Il problema: un percorso a ostacoli • Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici Quarto incontro Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 1 POLIGONI Liberamente tratto da Enciclopedia delle Matematiche Elementari e complementi, ed. Hoepli – Mi 1937 Ristampa anastatica 1964 Cap. XXVI POLIGONI E POLIEDRI di Luigi Brusotti a Pavia pp.259272 DEFINIZIONI Poligono Poligono ORDINARIO Poligono INTRECCIATO Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 2 POLIGONI La definizione di poligono già adombrata da A, Girard (1626) si concreta formalmente nella definizione di L. Poinsot (1810) secondo la quale per poligono s’intende la figura composta di n>2 punti (vertici) assunti ordinatamente nel piano e dei segmenti (lati) che congiungono il primo con il secondo, il secondo col terzo, …, l’ultimo col primo. Poligono ABC Poligono DEFG Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 3 POLIGONI [...]Possono tuttavia esistere punti diversi dai vertici (nodi), per ciascuno dei quali passano due o più lati, ed allora il poligono si dice intrecciato; altrimenti dicesi ordinario. Poligono intrecciato FGHIJ Poligono ordinario ABCDE Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 4 POLIGONI Dato un poligono di L. Poinsot, l’insieme dei suoi lati dicesi talora contorno; il contorno è incontrato da una retta generica del piano in un numero pari di punti. Ogni retta congiungente due vertici non consecutivi (e talora il segmento di essa che li ha per estremi) dicesi diagonale. contorno diagonale Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 5 La nomenclatura dei trattati elementari Nelle trattazioni elementari si considerano di regola solo poligoni ordinari. Allora il contorno del poligono divide il piano in due regioni, l’interna e l’esterna. Regione esterna Regione interna Regione esterna Regione interna Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 6 La nomenclatura dei trattati elementari Le due semirette aventi l’origine in un vertice e contenenti i due lati che ne escono dividono il piano in due angoli e, in un conveniente intorno del vertice i punti di uno solo di essi sono interni al poligono. Questo si dirà angolo interno, e si dirà saliente o rientrante secondo che sia < π oppure > π. Angolo BAD salinte Angolo BAD rientrante Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 7 La nomenclatura dei trattati elementari (angoli interni ed esterni, poligono convesso) Rispetto alla retta congiungente due vertici consecutivi, i rimanenti potranno giacere tutti in uno stesso semipiano; se tale eventualità si presenta per ogni congiungente il poligono dicesi convesso, i suoi angoli (interni) sono tutti salienti, [...], l’angolo (< π ) formato dal prolungamento di un lato col lato consecutivo dicesi esterno. La somma degli angoli esterni è = 2π. Se la detta definizione di poligono convesso si applica ai poligoni intrecciati, essi risultano non convessi. [...] Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 8 Riflessioni sui quadrilateri da Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi XXVI POLIGONI E POLIEDRI di Luigi Brusotti a Pavia Vi sono “tre tipi”di quadrilateri: convessi, concavi non intrecciati, concavi intrecciati. In simboli t(4)=3 Nel disegno sono segnati gli angoli interni di ciascuno dei quadrilateri considerati. Gli angoli, dotati di verso, nascono dalla rotazione che compie la semiretta su cui giace un lato attorno al suo vertice per sovrapporsi alla semiretta del lato consecutivo a quello considerato. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 9 Riflessioni sui quadrilateri liberamente tratto da Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi XXVI POLIGONI E POLIEDRI di Luigi Brusotti a Pavia Gli angoli devono avere tutti lo stesso verso di percorrenza e vengono detti “angoli interni del poligono” Per i quadrilateri considerati nei primi due casi la somma di tali angoli è 2π, nel terzo caso è 4π. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 10 Riflessioni sui quadrilateri da Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi XXVI POLIGONI E POLIEDRI di Luigi Brusotti a Pavia Se il quadrilatero intrecciato ha due lati paralleli allora è un trapezio concavo. Il numero t(n) di tutti i tipi di poligoni diversi di n lati che si possono avere cresce rapidamente con n; si ha: t(3) = 1, t(4)=3, t(5)=11, t(6)=70, ecc. Problema: perché la somma degli angoli interni di un trapezio intrecciato è 4π? Problema: perché la somma degli angoli interni di un quadrilatero intrecciato è 4π? Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 11 Poligoni t(3) = 1, t(4)=3, t(5)=11 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 12 Divagazioni:Poligoni e gruppi ciclici di Laura Citrini da mathesis.dti.unimi.it/poligoni.pdf Consideriamo i poligoni regolari di n lati. Sappiamo che un poligono si dice regolare se ha i lati congruenti e gli angoli congruenti. Le due condizioni sono indipendenti a parte nel caso del triangolo per cui ciascuna delle due condizioni comporta l'altra; infatti già per i quadrangoli i rombi e i rettangoli sono esempi di poligoni che soddisfano una condizione ma non l'altra. La condizione che il poligono sia convesso non è invece necessaria, anzi, riduce il numero dei poligoni regolari che si possono avere per ogni n>3. Invero non possono esistere poligoni regolari concavi se non intrecciati. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 13 Proviamo a vedere cosa succede nei vari casi, disegnando una circonferenza, segnando n punti che suddividano la circonferenza in n archi congruenti (numerati da 1 a n) e congiungendo tali punti in sequenza in vari modi, sempre partendo da 1; per avere poligoni regolari i modi non possono essere casuali, perché per avere lati uguali è necessario che la differenza tra la cifra indicante un vertice e quella indicante il vertice precedente sia costante, in modo da avere archi, e quindi corde, di uguale lunghezza. Il caso del triangolo è banale; i punti 1 2 3 ammettono le sole due sequenze 1 2 3 1 1 3 2 1 che danno lo stesso triangolo. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 14 Nel caso del quadrilatero c'è la sequenza 12 3 4 1, che dà il quadrato; la sequenza 13 1 non completa i vertici; partendo dal primo vertice non raggiunto, cioè il 2, si ha 24 2 e si ha un quadrilatero degenere in una coppia di segmenti contati due volte (rossi); La sequenza 14 3 2 1 è ancora il quadrato, percorso, per così dire, in verso opposto. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 15 Per n = 5 si ha 12 3 4 5 1 (il pentagono regolare convesso), 13 5 2 4 1, (il pentacolo, o Stella Pitagorica); le altre due possibili sequenze danno luogo ancora a questi due poligoni; è inutile, quindi, sorpassare la metà dei vertici, poiché si dà luogo agli stessi poligoni percorsi in verso opposto. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 16 Per l'esagono si hanno le tre sequenze 12 3 4 5 6 1 che dà l'esagono regolare (blu); 13 5 1, 14 1 che non completano i vertici; completandoli, come per il quadrilatero, si hanno due esagoni regolari degeneri, il primo in due triangoli equilateri (rosso), il secondo in tre segmenti (verde); non esistono quindi esagoni regolari intrecciati. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 17 Il discorso si può ripetere per ogni n. Caso n=7: il poligono regolare convesso (rosso) e due intrecciati (blu e verde), nessuno degenere. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 18 Caso n=8: il poligono regolare convesso (blu), uno intrecciato (fucsia) e due degeneri (verde: due quadrati e rosso:quattro segmenti) Il modo con cui si congiungono i vertici per ottenere i poligoni è legato ai gruppi ciclici e ai loro elementi. … Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 19 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 20 L’ALTEZZA QUESTA SCONOSCIUTA ALTEZZA Distanza di un punto rispetto ad una retta: è il segmento che ha come estremi il punto dato e il piede della perpendicolare condotta dal punto alla retta (esiste ed è unica). STRISCIA parte di piano limitata da due rette parallele di una striscia è la distanza di un punto qualsiasi di una retta rispetto all’altra quindi è uno qualunque dei segmenti individuati dalle due parallele su una perpendicolare. s P H r r H Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 K 21 E l’altezza in un poligono? L’altezza è relativa ad un lato (chiamato base) o meglio alla retta individuata da tale lato: si definisce altezza rispetto ad un lato fissato come base l’altezza della striscia individuata dalla retta del lato e dall’unica retta ad essa parallela condotta per tutti i vertici del poligono non appartenenti alla base. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 22 Per quali poligoni ha senso? Triangoli: fissato un lato, vi è solo un vertice ad esso opposto, quindi è individuata una ed una sola retta parallela al lato fissato e passante per quel vertice. Di conseguenza esiste una ed una sola altezza, che è visualizzata in figura. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 23 A questo punto è evidente che: per un triangolo si può parlare di altezza rispetto a qualsiasi lato: ogni triangolo ha quindi tre altezze (ortocentro: è il punto d’incontro delle rette delle tre altezze) Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 24 Quadrilateri: fissato un lato (base), rimangono ad esso opposti due vertici, per cui viene individuata una ed una sola retta passante per tali vertici. Se tale retta è parallela alla retta della base, determina una striscia la cui altezza è l’altezza del quadrilatero. Quindi: Condizione necessaria per parlare di altezza in un quadrilatero è che esso abbia almeno una coppia di lati paralleli, cioè sia un trapezio. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 25 Per un parallelogramma si parla di altezza rispetto a coppie di lati paralleli: ogni parallelogramma ha quindi due altezze ( sono le altezze delle strisce che generano il parallelogramma) Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 26 Poligoni con più di 4 lati: siccome i vertici opposti ad un lato sono almeno 3 e non sono allineati, essi non individuano una sola retta parallela al lato, quindi non è definita l’altezza del poligono. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 27 Disegniamo altezze Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 28 Disegniamo altezze Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 29 Disegniamo altezze Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 30 Quiz (da “Nel mondo della GEOMETRIA” vol.3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson pag.148) Osserva ogni figura e rispondi “SI’” o “NO” alle domande. AC è un’altezza del rombo? MN è un’altezza del quadrato? Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 31 DH è un’altezza del romboide? BC è un’altezza del romboide? CK è un’altezza del rettangolo? EL è un’altezza del quadrato? Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 32 UNA STELLA CERCA IL SUO POSTO Nell’insieme P vedi nove poligoni Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 33 Scrivi la “carta d’identità” di ognuno di essi Classifica i poligoni dell’insieme P, usando un diagramma ad albero, secondo questi criteri: • essere concavo • avere almeno un asse di simmetria • avere esattamente 5 lati Ti accorgerai che due rami restano vuoti, disegna tu due poligoni che vadano bene per i rami vuoti Alla fine di quale ramo metteresti una stella a cinque punte? Perché? Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 34 Una stella cerca il suo posto c 1s 5l nc n1s n5l 5l n1s 1s n5l 5l n5l n5l 5l a c h e g d f Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 m b 35 Una stella cerca il suo posto c 1s 5l nc n1s n5l 5l n5l n1s 1s 5l n5l Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 5l n5l 36 L’ESAGONO TRASFORMISTA (da “Nel mondo della GEOMETRIA” vol.3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson pag.294) Osserva i tre esagoni regolari congruenti disegnati sotto. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 37 L’ESAGONO TRASFORMISTA (da “Nel mondo della GEOMETRIA” vol.3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson pag.294) −Dividi il primo ed il secondo esagono in tre rombi congruenti. −Sul primo esagono traccia le diagonali minori dei tre rombi. −In quante parti risulta suddiviso ora il primo esagono?.................. −Che tipo di poligoni hai ottenuto?....... −Come sono fra loro questi poligoni?....... Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 38 L’ESAGONO TRASFORMISTA (da “Nel mondo della GEOMETRIA” vol.3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson pag.294) ─Sul secondo esagono traccia le diagonali maggiori dei tre rombi. ─In quante parti risulta suddiviso ora il secondo esagono?............. ─Che tipo di poligoni hai ottenuto?.............................................. ─Come sono fra loro questi poligoni?...................................... Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 39 L’ESAGONO TRASFORMISTA (da “Nel mondo della GEOMETRIA” vol.3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson pag.294) Colora di giallo i poligoni ottenuti suddividendo il primo esagono e di blu i poligoni ottenuti suddividendo il secondo. -Ritaglia il primo ed il secondo esagono ciascuno nei sei triangoli che hai disegnato. - Ritaglia anche il terzo esagono lasciandolo intero. Nello spazio sottostante incolla l’esagono intero e i triangoli gialli, tutti intorno ad esso, in modo che un lato di ciascuno dei triangoli coincida con un lato dell’esagono. -Che poligono hai ottenuto?........... -Che cosa puoi dire dei suoi lati?.... Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 40 L’ESAGONO TRASFORMISTA (da “Nel mondo della GEOMETRIA” vol.3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson pag.294) Ora incolla i triangoli blu in modo da ottenere un poligono convesso. - Che poligono hai ottenuto?............................................ - Che cosa puoi dire dei suoi lati?.................................................... Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 41 L’ESAGONO TRASFORMISTA Riassumendo Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 42
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