali numeri applicando la legge +1 a partire
dal minore di tutti (lo zero).
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Riflessioni su “cifra” e “numero”
da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli
Nella lingua
“cifra”
“numero”
Esempi (soprattutto con i costi)
• Si dispone di una certa cifra
• Quel vestito costa una cifra
• L’inflazione è a due cifre
• La cifra da pagare si aggira sui 10 000 euro
• 500 000 euro sono una bella cifra
• Fare cifra tonda
• Battuto all’asta per una cifra di 26,150 euro
Si parla di numeri
rappresentati da
cifre
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Riflessioni su “cifra” e “numero”
In matematica: uso improprio
delle parole “cifra” e “numero”
Criteri di divisibilità
dei numeri rappresentati dalle
Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre
è un multiplo di 3.
771 7+7+1=15 (divisibile per 3)
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Riflessioni su “cifra” e “numero”
da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli
Le parole si possono scrivere solo in un
modo (“tavolo” è il nome di un oggetto).
I numeri si possono scrivere in due modi
in lettere
in cifre
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Riflessioni su “cifra” e “numero”
da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli
Problema che mette in gioco “numeri” e “cifre”
“Qual è il numero più grande che si può scrivere servendosi tre
volte della stessa cifra?”
SOLUZIONE:
Senza altri segni oltre alle cifre
9
9
9
Il numero approssimativo
di cifre è 370 000 000;
scrivendolo a mano
verrebbe circa mille
chilometri
9)
Con altri segni oltre alle cifre
9
(9
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Invece ….
“Qual è il numero più grande che si può
scrivere usando tre cifre?”
999
“Qual è il numero più piccolo che si può
scrivere usando tre cifre?”
100
“Qual è il numero più grande che si può
scrivere usando tre cifre diverse?”
987
“Qual è il numero più piccolo che si può
scrivere usando tre cifre diverse?”
102
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18
Riflettiamo
“Qual è il numero più grande che si può scrivere
usando tre cifre diverse?”
Tutte diverse?
987
Non tutte uguali?
998
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19
Riflettiamo
“Qual è il numero più piccolo che si può scrivere
usando tre cifre diverse?”
Tutte diverse?
102
Non tutte uguali?
100
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20
Riflettiamo …
5
“è un numero o una cifra?”
Può essere
considerato numero
o cifra a seconda del
contesto
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21
Riflettiamo …
35
“è un numero o una cifra?”
È un numero che si
scrive usando due
cifre.
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Concludendo …
Solo per i numeri che si
scrivono con una cifra è
necessario precisare il
contesto per decidere
se si tratta di numero o
cifra
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23
Il mago dei numeri
di Hans M. Enzensberger
Prezzo di listino: € 10,50
Einaudi, 1997 - pp.260
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24
Da “Il mago dei numeri”
di Hans M. Enzensberger (prima notte)
- … Perché sei così diffidente? Se vuoi, ti faccio vedere come dall’1 si
fanno (si possono ritrovare) tutte le altre cifre?
- E allora come si fa?
- È semplicissimo, così:
Approfondire quando
moltiplichi addizioni i
prodotti parziali
formati da 1
Ogni numero
rappresentato da
una cifra è una
somma di tanti 1
1x1=1
11 x 11 = 121
Come mai
si possono
ritrovare le
nove
cifre?
111 x 111 = 12321
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Il numero
Gli Elementi di Euclide Libro VII
Definizioni
•
•
Unità è ciò secondo cui ciascun ente è detto uno.
Numero è una pluralità composta da unità
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Numero e Numero di …
da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli
L’essenza astratta dei numeri si forma dal linguaggio numerale. Risulta
chiaro, anche ad un bambini, che le parole utilizzate per contare o anche
solo,per enunciare quanti oggetti contiene una collezione sono le stesse:
cinque caramelle, cinque persone, cinque cappelli, cinque dita, danno per
ripetizione della parola “cinque”, l’idea di cinque, indipendentemente dalla
natura degli oggetti contati. Un numero (in questo caso un numero naturale)
è dunque un ente ideale, un’idea di quantità.
Questa idea, molto spesso, è diversa da persona a persona e dipende
anche dalla sua età e dalla sua attività
In particolare quando si tratta di numeri come un milione o un miliardo.
Basti pensare alla difficoltà di immaginare un miliardo di chilometri che è più
di sei volte la distanza Terra-Sole.
Il numero ha semplicemente la caratteristica di essere scritto, nella nostra
scrittura decimale, 1 000 000 000 o 109
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27
Notizie, non da poco, sullo zero
Zero. Storia di una
cifra
autore Kaplan Robert
Prezzo: € 9,80
Editore Rizzoli
collana anno1999
pp.325
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28
Le proprietà dello zero … a fumetti
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29
Storia dello zero (Zero. Storia di una cifra)
ZERO
Inizio carriera
ZERO
Uno degli
utilizzi odierni
DUE CUNEI (
Due cunei obliqui
appaiati o parzialmente sovrapposti) IN
UN MUCCHIO DI ARGILLA (inizio II
millennio a.C)
Numerazione binaria, composta solo
da 0 e 1, grazie alla quale funziona
tutto ciò che è digitale
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In sanscrito vuoto si dice
sunya.
Gli arabi, adottando la
numerazione indiana,
tradussero sunya
nell’arabo sifr
Da "cifra", che risale
all'arabo "sifr" e che
significa “vuoto",
Direttamente dall'arabo,
essendo questo numero una
cifra. In arabo, infatti, "zerret"
significa: "cosa da nulla".
Origine del termine “zero”
Dal "latino medievale del tredicesimo
secolo": "Zephyrum", accusativo di quello
"Zephyrus" col quale si soleva indicare il
vento occidentale primaverile, che spira con
tale leggerezza da ritenersi un "vento da
nulla";
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Lo zero
da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli
Se volessimo raffigurare su un abaco l’espressione numerale “tremiladue”,
dovremmo inserire tre palline nella colonna delle migliaia e due in quella delle
unità.
Le colonne corrispondenti alle decine e alle unità
rimangono vuote.
migliaia
3
unità
0
0
2
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Fibonacci
Fu in particolare Leonardo
Fibonacci (Leonardo Pisano) a
far conoscere la numerazione
posizionale in Europa: nel suo
Liber Abaci, pubblicato nel
1202, egli tradusse sifr in
zephirus; da questo si ebbe
zevero e quindi zero. Anche il
termine "cifra" discende da
questa stessa parola sifr.
(Pisa, 1170 – Pisa, 1250)
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Utilizzo dello zero
•
Rende possibile la notazione “posizionale”
•
Assume il significato di “valore limite” (calcolo infinitesimale)
•
“lo zero assoluto” rappresenta la temperatura in cui le molecole non hanno
nessuna agitazione termica
•
Rappresenta, nella scala del tempo, l’istante 0 dell’universo (Big Bang)
•
0°C, nella scala centigrada, individua il punto di fusione del ghiaccio
•
L’altitudine 0 è l’altitudine di riferimento per la misura della pressione
atmosferica
•
La longitudine 0° corrisponde a quella dell'Osservatorio di Greenwich
•
I punti lungo l'equatore hanno latitudine 0°.
•
Nel 900 la casa all’inizio della via aveva come numero civico 0
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Lo zero nella scuola
CONSIGLI DIDATTICI
(di Ennio Peres, RES 21, aprile 2001)
MANEGGIARE CON CURA
Rischio: ottenere dei risultati
inattendibili.
Tanto per fare un esempio, si può arrivare a dimostrare
che ogni numero è uguale al proprio doppio.
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Prendiamo in considerazione la seguente semplice uguaglianza: A = B
(dove A e B rappresentano uno stesso numero reale, diverso da 0) ed
eseguiamo i passaggi algebrici qui di seguito indicati.
1. Moltiplichiamo per A entrambi i membri: A2 = AB
2. Sottraiamo B2 da entrambi i membri: A2 – B2 = AB – B2
3. Scomponiamo in fattori il primo membro: (A – B)(A + B) = AB – B2
4. Mettiamo in evidenza B nel secondo membro:
(A – B)(A + B) = B (A – B)
5. Dividiamo per (A – B) entrambi i membri: A + B = B
6. Sostituiamo B con A (dato che ha il suo stesso valore): A + A = A
7. Infine, scriviamo in forma più compatta il primo membro: 2A = A
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Che cosa è successo?
• I passaggi eseguiti sembrano tutti corretti, eppure il risultato ottenuto
è palesemente assurdo.
• In realtà, un errore lo abbiamo commesso.
• Dato che abbiamo supposto
A = B, allora A – B = 0;
Di conseguenza al punto 5
(A – B)(A + B) = B (A – B)
Dividiamo per (A – B) entrambi i membri: A + B = B
Abbiamo diviso entrambi i membri dell'uguaglianza per (A – B),
In realtà li abbiamo divisi per 0, compiendo un'operazione non
consentita in matematica.
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