UN MONDO DI PROBLEMI,
MA … MATEMATICI
• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi
matematici
19 novembre 2013
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2013
1
Pen, pentagono bizzarro
di C. Colombo Bozzolo
Questo problema, pur nell’unità dell’argomento, presenta la possibilità di
adattare il testo e le richieste alle capacità degli alunni. Per questo motivo
alcune parti del testo hanno due versioni diverse
Il Signor Pen, pentagono bizzarro, non sta mai fermo: cammina, corre, si rotola fa le
capriole e produce, con il suo movimento bellissime pavimentazioni. In fig. 1 vedi la
“fotografia” del Signor Pen e nelle figure 5, 6, 7, 8 che si trovano nella diapositiva
successiva, vedi alcuni disegni nati dal “movimento del suo vestito”
Approfittiamo di un momento in cui il
Signor Pen sta riposando per fare la
conoscenza del suo abito (fig.2)
Fig.1
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2
Pavimentazioni
Ecco le bellissime pavimentazioni ottenute dal Signor Pen con i suoi movimenti.
Osservale bene e metti in evidenza, usando i colori, la parte centrale di ognuna.
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3
Pavimentazioni
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4
Il Signor Pen, pentagono bizzarro
Osserva i lati:
ABCD è un pentagono equilatero
ABCD è un poligono concavo o convesso?............
I lati AB e CD sono congruenti e ……………….
I lati AB e AE sono congruenti e ……………….
Ogni lato è lungo…………….., il perimetro è……………….
Osserva gli angoli interni: devi dire se sono concavi
o convessi. Tra i convessi devi precisare quali sono
retti, quali acuti e quali ottusi.
L’angolo di vertice D è ………….
gli altri quattro sono …………..
A è ……………………
B è ……………………
C è ……………………
E è ……………………
Fig.2
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5
Risposte
Osserva i lati:
ABCD è un pentagono equilatero
ABCD è un poligono concavo o convesso?............
I lati AB e CD sono congruenti e paralleli
I lati AB e AE sono congruenti e perpendicolari
Ogni lato è lungo 3cm, il perimetro è 15cm
Osserva gli angoli interni: devi dire se sono concavi
o convessi. Tra i convessi devi precisare quali sono
retti, quali acuti e quali ottusi.
L’angolo di vertice D è concavo
gli altri quattro sono convessi
A è retto
B è ottuso
C è acuto
E è acuto
Fig.2
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6
Il Signor Pen, pentagono bizzarro
Approfondiamo la conoscenza degli angoli interni
Prendi il goniometro, misura l’ampiezza di ogni angolo
interno in gradi e compila la tabella
angoli
ampiezze
in gradi
A
B
C
D
E
….
….
….
….
….
Calcola la somma
delle ampiezze
trovate
…….
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Risposte
angoli
ampiezze
in gradi
A
B
C
D
E
90
150
30
210
60
Calcola la somma
delle ampiezze
trovate
540
Controlla se hai usato bene il goniometro ricordando
come si trova la somma degli angoli interni di un
poligono.
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8
Angoli interni di poligoni convessi
Esempio esagono
Per calcolare la somma delle ampiezze degli angoli interni posso dividere il poligono in triangoli
partendo da un punto interno qualunque
partendo da un vertice
180° x 6= 1080°
180° x 4= 720°
Evidentemente i due risultati devono essere uguali. Che cosa si deve modificare per ottenere lo
stesso risultato da tutti e due i disegni?
180° x 6 – 180° x 2 = 720°
In generale: se n è il numero dei lati la somma delle ampiezze degli angoli interni è uguale a:
n angoli piatti – 2 angoli piatti = (n -2) angoli piatti
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9
Angoli interni di poligoni concavi
La regola generale per i poligoni convessi vale anche per quelli concavi?
Esempio pentagono (a.p. significa angolo piatto)
5 a.p. – 2 a.p.= 3 a.p.
3 a.p.
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10
Il Signor Pen, pentagono bizzarro
Osserva attentamente l’abito del Signor Pen e cerca
di scoprire come costruirlo facilmente usando riga,
squadra e compasso.
Congiungi A con D.
Il triangolo ADE ha: EA=ED
quindi è un triangolo ………..
Ma ADE è un triangolo isoscele speciale,
esso è ……………
Come hai fatto a scoprirlo?.........
Di conseguenza il lato AD è uguale a
ciascuno dei lati del pentagono.
Il quadrilatero ABCD è quindi un ………..
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11
Risposte
Osserva attentamente l’abito del Signor Pen e cerca di
scoprire come costruirlo facilmente usando riga, squadra
e compasso.
Congiungi A con D.
Il triangolo ADE ha: EA=ED
quindi è un triangolo isoscele
Ma ADE è un triangolo isoscele speciale,
esso è equilatero
Come hai fatto a scoprirlo?
Nel triangolo AED l’angolo AED è AMPIO
60°, poiché i lati EA e ED sono congruenti
anche gli angoli opposti a lati congruenti
sono congruenti e quindi sono ampi 60°, il
triangolo è equilatero.
Di conseguenza il lato AD è uguale a
ciascuno dei lati del pentagono.
Il quadrilatero ABCD è quindi un rombo..
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12
Il Signor Pen, pentagono bizzarro
Ora sei in grado di calcolare l’area del
pentagono ABCDE, usando le formule
che conosci per il calcolo dell’area del
triangolo e quella del rombo.
Usa la figura che hai disegnato su carta
centimetrata.
Abbiamo ingrandito il disegno tracciando
il lato
AE = 4cm
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13
Il Signor Pen, pentagono bizzarro
Per calcolare l’area del rombo hai già tutti i
dati (assumi come lato base per il rombo CD
e disegna la relativa altezza, mentre per
calcolare l’area del triangolo ti manca …
qualcosa.
Disegna e poi misura quello che ti manca.
Scrivi i dati del problema.
……………………………..
…………………………….
Calcola l’area del pentagono.
………………………………………
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14
Risposte
Per calcolare l’area del rombo hai già tutti i
dati (assumi come lato base per il rombo CD
e disegna la relativa altezza, mentre per
calcolare l’area del triangolo ti manca …
qualcosa.
Disegna e poi misura quello che ti manca.
Scrivi i dati del problema.
AB= 4cm
BR= 2cm
AE= 4cm
HD
3,4cm
Calcola l’area del pentagono.
A(ABCDE)
14,8cm2
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Percorso relativo agli angoli seguito con alunni medio – alti
Approfondiamo la conoscenza degli angoli interni del pentagono osservando la
parte centrale delle figg. 5,6.
Osserva bene la figura.
Nel vertice C convergono
……. angoli …..
Ciascuno di questi angoli è quindi
ampio…… perciò
C
D
E
B
A
l’angolo di vertice C del
pentagono è ampio….
La pavimentazione a fianco è stata ottenuta
dall’applicazione successiva di una
rotazione del pentagono ABCDE attorno al
vertice C.
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16
Osserva bene la figura.
Nel vertice E convergono
……. angoli …..
E
Ciascuno di questi angoli è quindi
ampio…… perciò
l’angolo di vertice E del
pentagono è ampio….
La pavimentazione considerata è stata ottenuta dall’applicazione
successiva di una rotazione del pentagono ABCDE attorno al vertice E.
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17
Ora puoi conoscere anche le ampiezze degli
angoli di vertici B e D del pentagono.
Ampiezza di B =
angoli
ampiezze
in gradi
A
B
C
D
E
….
….
….
….
….
Ampiezza di D =
Completa la tabella e fcalvola la
somma delle ampiezze trovate
Somma delle
ampiezze trovate
…….
Verifica con il goniometro se le ampiezze degli angoli interni del pentagono
sono “giuste”.
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18
L’angolo di vertice A è retto, quindi ora conosci
l’ampiezza di tre angoli del pentagono.
Ti aiutiamo con la fig.3 a determinare l’ampiezza dei
rimanenti due angoli di vertici D e B.
Congiungi A con D.
Il triangolo ADE ha: EA = ED
quindi è un triangolo …………..
Ma ha anche E=60° quindi è un triangolo
isoscele speciale, esso è ………
Di conseguenza il lato AD è uguale a ciascuno
dei lati del pentagono.
Il quadrilatero ABCD è quindi un …….
Gli angoli acuti del rombo sono ampi …….
ciascuno.
Perciò i due angoli opposti ottusi del rombo
sono ampi ciascuno……
Scrivi i calcoli che fai: …………..
Fig, 3
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19
Calcola l’area del pentagono ABCDE.
Fai riferimento alla fig.4, puoi
modificare tale figura nel modo che ti
sembra più conveniente per calcolare
più facilmente l’area. Con l’uso della
riga graduata trova i dati che ti
mancano
Fig.4
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20
Alcune tecniche adottate dagli alunni
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21
I DODECAGONI SIMILI
Vedi riprodotta la fig.8 di pag.4
In essa abbiamo segnato in neretto il contorno
di quattro dodecagoni che indichiamo dal più
piccolo al più grande con D1, D2, D3, D4.
Sono poligoni regolari?................
Perché?........................
Questi dodecagoni si corrispondono in una
ometetia. Segna il centro di tale omotetia.
Sia
l
la lunghezza del lato di D1.
La lunghezza del lato di
D2 è …………………
D3 è …………………
D4 è …………………
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22
I DODECAGONI SIMILI
Calcola ora le aree dei quattro dodecagoni.
Assumi come unità di misura l’area del vestito del Signor Pen che indicherai con p:
Area di D1 = 12p
Area di D2 = ……
Area di D3 = ……
Area di D4 = ……
Dal confronto dei risultati ottenuti si farà notare che nell’omotetia considerata
- i rapporti tra le misure delle lunghezze di D2, D3, D4 con quelle corrispondenti
di D1 sono 2, 3, 4.
- i rapporti tra le aree sempre delle stesse figure sono 4, 9, 16 cioè 22, 32, 42.
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Il Signor Pen davanti allo specchio
Il Signor Pen è abbastanza ambizioso e spesso si gira e rigira davanti
allo specchio. In questo momento gira le spalle allo specchio: disegna
la sua immagine.
s
Fig.9
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24
Prendi il foglio che ha per titolo “I pentagoni da ritagliare”.
Nei rettangoli di sinistra vedi una coppia formata da due vestiti del Signor Pen, nei
rettangoli di destra sono rappresentati un vestito del Signor Pen e la sua immagine
(che prima hai disegnato allo specchio)
a) Ritaglia con attenzione ogni coppia di pentagoni.
b) Forma nuovi poligoni incollando su un foglio le coppie di pentagoni: uniscili lungo il
lato segnato con la stessa lettera (per es. per la prima coppia fai coincidere g con g’).
in due casi (quando fai coincidere r con r’ e v con v’) troverai delle difficoltà; discutine
con l’insegnante o con i compagni.
Escludi questi due poligoni quando rispondi alle domande che seguono.
Dovrai prendere in considerazione solo otto poligoni: dai loro un nome usando una
lettera in stampato maiuscolo.
c) Vicino ad ogni poligono devi scrivere:
1) Il suo nome rispetto al numero dei lati
2) Se ha l’asse di simmetria
3) Se ha il centro di simmetria
4) I poligoni trovati sono equiestesi?............. Perché?.............................................
5) I poligoni trovati sono isoperimetrici?............. Perché?..........................
6) Calcola la misura del perimetro in centimetri e quella dell’area in centimetri
quadrati di uno degli otto poligoni costruiti.
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25
Qui sotto vedi ridisegnato uno dei pentagoni che hai ritagliato. Il suo
lato è lungo 2,4cm. Puoi usare questa figura per misurare ciò che ti
manca.
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Pentagoni da ritagliare
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27
Pentagoni da ritagliare
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Pentagoni da ritagliare
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30
Nelle figure B, D, F, L, T è segnato l’asse di simmetria,
nelle altre cinque è segnato il centro di simmetria.
Come si vede i poligoni F e T hanno parti sovrapposte
quindi non li prendiamo in considerazione
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31
I poligoni
A, C, E, L, P sono ottagoni concavi
B, D sono ettagoni, perchè due degli angoli che vengono posti consecutivi sono retti, quindi i
loro lati opposti sono allineati e formano, nella figura, un solo lato
H è un esagono perché gli angoli di entrambe le coppie che vengono poste consecutive sono
supplementari, ossia hanno per somma un angolo piatto, quindi due coppie di lati sono allineati.
Nonostante la diversità nel numero dei lati, i poligoni ottenuti sono isoperimetrici, perché
nell’accostamento dei due pentagoni diventano interni alla figura sempre due lati congruenti;
sono equiestesi, perché formati tutti con due pentagoni congruenti.
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32
Angoli esterni di poligoni convessi
Di solito si definisce angolo esterno di un poligono convesso l’angolo
adiacente a ciascuno degli angoli interni.
Si invitano gli alunni, eventualmente suddivisi in piccoli gruppi, a tracciare in ogni
poligono gli angoli esterni, a “strappare” il modello in carta del poligono in modo da
“separarne” i singoli angoli esterni e, infine, a accostare tutti gli angoli esterni in
modo da fare coincidere i loro vertici e da non lasciare “spazio” tra il lati dei vari
angoli. A meno di imprecisioni legati alle operazioni concrete, gli allievi dovrebbero
riuscire a ricostruire un angolo giro
Gli angoli si considerano orientati
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33
ANGOLI ESTERNI del vestito di Pen
La somma degli angoli esterni è ancora un angolo giro?
La somma delle ampiezze degli angoli esterni
dati dal cambiamento di direzione supera
l’angolo giro.
90° + 30° + 150° + 30°+ 120° = 420°
Gli alunni, guidati dall’insegnante, notano che vi
è un angolo di 30°percorso in verso orario e uno
di 30° percorso in verso antiorario che, nella
somma, si annullano, per cui alla fine la somma
delle ampiezze degli angoli esterni è sempre
un angolo giro.
90° + 30° + 150° - 30°+ 120° = 360°
Nasce la necessità di verificare se questo capita
per ogni poligono concavo ordinario (cioè non
intrecciato) anche quando non vi sono due
ampiezze angolari che si annullano.
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34
Angoli esterni di poligoni concavi
Una maggiore difficoltà si incontra nella determinazione della somma delle ampiezze
degli angoli esterni di un poligono concavo.
Infatti, se si addizionano le ampiezze di tali angoli senza tenere conto del loro
orientamento, si ottiene un risultato maggiore dell’angolo giro, nonostante la percorrenza
del contorno del poligono porti ad affermare che il numero di cambiamenti di direzione è
tale da aver fatto percorrere un giro completo, come nel caso dei poligoni convessi.
62° + 59° + 77° + 123° + 101°+ 140° = 562°
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35
Angoli esterni di poligoni concavi
L’eccesso rispetto all’angolo giro è dovuto al fatto che alcuni angoli al contorno sono
orientati in senso orario e altri in senso antiorario, come è evidenziato nella seguente
figura, nella quale di ogni angoli sono riportate le ampiezze assolute
L’angolo di vertice E è ampio 101° ed è
ottenuto con un cambiamento di direzione
in senso antiorario. Esso si annulla, per
esempio, con la parte ampia 101° in
senso orario che descrive l’angolo di
vertice F, per cui la somma delle
ampiezze rimanenti è 360°.
39°
62° + 59° + 77° + 123° -101° + 39° +101° = 360°.
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36
I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO
(da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.168)
Sandra ha un cartoncino rosso rettangolare i cui lati
consecutivi sono lunghi 22cm e 11cm.
Da esso vuol ritagliare dei bigliettini segnaposto rettangolari i
cui lati consecutivi siano lunghi 5cm e 3cm.
Quanti bigliettini segnaposto, al massimo, Sandra può ottenere
dal cartoncino rosso?
Qual è l’area della parte di cartoncino che avanza?
o Rispondi alle domande e spiega il procedimento che hai seguito.
………………………………………………………………………………
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37
Nel disegno è rappresentato il cartoncino in scala, in modo che ad ogni quadretto
corrisponde 1cm2. Mostra come devono essere disposti i bigliettini segnaposto che
Sandra può ricavare.
Se hai bisogno di fare più tentativi utilizza un foglio con la stessa quadrettatura.
Sei riuscito a rappresentare nel cartoncino il numero massimo di bigliettini che avevi
calcolato? ………………………………………………….
Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno e discutine con l’insegnante.
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38
I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO
Sandra ha anche un cartoncino giallo rettangolare i cui lati
consecutivi sono lunghi 22cm e 11cm. Da esso vuole ricavare il
massimo numero di bigliettini segnaposto di forma rettangolare e
con i lati consecutivi lunghi 6cm e 4cm.
Quanti bigliettini segnaposto, al massimo, Sandra può ottenere dal
cartoncino giallo?
Qual è l’area della parte di cartoncino che avanza?
* Rispondi alle domande e spiega il procedimento che hai seguito.
………………………………………………………………………………………
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39
Nel disegno è rappresentato il cartoncino in scala, in modo che ad ogni quadretto
corrisponde 1cm2. Mostra come devono essere disposti i bigliettini segnaposto che
Sandra può ricavare.
Se hai bisogno di fare più tentativi utilizza un foglio con la stessa quadrettatura.
Sei riuscito a rappresentare nel cartoncino il numero massimo di bigliettini che avevi
calcolato? ………………………………………………….
Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno e discutine con l’insegnante.
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40
I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
Il problema si presta a significativi confronti tra le strategie risolutive adottate
dagli alunni, strategie che possono condizionare la soluzione. Entrambe la parti
di cui si compone il problema possono essere risolte aritmeticamente, operando
sulle misure, in centimetri quadrati, delle aree dei rettangoli
-area del cartoncino rosso: 22  11 = 242
-area bigliettino segnaposto: 5  3 = 15
-numero bigliettini: 242  15 = 16 con resto 2
-area bigliettino segnaposto: 6  4 = 24
-numero bigliettini: 242  24 = 10 con resto 2
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41
I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO
Il problema maggiore consiste nel disporre il numero di bigliettini,
ricavato aritmeticamente, nel cartoncino: la divisione dà il numero
massimo di bigliettini ottenibili dal cartoncino, ma non è detto che tale
numero possa essere concretamente ricavato, dato che si deve tenere
conto non solo dell’area, ma anche della forma e delle lunghezze dei
lati dei bigliettini. Si suggerisce di prevedere la possibilità che gli alunni
lavorino anche manipolativamente, oltre che graficamente.
Gli alunni in genere tendono a sistemare i bigliettini con lo stesso
orientamento nel rettangolo più grande, ma in tal modo non si riescono
a ottenere i bigliettini calcolati.
Nella prima parte della scheda 43a, alcuni tentativi errati possono
essere quelli di seguito rappresentati in scala:
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42
I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO
Bigliettini ottenuti : 12
Area della parte di cartoncino avanzato: 62cm2
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43
I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO
Bigliettini ottenuti : 14
Area della parte di cartoncino avanzato: 32cm2
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44
I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO
Bigliettini ottenuti : 15
Area della parte di cartoncino avanzato: 17cm2
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45
Sono possibili diverse disposizioni del numero massimo di bigliettini; per ottenerle, spesso
gli alunni riformulano il problema: tentano di ricoprire il più possibile la metà del cartoncino,
poi “ripetono” la disposizione nella seconda metà. Tale “ripetizione” avviene con l’uso, più o
meno esplicitamente verbalizzato, di diverse isometrie, come mostrano i seguenti disegni in
scala:
Bigliettini ottenuti : 16
Area della parte di cartoncino avanzato: 2cm2
Il rettangolo
principale è diviso
in due parti
congruenti dal
segmento più
marcato; la
disposizione dei
rettangoli più
piccoli in una
parte è la traslata
di quella nell’altra
parte.
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46
In questo caso la disposizione dei bigliettini in una parte è simmetrica,
rispetto alla retta del segmento evidenziato, di quella nell’altra parte.
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47
O
.
In questo caso la disposizione dei bigliettini è invariante rispetto alla
simmetria centrale (o rotazione di 180°) di centro O.
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48
Osserviamo che…
In ognuna delle disposizioni, otto rettangoli sono disposti con orientamento
5  3 e otto con orientamento 3  5. Infatti, confrontando le misure, in
centimetri delle lunghezze dei lati dei due tipi di rettangoli si ha:
11 = (3  2) + 5
quindi sul lato lungo 11cm possono essere appoggiati,
senza resto, due rettangoli con il lato lungo 3cm e un
rettangolo con il lato lungo 5cm
22 = (3  4) + (5  2)
quindi sul lato lungo 22cm possono essere
appoggiati, senza resto, quattro rettangoli con il
lato lungo 3cm e due rettangoli con il lato lungo
5cm.
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49
Nella seconda parte del problema nella scheda 43a, la situazione si complica perché il
calcolo non dà il numero di cartoncini effettivamente contenuti nel rettangolo.
Infatti il numero 11 non può essere ottenuto con gli addendi 6 e 4, mentre per il 22 si
hanno due possibilità:
(4  4 ) + 6 = 22 oppure (6  3) + 4 = 22
Bigliettini ottenuti : 9
Area della parte di cartoncino avanzato: 26 cm2.
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50
Una cucina da piastrellare
di C. Colombo Bozzolo
Piastrella da 225 cm2
Cucina da
13,50 m2
Risoluzione
Si può presumere che l’autore avrebbe voluto
che gli alunni lo risolvessero così:
13,50m2 = 135 000 cm2
135 000 : 225 = 600
numero di piastrelle
necessarie per piastrellare la cucina
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51
Discussione
Per poter ricoprire un rettangolo con quadrati dobbiamo conoscere sia le
dimensioni del rettangolo sia il lato del quadrato.
Ora dall’area della piastrella di 225cm2, si deduce che il lato della stessa è di
15cm.
Resta il problema di conoscere le dimensioni del pavimento che non sono
univocamente determinate dall’area:
•Ma una cucina potrebbe essere lunga e non troppo larga; le dimensioni
potrebbero essere
5m x 2,70m:
N.B.: questi numeri non sono gli unici ad avere come prodotto 13,50 ma,
come dimensioni per una cucina sono i più idonei.
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Discussione
Se le misure in centimetri delle lunghezze dei lati del pavimento sono
300 e 450 le 600 piastrelle ci stanno bene però, per trovare questo
numero non dovrei fare la divisione indicata all’inizio del problema ma
“schierare” le piastrelle lungo un lato (es: 450 : 15 = 30 e calcolare con
la divisione 300 : 15 = 20 quante righe da 30 piastrelle si possono fare)
quindi l’operazione
30 x 20 = 600
Dà il numero di piastrelle necessario.
Il disegno aiuta a vedere la situazione
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Discussione
Ripercorrendo l’iter seguito per le altre due misure vediamo che per coprire il
lato di 500cm si possono mettere 33 piastrelle intere; restano però scoperti 5cm
che corrispondono a 1/3 del lato di una piastrella.
Bisogna rompere una piastrella in 3 parti uguali: facile no?
Poiché 270 è divisibile per 15 (270 : 15 = 18) si posso formare 18 righe da 33
piastrelle intere e 1/3 di piastrella.
È evidente che, siccome 18 volte 1/3 di piastrella corrisponde a 6 piastrelle
intere, le piastrelle necessarie sono ancora, in apparenza,
(33 x 18) + 6 = 594 + 6 = 600
Ma la situazione è molto diversa.
Per ottenere 1/3 di piastrella devo “rompere” una piastrella in tre parti uguali:
siamo sicuri che nel rompere non succedano guai tali da rendere necessario
l’uso di un maggior numero di piastrelle?...
Risolvere questo problema con una semplice divisione è molto riduttivo,
significa fare dell’aritmetica ma non della geometria.
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