“Frazioni e numeri decimali:
un percorso ricco di
opportunità didattiche”
Primo incontro
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis marzo 2015
1
Programma
•
•
•
•
•
Definizione di frazione
Itinerario didattico
Problemi con le frazioni
Un po’ di storia
I numeri decimali
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Dividere un quadrato!
Prova a dividere un quadrato in:
4 quadrati
7 quadrati
10 quadrati
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3
Dividere un quadrato!
Prova a dividere un quadrato in:
4 quadrati
7 quadrati
10 quadrati
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FRAZIONE
(da DIZIONARIO DI MATEMATICA ELEMENTARE di Stella Baruk ed.
Zanichelli 2006)
…Le frazioni sono enti matematici con molteplici
significati:
1.
2.
3.
indicano che un intero (continuo o discreto) è stato
diviso in un numero, fissato dal denominatore, di parti
uguali e di queste ne vengono prese in considerazione
tante quanto indicato dal numeratore.
sono operatori che applicati ad una grandezza ne
producono un’altra omogenea alla prima
esprimono rapporti tra grandezze omogenee o non
omogenee.
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5
FRAZIONE
(da lo Zingarelli ed. Zanichelli 2006)
lat. tardo fractione(m) ‘spezzatura’,
da fractus, part. pass. di frangere
‘spezzare’
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FRAZIONE: significati
(da lo Zingarelli ed. Zanichelli 2006)
1. Porzione, parte staccata di un tutto:
•
•
•
•
•
un quarto d'ora è una frazione di ora;
solo una piccola frazione di persone riuscì nell'intervento
(sport) Nelle gare a staffetta, ciascuna delle parti uguali in cui è
suddiviso il percorso, coperta in successione da un
componente delle squadre
Nel ciclismo, tappa.
Ciascuna parte che si ottiene frazionando soluzioni o miscugli
liquidi.
2. (mat.) Quoziente di due numeri interi.
Espressione matematica composta da una coppia di
numeri interi, numeratore e denominatore;…..
3. Borgata di comune priva di uffici comunali.
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RIFLESSIONI DIDATTICHE
di Clara Colombo Bozzolo
Lo studio delle frazioni oggi, nella scuola,
avviene a tre livelli:
• livello intuitivo (S.P. e, in parte,
S.S.1°G.)
• livello algoritmico (S.S.1°G e, in
parte, S.S.2°G)
• livello formale (S.S.2°G e Università)
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8
RIFLESSIONI DIDATTICHE
Nella Scuola dell’obbligo si studiano le frazioni sotto i seguenti aspetti:
1.
Frazione come parte di una grandezza: m/n applicata ad una
grandezza X.
In questo caso si ha sempre m/n < 1
2.
Frazione come operatore su una grandezza :
trasforma questa grandezza in un’altra, quindi può essere anche
maggiore di 1 o uguale a 1.
es.
un segmento può essere il doppio, il triplo … di un altro
un segmento può essere i 5/3 di un altro.
4.
Messa in evidenza della frazione complementare di una frazione
data (quest’ultima deve essere minore di 1).
5.
Rappresentazione di frazioni sulla retta dei numeri.
6.
Frazioni equivalenti e confronto tra frazioni.
7.
Classi di frazioni equivalenti (numero razionale).
8.
Frazione inversa di una frazione data.
9.
Operazioni tra frazioni.
10. Frazione come rapporto: percentuali, similitudini, probabilità.
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Indagine sulle conoscenze pregresse
1. Avete mai sentito la parola frazione?
1.a Fate esempi di frazioni.
2. Cosa significa «un mezzo, la metà»? come si fa a
trovare mezzo litro di acqua, mezzo chilogrammo di
pane?
Sulla cattedra si mette un numero opportuno di cubetti, per
esempio 24.
2.a Se vi dico di prendere la metà di questi cubetti, cosa
fate?
2.b Se dovete prendere un terzo dei cubetti, cosa fate?
2.c Se dovete prendere un quarto dei cubetti, cosa fate?
3. Cosa significano le frasi «un quarto d’ora, mezz’ora,
tre quarti d’ora»?
3.a A quanti minuti corrispondono?
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Programma
•
•
•
•
La frazione come parte di un intero
La frazione come operatore su un intero
La frazione come rapporto
I numeri decimali
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La frazione come parte di un intero
L’UNITÀ
FRAZIONARIA
LA FRAZIONE
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L’UNITÀ FRAZIONARIA
5.1 L'unità frazionaria
5.1.1 Suddivisione, in parti uguali, di grandezze;
denominazione di ciascuna delle parti e sua
scrittura formale
- grandezze continue
- grandezze discrete, in particolare i
numeri naturali
5.1.2 Confronto e ordinamento di unità frazionarie
- collocazione di unità frazionarie sulla
linea dei numeri
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Suddivisione, in parti uguali di grandezze continue
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson pag 41)
MAGA ORTENSIA FRA MATEMATICA E MAGIA
Molto tempo fa, in un castello, viveva una maga, chiamata
Ortensia, che aveva una grande passione: la matematica. … Un
giorno a Ortensia giunse la notizia che il suo collega, il mago
Sambuco, aveva vinto il prestigioso premio "Strega" per le sue
ricerche sui numeri naturali.
Un po’ invidiosa del risultato ottenuto da Sambuco, Ortensia decise
di fargli uno scherzo e di preparare una pozione magica per
trasformarlo in un … babbuino!
… Ecco la ricetta per trasformare una mente geniale in uno sciocco
babbuino: “Disegna queste figure su fogli di carta magica ricavata
dagli alberi Betullacitrulla e Pinobabbuino, colora la parte indicata
in ogni figura e pronuncia le parole magiche ABBÙ – INOB”.
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MAGA ORTENSIA FRA MATEMATICA E MAGIA
 Colora di ogni ingrediente la parte necessaria per la pozione magica
1
1
mezzo
terzo
1
1
quarto
quinto
1
1
1
1
mezzo
terzo
quarto
quinto
rappresentano ciascuna delle parti
uguali in cui è stato suddiviso l’intero e
si chiamano ……………………………
unità frazionarie
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AD OGNI PARTE LA SUA FRAZIONE
Scrivi l’unità frazionarie corrispondente ad ogni disegno.
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AD OGNI PARTE LA SUA UNITA’
FRAZIONARIA
Colora l’unità frazionaria corrispondente ad ogni disegno.
1
quinto
1
ottavo
1
sesto
1
dodicesimo
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AD OGNI PARTE LA SUA UNITA’
FRAZIONARIA
 Collega le unità frazionarie ai disegni corrispondenti.
1
1
quinto
terzo
1
1
quarto
nono
1
dodicesimo
Hai collegato tutti i disegni ad un’unità frazionaria?……………
Perché? ……………………..
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PARTI UGUALI
Completa la tabella.
intero
Numero di parti
uguali
nome di ciascuna
parte: unità
frazionaria
5
1
quinto
…………
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………..
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PARTI UGUALI
Completa la tabella e il disegno.
intero
Numero di parti
uguali
8
nome di ciascuna
parte: unità
frazionaria
…………..
…………
1
dodicesimo
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L’INVENZIONE DI MAGA ORTENSIA
pag. 54
Ricordi la pozione magica per trasformare Sambuco in un babbuino?
Zenzero ha così trascritto la ricetta:
un mezzo foglio magico rotondo,
un terzo di foglio rettangolare,
un quarto di foglio quadrato,
un quinto di foglio rettangolare.
Ad Ortensia viene l’idea di riscrivere con i simboli matematici gli
ingrediente della sua ricetta.
Un mezzo
Un quarto
1
1
mezzo
2
1
1
quarto
4
1
1
terzo
3
1
1
quinto
5
Un terzo
Un quinto
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L’INVENZIONE DI MAGA ORTENSIA
1
Numeratore
Linea di frazione
2
Denominatore
Il denominatore indica quante sono le parti uguali in cui è stato
suddiviso l’intero
Il numeratore indica quante sono le parti considerate.
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LA STOFFA MAGICA pag.59
Maga Ortensia possiede un pezzo di magica stoffa
"non mi vedi", che rende invisibili chiunque la indossi.
Iperico, Cumino e Zenzero vorrebbero utilizzarla per
farsi un mantello ciascuno e la maga li vuole
accontentare. Poiché i tre hanno differenti taglie, divide
la stoffa in tre parti di diversa grandezza.
E' corretto dire che ciascun aiutante ha ricevuto in dono
1/3 della stoffa? ……..
 Perché? …………………………………………………
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FRAZIONI O NON FRAZIONI?
 Indica per ciascuna figura se è stata frazionata bene, ossia divisa in parti
uguali.
 Scrivi, dove è possibile, la frazione corrispondente alla parte evidenziata.
Si
No
Si
Si
No
No
Si
Si
No
No
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Si
No
24
Suddivisione, in parti uguali di grandezze discrete
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo e Angela Costa, Erickson pag. 63)
Fase manipolatoria e grafica
Esempio:
Si abbia a disposizione una scatola di 15 bottoni, uguali tra loro, e si ponga la
situazione problematica: «La sarta Carmela usa per una camicia 1/3
dei bottoni della scatola. Quanti bottoni utilizza Carmela?».
Si propone di dividere con cartoncini la scatola in 3 parti e di distribuire i
bottoni in modo che in ogni parte ne sia contenuto lo stesso numero.
Si fa rappresentare la situazione sul quaderno:
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Suddivisione, in parti uguali di grandezze discrete
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo e Angela Costa, Erickson)
Fase manipolatoria e grafica
Con domande opportune, come
 quanti bottoni sono nell’intera
scatola?
 quanti gruppi di bottoni abbiamo
formato?
 quanti bottoni abbiamo distribuito in
ogni gruppo?
e il completamento della tabella
Numero di bottoni
nella scatola
Numero di
gruppi
equonumerosi
Numero di bottoni
per gruppo
15
3
5
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Suddivisione, in parti uguali di grandezze discrete
Fase manipolatoria e grafica
I bambini dovrebbero ricondurre la nuova situazione problematica a quelle di
divisione
la divisione
e l’espressione
15 : 3 = 5
“1/3 di 15 bottoni è 5 bottoni”.
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Suddivisione, in parti uguali di grandezze discrete pag.64
Fase manipolatoria e grafica
la divisione
15 : 3 = 5
divisione che risolve un problema di
ripartizione
Attraverso il denominatore è noto il numero dei gruppi equonumerosi, ma
non la loro numerosità.
La rappresentazione grafica può causare errori se la divisione viene
interpretata come «divisione che risolve un problema di contenenza» cioè
quando il denominatore viene letto come la numerosità di ciascuno dei
gruppi.
Nel caso di 1/3 di 15 bottoni si avrebbe, secondo quest’ultima accezione
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RIFLESSIONI …
15bot. : 3scat. = 5bot./scat.
15bot. : 3bot./scat. = 5scat.
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Esempio, in parte, errato
Esempio 1.1
Il percorso Verona-Padova è di 81 km.
Il tratto Verona-Vicenza è i 2/3 dell’intero percorso.
Quanto dista Verona da Vicenza?
Quanti e quali errori
ci sono?
81 : 3 = 27 x 2 = 54 km
3/3
1/3
2/3
Il che equivale a compiere la seguente operazione:
Ancora errori ?
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I LIBRI DI MAGIA pag.69
(Suddivisione in parti uguali di grandezze discrete)
Maga Ortensia, dopo aver usato i suoi 20 libri di magia per
preparare la pozione Corriveloce, li sistema in parti uguali sui
quattro ripiani della libreria.
Raggruppa i libri in modo opportuno.
• Su ogni ripiano ci sono …..
libri
(….…
……..
5
20 , ….…)
4
5
• Scrivi l'operazione che ti permette di calcolare 1/4 di 20 …………………….
20 : 4
• 1/4 di 20 è ……
5
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IL FILTRO SMEMORELLA pag.69
Gli aiutanti di Maga Ortensia hanno raccolto nel bosco
Querciaombrosa un bellissimo mazzo di 20 fiori “Mi scordo di te”. La
maga utilizza 1/5 di questi fiori per preparare il filtro “Smemorella”.
 Disegna i fiori raccolti e colora solamente quelli utilizzati dalla maga
per il filtro “Smemorella”.
20 : 5
 Scrivi l'operazione ………………………………
 La maga adopera
…..
4
fiori
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GIRONZOLANDO AL LUNA PARK pag.73
Luca, Marco e Chiara stanno gironzolando al luna park. Quando arrivano alla
chiosco dei dolci si fermano e comprano 12 liquirizie ripiene per ciascuno. I tre
ragazzi riprendono il loro giro al luna park mangiando le liquirizie. Quando
decidono di andare a casa, Luca ha mangiato 1/ 3 delle proprie liquirizie, Marco
ne ha mangiate 1/ 2 delle sue e Chiara 1/ 4 delle sue.
Disegna le liquirizie di ciascun bambino e colora solamente la parte che
corrisponde a quelle mangiate.
Luca
Chiara
Marco
 Completa.
1/3 di 12
è
1/2 di 12
è
1/4 di 12
è
4
…………
…………
6
…………
3
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GIRONZOLANDO AL LUNA PARK
 Colora un quadretto per ogni liquirizia mangiata da ciascun bambino.
Luca
Marco
Chiara
 Chi porta a casa più liquirizie? ………….
Chiara
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Confronto e ordinamento di unità frazionarie
- collocazione di unità frazionarie sulla linea dei numeri
Per giungere a individuare i punti interni all’intervallo da 0 a 1
corrispondenti alle unità frazionarie si suggerisce di partire da
diverse strisce di carta non quadrettata, della stessa lunghezza, e
di farle suddividere, mediante piegatura, in un numero, opportuno,
di parti uguali.
Se si predispongono strisce lunghe 18 cm, i bambini non
dovrebbero avere difficoltà a frazionarle, anche senza ricorrere
alla misura, in 2, 4, 8, 3, 6, 9 parti.
Su ogni striscia viene colorata una delle parti ottenute alle
estremità. Incolonnando una striscia sotto l’altra, in modo che le
unità frazionarie evidenziate siano allineate da una stessa parte, è
possibile ottenere un loro primo confronto e ordinamento.
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Confronto e ordinamento di unità frazionarie
- collocazione di unità frazionarie sulla linea dei numeri
1/2
1/3
1/4
1/6
1/8
1/9
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Confronto e ordinamento di unità frazionarie
- collocazione di unità frazionarie sulla linea dei numeri
Per rendere ancora più diretto il confronto e l’ordinamento tra unità
frazionarie, da ogni striscia viene fatta tagliare l’unità frazionaria
evidenziata; tale unità viene fatta riportare su un’unica striscia lunga
come le precedenti, in modo da allineare un estremo dell’unità sempre con
quello a sinistra della striscia e da segnare su di essa un tratto in
corrispondenza dell’altro estremo.
1
9
1
1
1
1
1
8
6
4
3
2
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Confronto e ordinamento di unità frazionarie
- collocazione di unità frazionarie sulla linea dei numeri
1
9
1
1
1
1
1
8
6
4
3
2
Si tratta di un passaggio importante, in quanto la frazione
unitaria sulla retta numerica non è più associata a parti
estese di segmenti, poligoni, strisce, …, ma a punti, come i
numeri naturali, quindi cominciano ad assumere una loro
“esistenza autonoma”, indipendente dall’intero a cui
vengono applicate.
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Osservando la retta numerica…
1
9
0
1
1
1
1
1
8
6
4
3
2
1
• le unità frazionarie occupano solo la prima metà
dell’intervallo da 0 a 1,
• l’unità frazionaria maggiore è 1/2,
• tra due unità frazionarie è minore quella con
denominatore maggiore.
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Graduazione dell’intervallo da 0 a 1 con
unità frazionarie qualsiasi (teorema di Talete)
•
•
•
•
•
•
Si supponga di volere individuare sul
segmento di estremi A e B associato
all’intervallo da 0 a 1 il punto
corrispondente all’unità frazionaria 1/7:
dall’estremo A si traccia una semiretta
qualsiasi s,
con apertura a piacere, a partire da A si
riportano con il compasso sulla semiretta s
7 segmenti tra loro congruenti e a due a
due adiacenti,
si unisce con la retta t il secondo estremo
dell’ultimo segmento ottenuto sulla
semiretta s con l’estremo B,
con riga e squadra si tracciano le parallele
alla retta t passanti per gli estremi
intermedi dei segmenti costruiti sulla
semiretta s,
i punti di intersezione di tali rette con il
segmento AB lo dividono in 7 parti uguali
s
t
A
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B
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