“Frazioni e numeri decimali:
un percorso ricco di
opportunità didattiche”
Quarto incontro
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1
Un ottimo cocktail
Carlo prepara un cocktail composto per metà da succo d’arancia, per un terzo
da succo di pompelmo e per la parte rimanente da succo di limone.
Indica con una frazione la parte di succo di limone .......................................
Rappresenta in modo opportuno la situazione sul tuo quaderno a quadretti
x3
1
3
2
6
x2
x3
1
2
3
6
x2
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2
IL DERBY
(IL DERBY PROBLEMI VARI DA "ULISSE" navigare nei saperi
Editore ELMEDI)
Nel derby del campanile lo stadio è pieno: 560
spettatori.
I 3/6 sono tifosi della squadra delle Manguste e
gli 11/22 sono tifosi della squadra dei Daini.
C'è qualche spettatore che non tifa per nessuna
delle due squadra? Perché?
:11
:3
3
1
11
1
6
2
22
2
:3
:11
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3
La sala dei draghi
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 169
Nella terza sala Zefira fa appena in tempo a scorgere 6 orribili draghi,
quando il guardiano le benda gli occhi. "Se indovinerai quante scaglie ha
ciascun drago sulla coda potrai passare, altrimenti … i draghi ti
ridurranno in cenere!"
Risolvi anche tu, insieme a Zefira, l'indovinello completando le frasi successive.
Le scaglie del primo drago sono i 3/5 di 15, cioè………
Le scaglie del secondo drago sono i 4/7 di 28, cioè….
Le scaglie del terzo drago sono i 5/8 di 64, cioè….
Le scaglie del quarto drago sono i 3/4 di 36, cioè…
Le scaglie del quinto drago sono i 7/10 di 80, cioè…
Le scaglie del sesto drago sono i 5/9 di 81, cioè…
Zefira risponde correttamente e i draghi le lasciano attraversare la sala.
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4
La sala dei draghi
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson pag.171)
La porta si apre su …un baratro! C'è solo un filo perfettamente teso, che attraversa
la sala da un capo all'altro. Sul filo, qua e là, sono appesi dei cartelli, su cui sono
scritte delle frazioni.
Il guardiano consegna a Zefira altri cartelli e le dice "Questo filo è come una linea
dei numeri.
Dovrai camminare sul filo, ma non preoccuparti: non cadrai, se procedendo,
appenderai al posto giusto i cartelli che ti ho consegnato! I cartelli su cui sono
scritte frazioni fra loro equivalenti vanno appesi uno sotto l'altro".
 Accompagna Zefira nella camminata sul filo e sostienila con il tuo aiuto.
2
9
5
3
7
6
16
8
16
8
4
8
8
16
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5
La sala dei draghi
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson)
2
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0
1
1
1
1
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8
6
UN DOLCE PARTICOLARE
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 183
Per il cenone di San Silvestro, la mamma di Chiara vuole preparare
una fonduta di cioccolato dove gli invitati intingeranno pezzetti di frutta.
Per la fonduta occorre del cioccolato fondente, ma con un contenuto di
cacao non troppo alto. Chiara ha il compito di acquistare il cioccolato.
Al supermercato ne può scegliere tra tre qualità: una con il 74% di
cacao, un'altra con il 60% di cacao e un'altra ancora con l'81% di
cacao. Chiara decide di prendere il cioccolato che contiene la minore
quantità di cacao.
Quale tipo di cioccolato acquista Chiara?
……………………………………………………..
Perché?
………………………………………………………………………………
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7
FRAZIONE DI UN TERRENO
6o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA I gennaio 1998
Giuseppe possiede un appezzamento di terreno a forma di quadrato e,
poiché è un po' giocherellone, lo divide con rette passanti per i vertici o
per i punti medi (cioè i punti di mezzo) dei lati del quadrato.
Francesco riceverà in eredità la parte ombreggiata del terreno di suo
padre Giuseppe.
Quale frazione del terreno riceverà Francesco?
Giustifica la tua risposta.
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8
FRAZIONE DI UN TERRENO
6o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA I gennaio 1998
• Campo concettuale:
– Geometria: figure equivalenti, rette parallele, punti medi
– Aritmetica: frazioni
• Analisi del compito:
– Ricomporre le sei parti in un parallelogramma e in due
triangoli rettangoli isometrici
– Trovare che l'area di ognuno di questi triangoli è un quarto
di quella del quadrato, quindi l’area dei due triangoli è la
metà di quella del quadrato
– Dedurre che l'area del parallelogramma è metà dell'area del
quadrato
– Trovare quindi che la parte ombreggiata, essendo metà del
parallelogramma, vale un quarto dell'area del quadrato
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9
Liberamente tratto da: www.dm.unito.it/semdidattica/risonanze_LL.ppt
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10
Dal test d’ingresso per le 14 classi prime
del a. s. 2006/2007
L’ area colorata, a che frazione della
sagoma corrisponde?
a)
un quinto
b) un sesto
c)
due terzi
d) due noni
Su 318 studenti hanno risposto correttamente in
98 (31%)
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11
Cerchia la minore tra queste frazioni:
3/2
3/5
3/7
3/10
Cerchia la maggiore tra queste frazioni
3/10 1/5 6/5
6/120
Su 318 studenti hanno risposto correttamente ad
entrambe le domande in 117 (37%)
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12
Fra quale coppia di naturali è situata la
frazione 9/4?
a) tra 1 e 2
c) tra 3 e 4
b) tra 2 e 3
d) tra 4 e 5
Su 318 studenti ha risposto
correttamente il 55%
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13
Le domande aperte
Qual è il doppio di 1/2 ?
Qual è la metà di 1/4 ?
ricevono ancor più sconcertanti risposte:
1/4
Il doppio di ½ ?
2/4
La metà di 1/4
1/2
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14
Ma come si (ri)spiegano le frazioni ad un
quindicenne?
artigianato, senza supporto di un modello di riferimento
• il problema dell’intero, dell’unità….
• le torte in fette, le strisce e le suddivisioni equivalenti….
• come operatore: 3/5 di…
e quando si arriva ad invocare la divisione , si scopre che
non sanno più fare le divisioni e, forse, non ne conoscono il
significato……
scarsi risultati
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15
Dopo 3 mesi di lavoro sui numeri…
Colora i 3 /7 della figura data:
Quale frazione della figura è colorata?
Su 27 studenti, rispondono correttamente ad entrambe in
18
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16
Quant’è il doppio di un sesto? …………
Quant’è la metà di un quinto? …………
A quanti sesti equivalgono due interi? ……….
Quanti ottavi ci sono in un mezzo? ………..
Su 27 studenti 4 rispondono correttamente a
tutte le domande
Sommando i risultati parziali, la correttezza
complessiva è del 37%
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17
Quale dei seguenti numeri è compreso tra 2 e 3?
2/3
3/2
7/3
7/2
Tra quali interi è compreso il numero  7/4 ?
tra  1 e 0
tra –3 e –2
tra  2 e –1
tra – 4 e –3
Su 27 studenti 11 rispondono
correttamente ad entrambe
Sommando i risultati parziali si arriva a al
44% di correttezza
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18
Storia della frazione
(Da Wikipedia, l'enciclopedia libera).
Le origini della frazione si devono all'intersecarsi dei rapporti
commerciali fra le più antiche civiltà che necessariamente portò
all'uso dei sottomultipli delle unità di misura allora usate.
Documenti storici attestano l'uso delle frazioni presso gli antichi Egizi
nel XVII secolo a.C..
Simboli utilizzati
nell'Antico Egitto
per rappresentare
le frazioni
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19
Essi conoscevano, per precisione, le unità frazionarie, che
rappresentavano con il geroglifico di un quadrato avente al centro
un cerchio (che significava « parte ») posto quale numeratore sopra
al numero che indicava le parti. Gli egiziani rappresentavano le
frazioni vere e proprie come somma di unità frazionaria.
Per esempio per rappresentare 5⁄6 scrivevano 1⁄2 + 1⁄3.
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20
Ancora frazioni egizie
L'occhio di
Horus
Una leggenda egiziana narrava che "Seth aveva strappato
a Horus l'occhio sinistro e glielo aveva ridotto in pezzi, ma
Thot riuscì a ricomporlo".
Il disegno, posto sopra, mostra quale
frazione indica ogni parte dell'occhio di
Horus.
È possibile avere altre frazioni
combinando queste parti, ad esempio 3/4
corrisponde alla parte dell'occhio che
mostra metà più un quarto.
Le frazioni ottenibili così sono solo alcune
(ad esempio non si può ottenere 1/3)
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21
Ancora frazioni egizie
• Un occhio intero rappresentava
l'unità, ma.....
Non avete notato nulla di strano?
• Se provate ad addizionare tutti i
pezzi, vedrete che si ottiene 63/64
e non 64/64! Manca all'appello
1/64!
• Anche in questo caso, però, gli
egiziani ci hanno dato una
spiegazione: " l'1/64 mancante
sarebbe comparso grazie a una
magia di Thot."
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Il papiro di Rhind
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Il papiro di Rhind
• Il papiro di Rhind è il più importante documento
egizio di matematica e risale al 1650 a.C.
• Dallo studio di questo famoso papiro, risulta che
gli Egizi utilizzassero le frazioni per risolvere
diversi problemi, tra i quali anche il calcolo
dell’angolo da dare alle pareti delle piramidi.
Sembra che un approfondimento in questo
campo fosse stato necessario dopo il crollo di
una piramide, dovuto a una errata inclinazione
delle sue pareti.
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24
Le frazioni romane
I romani si limitarono a considerare le frazioni come
parti delle unità di misura in uso, le quali venivano
divise in 12, 144, 288, 576. Lo stesso fatto si
ripeteva per le suddivisioni monetarie (a destra è
raffigurata un moneta coniata in bronzo raffigurante
l'imperatore Teodosio).
Ecco un esempio di frazioni monetarie:
AS = 1
uncia = 1/12
semuncia = 1/24
drachma = 1/96
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25
Nel Medioevo
4 f 9 = 4 s 9 = 4⁄9
che si leggeva quattro fratto nove; l'ultima scrittura si usa
ancora adesso.
La scrittura più usata ai nostri giorni (con linea orizzontale)
e la lettura diversa del numeratore con un numero
cardinale (quattro) e del denominatore con un numero
ordinale (noni)
4
= « quattro noni »
9
si devono al matematico Leonardo Pisano, detto Fibonacci,
vissuto tra il 1170 e il 1250
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26
Ancora un po’ di storia
• Solo nel XVI sec. diviene di uso comune tra i
matematici
• Sempre nel XVI sec. si presta attenzione alle frazioni
decimali come numeri con virgola a opera del fisico
Stevino.
• Per Euclide (300 a.C.) il simbolo frazione era usato solo
per esprimere il rapporto tra grandezze geometriche.
• Nell’ Antico Egitto e in Mesopotamia la frazione era
usata per esprimere una parte di una grandezza.
• Questo significato è stato quello prevalente fino a tempi
recenti.
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27
Ancora un po’ di storia
• L’interpretazione della frazione come
operatore su grandezze risale al XIX sec. In
tale secolo sono stati elaborati i principi
fondamentali di una teoria delle grandezze.
• L’introduzione formale dei numeri razionali
come
“ coppie ordinate di numeri naturali ” ,
coppie definite a meno di una relazione di
equivalenza, può essere fatta risalire alla prima
metà del XIX sec. per opera di Hamilton.
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28
O,678
1,07
O,5
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LA SCRITTURA CON VIRGOLA
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 186
Se si ammette come operazione che dà luogo a nuove unità del
sistema di numerazione non solo il raggruppamento per dieci, ma
pure la divisione iterata per dieci dell’unità fondamentale, si ha la
possibilità di scrivere in forma decimale anche i numeri razionali
assoluti.
Tra i numeri razionali assoluti sono particolarmente importanti per le loro
applicazioni reali nelle misure, nel sistema monetario, … i cosiddetti
numeri decimali, ossia i numeri razionali assoluti che possono essere
espressi con un numero finito di raggruppamenti o di divisioni per dieci
dell’unità fondamentale. Se si definisce frazione decimale una frazione che
ha come denominatore una potenza di dieci, si ha che un numero
razionale è decimale quando può essere rappresentato con una frazione
decimale.
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30
LA SCRITTURA CON VIRGOLA
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 186
Esempio
1/10 è l’unità frazionaria di un ordine inferiore rispetto all’unità
semplice ed è detta decimo (simbolo d);
Per es: se l’unità semplice è il metro si ha:
1 decimo di m
dm
decimetro
1/100 è l’unità frazionaria di due ordini inferiore rispetto all’unità
semplice ed è detta centesimo (simbolo c);
1/1000 è l’unità frazionaria di tre ordini inferiore rispetto all’unità
semplice ed è detta millesimo (simbolo m).
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31
Osservazione…
" 3,50 che cosa?"
Si rammenta loro che come quando scrivono un numero
naturale, ad es. 13, "senza marca" intendono 13unità
(13u), così quando scrivono un numero con la virgola,
ad es.3,50 "senza marca" devono leggerlo come 3,50 u,
cioè
3unità, 5decimi e 0centesimi. In ambedue i casi la marca
"u" non viene scritta ed è l'unica marca che può anzi deve,
per convenzione, essere tralasciata.
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32
LA SCRITTURA CON VIRGOLA
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson)
Si dimostra che ogni numero decimale può essere scritto come
successione di cifre, poste da sinistra a destra in modo decrescente
rispetto all’ordine di grandezza della relativa unità; in tale successione il
segno grafico che separa le unità semplici da quelle frazionarie è,
comunemente, una virgola.
Esempio
Il numero decimale 2678/100 può essere scomposto come
2678/100 =2000/100 + 600/100 + 70/100 + 8/100
2678/100 = 20 + 6 + 7/10 + 8/100
2678/100 = 2 da + 6 u + 7 d + 8 c
2678/100 = 26,78
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ITINERARIO DIDATTICO
I NUMERI DECIMALI
8.1 Dalle unità frazionarie decimali alla scrittura con virgola.
8.1.1 I numeri decimali tra 0 e 1
- formalizzazione della scrittura con la virgola
- confronto e ordinamento
8.1.2 I numeri decimali maggiori di 1
- formalizzazione della scrittura con la virgola
- confronto e ordinamento
8.1.3 Posizione della virgola e valore del numero
8.2 Operazioni con i numeri decimali. Approssimazione e arrotondamento
8.2.1 Esecuzione di addizioni e sottrazioni
8.2.2 Esecuzione di moltiplicazioni
8.2.3 Esecuzione di divisioni
8.3 Consolidamento del significato dei numeri decimali e delle loro
operazioni
8.3.1 Esecuzione di esercizi relativi ai numeri decimali
8.3.2 Risoluzione di problemi relativi ai numeri decimali
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34
8.1 Dalle unità frazionarie decimali alla
scrittura con virgola
numero razionale
decimale
può essere rappresentato
con una frazione
decimale.
frazione decimale
una frazione che ha come
denominatore una
potenza di dieci.
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35
8.1 Dalle unità frazionarie decimali alla scrittura con virgola
Esempio
1) Le frazioni 7/10, 3/100, 21/1000 sono decimali e indicano che le unità
semplici sono state divise per dieci, rispettivamente, una, due e tre volte. I
numeri razionali rappresentati da queste frazioni sono, allora, numeri
decimali finiti.
7
10
3
100
21
1000
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8.1 Dalle unità frazionarie decimali alla scrittura con virgola
Esempio
2) Le frazioni 7/5, 3/4, 9/250 non sono decimali, ma sono equivalenti a
frazioni decimali:
x2
7
5
14
10
x2
x4
x25
3
4
75
100
x25
9
250
36
1000
x4
Dato che un numero razionale può essere rappresentato da una qualsiasi delle
frazioni che appartengono alla classe di equivalenza ad esso associata, anche
i numeri indicati dalle frazioni 7/5, 3/4, 9/250 sono decimali finiti.
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37
8.1 Dalle unità frazionarie decimali alla scrittura con virgola
Esempio
3) La frazione 35/28 non è decimale; essa, però, è equivalente alla frazione
ridotta 5/4 che a sua volta è equivalente alla frazione decimale 125/100:
:7
35
28
x25
125
100
5
4
:7
x25
Ne segue che il numero individuato dalla frazione 35/28 è decimale
finito.
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38
8.1 Dalle unità frazionarie decimali alla scrittura con virgola
Esempio
4) La frazione 4/14 non è decimale; essa è equivalente alla frazione ridotta
2/7 che, però, non è equivalente ad alcuna frazione decimale, in quanto i
multipli del denominatore ammettono tutti come divisore 7, che non divide
le potenze di 10.
:2
4
14
2
7
:2
Le frazioni non decimali né equivalenti a frazioni decimali sono
dette frazioni ordinarie.
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39
8.1 Dalle unità frazionarie decimali alla scrittura con virgola
Esempio
5) Se si assumono come unità fondamentali le unità semplici u il numero
razionale rappresentato dalla frazione 32/10 corrisponde a 3 unità
semplici e 2 decimi di unità semplice, quindi può essere scritto con la
successione 3,2 u nella quale la virgola separa le unità semplici da quelle
frazionarie.
32
= 3u + 2du = 3,2u
10
La virgola separa, dunque, due numeri naturali: quello che, da
sinistra, precede la virgola è il numero di unità fondamentali, quello
che segue la virgola è il numero di unità frazionarie decimali rispetto
all’unità fondamentale
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40
I NUMERI RAZIONALI NON DECIMALI
I numeri razionali non decimali
non possono essere associati a frazioni decimali
possono essere espressi con frazioni ordinarie
Esempio
1) Per determinare la scrittura con virgola del numero razionale
13/6 si esegue la divisione di 13 con 6, proseguendola anche
sulle unità frazionarie decimali:
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41
I NUMERI RAZIONALI NON DECIMALI
Esempio
1) Per determinare la scrittura con virgola del numero razionale 13/6
si esegue la divisione di 13 con 6, proseguendola anche sulle unità
frazionarie decimali:
1 3 : 6 = 2 , 1 6 6
Il secondo resto parziale, il numero 4, si ripete anche come
1 2
terzo resto per cui, nel quoziente, dalla seconda cifra della
1 0
parte decimale si ripete indefinitamente il 6. Si ha:
6
4 0
13 / 6 = 2, 1 6.
3 6
4 0
3 6
4 .
.
.
.
.
.
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42
I NUMERI IRRAZIONALI
I numeri irrazionali
non corrisponde alcuna scrittura frazionaria
Esempio

ottenuto dal rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e
quella del relativo diametro,
2 che esprime il rapporto tra la lunghezza della diagonale e
quella del lato di un quadrato.
I numeri irrazionali ammettono una scrittura con la virgola illimitata e
non periodica
Tali numeri, dunque, non possono essere descritti completamente e
vengono approssimati con numeri decimali.
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43
I NUMERI DECIMALI TRA 0 E 1
8.1.1 I numeri decimali tra 0 e 1
− formalizzazione della scrittura con virgola
− confronto e ordinamento
SUGGERIMENTO DIDATTICO
Introdurre i numeri decimali e la loro scrittura con la virgola a
partire da situazioni problematiche relative alla misura di
grandezze, per esempio di lunghezza.
Infatti, il sistema metrico in uso è proprio di tipo decimale, quindi
consente di interpretare la costruzione delle unità frazionarie su
unità “concrete” come il metro
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44
I NUMERI DECIMALI TRA 0 E 1
ESEMPIO
0,5 m
I 5 decimi sono riferiti al metro, che può essere concretamente
stato diviso in dieci parti uguali, cioè in decimi.
0,5
Troppo
astratto
Nella scrittura 0,5 può essere difficoltoso comprendere il ruolo dei
5 decimi, dato che non vi è l’indicazione esplicita dell’intero che
viene diviso in dieci parti uguali.
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45
I NUMERI DECIMALI TRA 0 E 1
ATTIVITÀ PER LA COSTRUZIONE DEI NUMERI DECIMALI
 Suddividere una striscia di carta lunga un metro
in dieci parti uguali
 Denominare ciascuna delle parti ottenute come
“un decimo” della striscia (decimetro)
 Far misurare con i decimetri lunghezze minori di
10 dm
 Registrare le misure nella seguente tabella
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46
ATTIVITÀ PER LA COSTRUZIONE DEI NUMERI DECIMALI
m
dm
0
0
3
8
- Quanti metri abbiamo usato? 0
- Quanti decimetri abbiamo usato? 3
Utilizzare come unità di misura principale il metro, può portare a
codificare come 03 m, 08 m
Si farà riflettere sul fatto che lo 0 davanti ad un numero naturale può
essere omesso, per cui si arriva a scrivere 3 m, 8 m che sono lunghezze
evidentemente sbagliate, dato che non è neppure stato utilizzato un
metro “intero”.
Si è, dunque, di fronte ad una nuova situazione nella quale lo 0 iniziale
è importante, non può essere trascurato perché dice quante “unità
intere” sono state utilizzate.
Per separare queste unità da quelle che sono state ottenute per loro
suddivisione si introduce la virgola, si scrive cioè 0,3 m e 0,8 m.
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47
“Frazioni e numeri decimali:
un percorso ricco di
opportunità didattiche”
Quinto incontro
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48
I NUMERI DECIMALI TRA 0 E 1
0,5 dau (dam – dal – dag…)
0 decine e 5 decimi di decina (unità semplici)
0,5u (m – l – g…)
RIFLETTIAMO
0 unità e 5 decimi di unità (decimi)
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49
I NUMERI DECIMALI TRA 0 E 1
PARTI UGUALI PER DECORARE pag. 196
La maestra deve preparare alcune tessere per realizzare alcuni
motivi per decorazioni con la tecnica del collage. Ha a disposizione
alcuni cartoncini colorati suddivisi in 10 parti uguali come vedi nei
disegni qui sotto riportati.
….
….
Ogni parte di cartoncino rappresenta
dell’intera
striscia.
Per costruire anche tu un collage, ritaglia le tessere secondo le
indicazioni.
Ogni volta dovrai utilizzare:
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50
PARTI UGUALI PER DECORARE
A
7
dell’intera striscia
10
B
6
dell’intera striscia
10
C
9
dell’intera striscia
10
In una scuola, con alcuni decimi della striscia B è stato costruito
questo motivo da decorazione.
D
Quanti decimi della striscia
sono stati utilizzati?……………
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51
PARTI UGUALI PER DECORARE pag. 197
Usa come unità di misura questo segmento che rappresenta la
lunghezza della striscia e colloca nei cartellini le frazioni con cui hai
operato.
0
D
B
A
C
4
10
6
10
7
10
9
10
1
Quanti decimi avresti dovuto utilizzare per usare l’intero segmento?
Aggiungi sul segmento il cartellino con la frazione corrispondente
all’intero, e chiama E il punto da te individuato.
Cosa noti in questa frazione?
………………………………………………………………………………
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52
PARTI UGUALI PER DECORARE pag. 205
- Riporta nella tabella i dati relativi ad ogni frazione.
In lettere
A
In forma di
frazione
sette decimi
7
10
Unità
Decimi
di unità
0
7
B
…………..
…..
…..
C
…………..
…..
…..
D
…………..
…..
…..
E
Dieci
decimi
…………..
1
0
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53
•
•
FRAZIONI E NUMERI DECIMALI
Usando il righello, suddividi ogni segmento in 10 parti uguali. Ogni parte rappresenta
……… del segmento.
A partire da 0 u, evidenzia ogni volta la parte corrispondente a ciò che trovi nella tabella.
0u
1u
In forma di
frazione
u
4
10
0
d
4
7
10
………
Numero
decimale
0,4
………
0
1
………
………
0,5
………
0,3
………
0
8
2
10
………
………
………
0
6
………
………
0,9
10
10
………
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54
L’ EURO E I SUOI SPICCIOLI pag.219
Collega ogni valore scritto in cifre con il relativo nome e la moneta corrispondente.
€ 0,10
20 centesimi di euro
2 centesimi di euro
€ 0,20
1 centesimo di euro
€ 0,01
5 centesimi di euro
50 centesimi di euro
€ 0,50
2 decimi di euro
€ 0,05
10 centesimi di euro
€ 0,02
5 decimi di euro
1 decimo di euro
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55
CHI COMPRERÀ IL GELATO? pag.219
€ 0,73
Soldi di Andrea: €….
€ 0,80
€ 0,84
Soldi di Simone: €….
• Chi può comperare un gelato? ……..………………………
• Quanti centesimi mancano al bambino che non ha potuto comperare
il gelato?
• Mettendo insieme i soldi di Andrea e Simone, si possono comperare
due gelati?……Perché?………………………………………………
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56
ACQUISTI CONVENIENTI pag.220
Dopo aver scritto il costo di ogni oggetto, scegli fra i due simili quello più conveniente,
segnandolo con una crocetta. Scrivi la relazione fra i due numeri come nell’esempio
0,60 < 0,72
€ 0, 60
€ ……..
…… … …..
€ ……..
€ ……..
…… … …..
€ ……..
€ ……..
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57
Sistema monetario europeo
x2
2
MONETE
10
20
Il valore minore è
1 centesimo di euro
1 cent
50
100
200
€1
€2
x5
5
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58
Sistema monetario europeo
BANCONOTE
x2
10
20
50
100
x5
Il valore minore è
5 EURO
200
500
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59
QUAL È IL COLMO PER UN MATEMATICO?
Qual è il colmo per un matematico?
Nelle caselle vuote, riscrivi in ordine crescente i numeri decimali di
ogni riga, con le corrispondenti lettere: scoprirai il colmo!
A
0,5
E
1
R
0,8
D
0,41
M
0,2
R
0,4
E
0,21
U
0,14
N
0,12
I
0,54
I
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60
GARA DI TUFFI
pag.247
Oggi il Signor Giorgetti vuole accompagnare suo figlio Alessandro a vedere
una gara di tuffi, ma per improvvisi impegni di lavoro arrivano in ritardo e
riescono a vedere solo la terza serie di tuffi.
Nei primi due tuffi gli atleti hanno ottenuto i seguenti punteggi:
Atleti
punteggi
Rossi
93,60
Guidi
103,60
Carli
90,81
Alberti
103,40
Volpini
103,04
Cerini
103,00
Dopo due tuffi, chi è in testa alla classifica e
con quanti punti?
………………con punti…………..
Dopo due tuffi, chi è il secondo classificato e
con quanti punti?
………………con punti…………..
Dopo due tuffi, chi è ultimo in classifica e
con quanti punti?
………………con punti…………..
Qual è la differenza di punteggio tra il primo
e il secondo in classifica?
……………………………………………………………
Qual è la differenza di punteggio tra il primo
e l'ultimo in classifica?
………………………………………………………………
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61
LE OLIMPIADI INVERNALI
pag.247
Durante le Olimpiadi invernali si svolgono le gare di pattinaggio artistico, alle quali partecipa
anche l’atleta italiana Bianca Volteggi.
Scopri i punteggi che i 7 giudici, contrassegnati dalle lettere A, B, C, D, E, F, G, hanno
assegnato alla pattinatrice italiana Bianca Volteggi, seguendo le seguenti indicazioni.
Devi sapere che i giudici possono attribuire un punteggio da 6 a 10 utilizzando anche i decimi
Riporta poi i risultati in tabella e calcola il punteggio totale della pattinatrice Bianca Volteggi.
Il giudice A ha assegnato un punteggio pari a 8 unità e 6 decimi
Il giudice B ha assegnato un punteggio pari a 79 decimi
Il giudice C ha assegnato un punteggio pari a 9 unità
Il giudice D ha assegnato un punteggio di 2 decimi inferiore a quello del giudice C
Il giudice E ha assegnato un punteggio maggiore di quello del giudice D e minore di quello del
giudice C
Il giudice F ha assegnato un punteggio di un decimo superiore a quello più basso assegnato
finora
Il giudice G ha assegnato un punteggio pari a 8 unità e 13 decimi.
A
B
C
D
E
F
G
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Tot.
62
Alla fine della semifinale i punteggi
ottenuti dalle pattinatrici, per le loro
nazioni, sono i seguenti:
NAZIONI
PUNTI
FRANCIA
60,2
GERMANIA
59,2
ITALIA
60,5
AUSTRIA
59,9
GIAPPONE
60,9
CROAZIA
61,1
STATI UNITI
60,4
INGLILTERRA
59,3
FINLANDIA
61,0
SVEZIA
60,1
Scrivi in tabella la
classifica.
NAZIONI
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PUNTI
63
RICOSTRUISCI LA BANCONOTA pag.333
Arrotonda le cifre al centesimo. Ritaglia e incolla le parti del puzzle sul
corrispondente numero che hai trovato
7,481
0,137
………….
7,48
138,768
………….
0,009
………….
1936,271
………….
270,017
………….
2,197
………….
1936,176
………….
1,101
………….
19,624
………….
936,272
………….
8,703
………….
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40,429
………….
72,777
………….
138,999
………….
1002,098
………….
64
RICOSTRUISCI LA BANCONOTA
Arrotonda le cifre al centesimo. Ritaglia e incolla le parti del puzzle sul
corrispondente numero che hai trovato
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65
INDOVINA CHI pag.331
Marco e Giovanni stanno giocando ad indovinare i numeri pensati.
Ora “tocca” a Marco indovinare il numero pensato da Giovanni in
base a questi indizi.
PRIMO INDIZIO
Lo puoi trovare numerando per 0,02 partendo da 1,92
fino a 2,10.
Può essere: 1,92 1,94
……
…… 1,98
……
……
2,00
1,96
…….
……
…… …….
…….
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
SECONDO INDIZIO
La cifra dei decimi è 0
Può essere: 2,00
……. 2,02
…….
2,04
…….
2,06
…….
TERZO INDIZIO
Se lo dividi per 3 il resto della divisione è 0
Allora è: ……….
2,04Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella
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2,08
……..
66
NUMERI DECIMALI DA SCOPRIRE pag. 341
• Se mi moltiplichi per 100 ottieni un numero
intero di 3 cifre.
• Se dividi la mia parte intera per 2 ottieni 4.
• La cifra dei centesimi è 1/3 di 9.
• La somma dei numeri rappresentati dalle mie
cifre è 15.
Che numero sono?
8,43
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67
NUMERI DECIMALI DA SCOPRIRE pag. 341
• Sono compreso tra 20 e 30
• La cifra delle unità è il doppio della cifra delle decine
• Se mi moltiplichi per 10 ottieni un numero intero
• La parte decimale è formata da due cifre.
• Il numero rappresentato dalla cifra dei decimi
corrisponde ad 1/3 della parte intera.
Che numero sono? 24,80
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68
NUMERI DECIMALI DA SCOPRIRE pag. 341
• Se mi moltiplichi per 100 ottieni un numero intero di 5
cifre.
• Se dividi la mia parte intera per 10 ottieni ancora un
numero intero.
• Sono compreso tra 2 centinaia e 3 centinaia.
• La cifra dei centesimi è 1.
• Il numero che occupa il posto delle decine è il triplo del
numero che rappresenta i decimi.
• La somma dei numeri rappresentati dalle mie cifre è 15.
Che numero sono?
290,31
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69
GITA SCOALSTICA
La scuola organizza una gita. Gli alunni che partecipano
sono 30. La spesa è di 200 euro. Qual è la quantità di
denaro minima che deve portare ciascun alunno in modo
che sia coperta la spesa, e in modo che non si usino
monete da 1 e 2 centesimi?
(A) 7 euro
(B) 6 euro 60 cent.
(C) 6 euro 65 cent.
(D) 6 euro 67 cent.
(E) 6 euro 70 cent.
• Scrivi il ragionamento che hai seguito.
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70
GITA SCOALSTICA (soluzione)
•
Si potrebbe arrivare alla risposta nel modo che segue:
(A) 7 euro 0 cent.
7x30 + 0x30 = 210
(B) 6 euro 60 cent.
6 x 30 + 0,60 x 30 = 180 + 18 = 198
(C)6 euro 65 cent
6 x 30 + 0,65 x 30 = 180 + 19,50 = 199,50
trascuriamo il punto (D) che implica l’uso di 2 centesimi
(E) 6 euro 70 cent.
6x30 + 0,70 x30 = 180 + 21 = 201
•
Oppure trasformare (A), (B), (C), (E) in numero decimale e poi
moltiplicare ciascun numero per 30
Naturalmente vi sono altri modi di procedere per risolvere il problema.
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71
GITA SCOALSTICA varianti
1. Cambierebbe la risposta se potessimo usare
anche monete da 2 centesimi?
Scrivi il ragionamento che fai.
2. Quale procedimento seguiresti per rispondere
alla domanda se non ti fossero date le
risposte (A), (B), (C), (D), (E) e
–
–
2 a) non fossero ammesse le monete da 1 e 2
centesimi? Scrivilo.
2 b) fossero ammesse le monete da 2 centesimi?
Scrivilo.
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72
GITA SCOALSTICA varianti (soluzione)
•
Se potessimo usare monete da 2 cent. dovremmo
considerare anche il punto (D):
6 euro 67 cent.
6 x 30 + 0,67 x 30 = 180 + 20,10 = 200,10
Il punto (D) sarebbe allora la soluzione richiesta.
•
Se manca la risposta multipla la via più semplice da
seguire è fare la divisione 200:30 che, per la proprietà
invariantiva della divisione, equivale a:
20 : 3 = 6, 6666...
2 a) se non ho i 2 cent. devo arrotondare a 6,70
2 b) se ho i 2 cent. arrotondo a 6,67
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73
Approssimazione e arrotondamento
(esercizi)
1. Chi ha ragione?
– Mario e Giorgio stanno ...... discutendo sul problema che segue:
" Il quoziente, approssimato ai centesimi, della divisione di
435,67 per 18 è 34,20."
Mario è convinto che il quoziente sia sbagliato, per Giorgio
invece non ci sono errori.
– Chi ha ragione?...... Perchè?..................................................
– Calcola il quoziente e il resto della divisione di 435,67 per 18:
Il quoziente è ....................................
Il resto è ............................................
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74
Approssimazione e arrotondamento
(soluzione)
Mario ha ragione perché
18x30 = 540 > 435,67
• quindi 18x 34,20 non può dare un prodotto
minore di 540.
435,67 - 24,20x18= 435,67 - 435,60 = 0,07
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75
Approssimazione e arrotondamento
(esercizi)
2. Alla ricerca del dividendo
–
–
–
–
–
Un numero è stato diviso per 138. Il quoziente di
questa divisione, approssimato ai centesimi, è
32, 65 e il resto 47 centesimi
Qual è il numero? ................................................
Ti sembra un risultato ....... ragionevole? Sì, No
Perché?......................................................................
.......................................................................
Controlla se hai lavorato bene facendo la divisione
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76
Approssimazione e arrotondamento
(soluzione)
138x32,65 + 0,47 = 4 505,70 + 0,47 = 4506,17
Il risultato sembra ragionevole perché 140x30 = 4200
4506,17
366
901
737
47
138
32,65
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77
Combinazione di cifre
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 pag. 242 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson)
Utilizzando tutti i 4 simboli, 1
3
2
Utilizzando tutti i 4 simboli, ,
0
,
1
3
ciascuno una sola volta, scrivi:
ciascuno una sola volta, scrivi:
• Il numero maggiore possibile:……
• Il numero maggiore possibile:….
• Il numero minore possibile:…….
• Il numero minore possibile:…..
Combinando opportunamente
queste simboli scrivi tutti i numeri
maggiori di 2.
……………………………………
Combinando opportunamente
queste simboli scrivi tutti i numeri
maggiori di 3.
……………………………………
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78
Numeri a confronto
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 pag. 243 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson)
Completa con il simbolo o il numero mancante
2,34
2,35
9,7
9,1
2,09 <
>
=
2,4
2,35
2,5
5,2
Completa a tuo piacere
27,8 <
2..,..
..,48 <
5,38
5,..7 =
..,6..
4,..9 =
4,.. ..
2,7.. =
5,.. ..
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>
..,..5
..,5..
79
VIRGOLA DOVE
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 pag. 250 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson)
t4
t3
km
hm
dam
m
dm
cm
t2
s
mm
t2
a
t1
t1
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80
VIRGOLA DOVE
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 pag. 250 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson)
• In un cartoncino C, avente per dimensioni circa quelle di
metà foglio A4 , sono stati fatti quattro fessure t1 e t2
orizzontali, t3 e t4 verticali, come in figura. La striscia
compresa tra t1 e t2 è stata divisa in undici colonne
uguali . L'asticciola a ( chiusa ad anello), di colore
diverso dal cartone, scorre nelle fessure t1, t2 : la sua
posizione indica la posizione della virgola nel numero.
• Sono state preparate quattro strisce, come la s, da
infilare nelle fessure t3 e t4 . Ciascuna striscia è divisa in
undici colonne larghe come quelle disegnate sul
cartoncino e riporta uno dei seguenti gruppi di unità:
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81
le unità di lunghezza ( come in figura)
le unità di peso (Si ricorda ai colleghi che nel nuovo Sistema Internazionale di
misura (SI) il Megagrammo (Mg) è la tonnellata (t, ancora ammessa) mentre il
quintale, come nome e come simbolo (q), è stato eliminato.
Mg
hkg
dakg
kg
hg dag
g
dg
cg
hl
l
dl
cl
mg
le unità di capacità
dal
ml
le unità, decine e centinaia semplici, le unità, decine e centinaia di migliaia,
.... i decimi, centesimi e millesimi di unità semplici
Mu
hku
daku
ku
hu
dau
u
du
cu
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mu
dmu
82
VIRGOLA DOVE
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 pag. 250 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson)
Su un foglio di carta sottile, fatto passare sotto l'asticciola a e fissato
ai bordi laterali del cartoncino con due graffette, si scrivono i numeri
dati e spostando l'asticciola a si eseguono le equivalenze.
Il passaggio da un numero con la virgola riferito ad una misura, al
numero "senza marca" deve essere spiegato con molta attenzione.
Se, dopo poco tempo, le scritture
3,50m
3,50kg
3,50 dl
sono chiare per quasi tutti gli allievi , che senso ha per gli stessi la
scrittura 3,50?
" 3,50 che cosa?"
Si rammenta loro che come quando scrivono un numero naturale, ad
es. 13, "senza marca" intendono 13unità (13u), così quando scrivono
un numero con la virgola, ad es.3,50 "senza marca" devono leggerlo
come 3,50 u, cioè 3unità, 5decimi e 0centesimi. In ambedue i casi la
marca "u" non viene scritta ed è l'unica marca che può anzi deve,
per convenzione, essere tralasciata.
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83
O,6
78
1,0
7
O,5
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84
Storia dei numeri decimali
A noi sembra semplice pensare a
1
= 0,5
2
ma non è stato sempre così: la rappresentazione
decimale delle frazioni è stata “inventata” di recente,
circa cinque secoli fa.
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85
Storia dei numeri decimali
• Nel XVI secolo troviamo ancora i contabili alle prese
con il calcolo delle frazioni, che richiede un
addestramento particolare e quindi non è alla
portata di tutte le persone che devono eseguire
calcoli tecnici, commerciali …
7
10
2
3
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86
Storia dei numeri decimali
Si scoprono
terre nuove
Si lotta per la
libertà religiosa e
di pensiero
In questo stesso periodo stanno
avvenendo profonde trasformazioni
Si sviluppano nuove
tecnologie (stampa,
polvere da sparo,
partita doppia nella
contabilità ….)
Si sente quindi la
necessità di snellire i
calcoli per
migliorare il commercio
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87
Storia dei numeri decimali
Simone Stevino
Simone Stevino , noto
anche come Simon
Stevin o Simone di
Bruges, (Bruges, 1548 –
L'Aia, 1620) è stato un
ingegnere e fisico belga,
pre-galileiano.
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Storia dei numeri decimali
• Nel suo trattato “LA DISME” (la decima),
pubblicato nel 1585, propose un sistema di
scrittura dei numeri frazionari basato su una
particolare scrittura delle frazioni decimali (cioè
aventi denominatore 10 o 100 o 1000….) già
usata da altri matematici.
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89
Storia dei numeri decimali
• 1 e 3/5 diventa 1 e 6/10
che Stevino scrive 1(int) 6(dec)
• 2 e 3/4 diventa 2 e 75/100
che Stevino scrive 2(int) 7(dec) 5(cent)
• 2 e 1/3 diventa 2 e 3/10 e 3/100 e 3/1000…….
che Stevino scrive 2(int) 3(dec) 3(cent) 3(mil)…..
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Storia dei numeri decimali
Stevino in una successiva edizione de “LA
DISME” rese le sue notazioni più efficienti:
• 6 e 35/100 : 6(0) 3(1) 5(2)
• ….ed infine in poche decine di anni si arrivò a
notazioni simili alle nostre:
• 6 e 35/100: 6,35
• (nei Paesi Anglosassoni si scrive 6.35)
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Storia dei numeri decimali
• 100 a.C.-300 d.C
I Cinesi usano il sistema di numerazione
decimale.
• Va ricordato che il matematico arabo AlUglidisi nell’opera Capitoli sull’aritmetica
indiana, scritta a Damasco nel 952-53 d.C.,
aveva già parlato dei numeri decimali
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I numeri con la virgola
NUMERI
DECIMALI FINITI
la parte a destra della
virgola è un numero
formato da un numero
finito di cifre (3,5; 0,632;
45,2578; ecc.)
NUMERI DECIMALI
ILLIMITATI
la parte a destra della
virgola è un numero formato
da un numero infinito di
cifre ( 8,97351....; π ; ecc )
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I numeri illimitati
PERIODICI
NON PERIODICI
un gruppo di cifre della
parte decimale si ripete
indefinitamente
3,212121... ; 5,8277777...
π , le radici ennesime dei
numeri che non sono
potenze ennesime, ecc
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