Integrale di Riemann
Una versione semplificata per non
indulgere troppo alla teoria
Premesse
• Sia C([a,b]) la classe delle funzioni continue su
[a,b]
• Sia Пδ una partizione di [a,b], δ il suo diametro
• Sia F={ci, i=1,2,…,n, ci appartenente a (xi+1,xi)}
una famiglia di rappresentanti della partizione
• Sia infine f una funzione appartenente a C([a,b])
Somma integrale
n
S   f (ci )  ( xi 1  xi )
i 1
• Fissato δ si possono costruire infinite
partizioni e, fissata una di queste si possono
costruire infinite somme integrali (una per
ogni scelta dei rapprentanti)
• Quindi la legge che a δ associa le somme è
una funzione plurivoca (o multifunzione)
Limite di una multifunzione
lim S  l ,    l  ,
 0
  >0    0 tale che
 S :     S  l  
se
Definizione di Integrale di
Riemann
Si dice Integrale di Riemann definito su [a,b]
il
lim S
 0
se tale limite esiste finito. Esso si denota
con il simbolo
b

a
f ( x)dx
Una classe di f.ni integrabili
Se f appartiene alla classe delle funzioni continue su un
intervallo chiuso [a,b],
ALLORA
f è integrabile secondo Riemann
Definizione di Area
S  {( x, y) 
2
: a  x  b, 0  y  f ( x)}
Si chiama area di S il numero:
b
Area ( S )   f ( x)dx
a
Interpretazione geometrica
• Area(S)=I(f) se f è positiva
• Area(S)=I(-f)=Area(S’) se f è negativa
• Area(S)=Area(S+)+Area(S-) se f è positiva
e negativa
Esempio
f (ci )  k  i  1,..., n
f ( x)  k in [a, b]
n
n
i 1
i 1
S   f (ci )  ( xi 1  xi )   k  ( xi 1  xi )
n
 k  ( xi 1  xi )  k (b  a)
i 1
b
k (b  a )  k (b  a )
 k dx  lim

a
0
Proprietà fondamentali
b
c
b
 f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx
a
a
c : a  c  b
c
b
b
b
a
a
a
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x) dx   g ( x) dx
b
b
a
a
 kf ( x) dx  k  f ( x) dx
b
b
a
a
f  g in [a, b]   f ( x) dx   g ( x) dx
Teorema della media integrale
m  f  M in [a, b] 
b
m(b  a)   f ( x) dx  M (b  a)
a
f  C ([a, b] )   c  (a, b) t.c.
b
 f ( x) dx  f (c)  (b  a)
a
Funzione integrale
• Data f appartenente a C([a,b]) e un punto x di
[a,b], si può considerare la funzione:
x
F ( x) 

a
f (t )dt
Teorema fondamentale del Calcolo
integrale
f  C 0 ([a, b])  F  C1 ([a, b]) ed inoltre
d
F ( x)  f ( x)
dx
ossia F(x) è una primitiva di f(x)
Conseguenza fondamentale
• Se f è continua in [a,b] e G è una qualsiasi
primitiva di f allora
b

a
f ( x)dx  G(b)  G(a)
Integrale indefinito
• Si dice integrale indefinito di f l’insieme di
tutte le primitive di f e si indica col simbolo

f ( x)dx
Allora se G è una primitiva di f si avrà

f ( x)dx  G( x)  k
Esempi

1
dx  arctan x  c
 1 x
1
x dx 
x  c ( x  0,   1)

 1
1
dx  log x  c ( x  0)
x
e dx  e  c
x
x
2

 1
Un Corollario
• Se F(x) e G(x) sono due primitive di f(x), esse
differiscono per una costante, ossia
 c  R :  x  [ a, b]
F ( x)  G ( x)  c