S.I.S.S.I.S. 2003/2004
Laboratorio di ANALISI
L’integrale definito
Prof. F. Spagnolo
Di Paola Benedetto (Indirizzo 2 Classe 47A)
Tumbarello Valentina (Indirizzo 2 Classe 49A)
Raspanti Francesco (Indirizzo 2 Classe 49A)
Indice
 Analisi storica-epistemologica
 Analisi a priori di una situazione/problema sul concetto di
Integrale
 Situazione adidattica sul concetto di integrale
Il segno
Il segno  che è una
deformazione della
lettera S, iniziale della
parola latina
“Summa”, fu proposto
da Leibniz nel 1675;
Per tutto il secolo
Analisi storica-epistemologica
XVIII vari autori
usarono comunque il
La notazione b
segno S.
Sia il termine e la notazione di
La notazione: a
integrale superiore:
fu proposta da Fourier nel
 f ( x)dx
1822.
che il termine e la notazione di
I personaggi più importanti nella
integrale inferiore:  f ( x)dx
storia dell’integrale definito
furono introdotti da
Volterra nel 1881.
La denominazione particolare
La denominazione di
Il nome
integrale definito e
Il nome di integrale si trova
indefinito si trovano in
per la prima volta in uno scritto
Lacroix nel 1900.
di Giacomo Bernoulli del 1690
b
a
b
a
Il problema che storicamente, per primo, portò all'istituzione del calcolo degli integrali definiti fu
quello di determinare l'area delle superfici piane delimitate da contorni curvilinei.
Mentre le origini del calcolo differenziale si possono riconoscere negli studi del XVII secolo
intorno ai problemi della tangente ad una curva, della velocità di un punto mobile e dei massimi e
minimi delle funzioni, per rintracciare quelle del calcolo integrale bisogna risalire fino ai
geometri greci, i quali, nella risoluzione del problema delle aree e dei volumi seppero ottenere
risultati ammirevoli, specialmente per opera di Eudosso di Cnido e di Archimede.
 Nelle opere di Archimede (287 a.C.-212 a.C.) le dimostrazioni, soprattutto quelle relative al
calcolo di aree e di volumi, erano condotte con un particolare metodo: il metodo di esaustione.
Questo particolare metodo porta all’<<esaurimento>> di una figura geometrica, che viene ad
essere riempita da un numero sempre più grande di figure di area elementare, come triangoli o
rettangoli: con approssimazioni successive, si riesce a “riempire” la figura, riuscendo
geometricamente a “ricoprirla” tutta.
Logicamente, il metodo considerato non era un metodo generale in quanto era usato caso per
caso.
La dimostrazione per esaustione non è di tipo costruttivo, ma indiretto.
Nel suo trattato, Archimede pensa ogni superficie come composta, riempita, da tante rette
parallele ad una data direzione. Le superfici e i volumi sono così pensati come somma di tanti
elementi infinitamente piccoli.
Le linee e le superfici, con cui Archimede riempie le superfici e i volumi considerati,
corrisponderanno successivamente a quegli indivisibili sui quali Cavalieri, nel secolo XVII,
costruirà la sua geometria.
 Per ritrovare lo spirito dei procedimenti archimedei, occorre giungere sino al Rinascimento, e
precisamente fino a Tartaglia, Maurolico, Commandino e Luca Valerio.
 Keplero (1571-1630).
L'area di un cerchio è per Keplero quella di un numero infinito di triangoli aventi un vertice nel
centro e base sulla circonferenza. Essenza del suo metodo è nell'identificazione delle aree
curvilinee e dei volumi con la somma di un numero infinito di elementi infinitesimi della stessa
dimensione. Una linea e un'area infinitesima sono per lui la stessa cosa, e un'area è una somma di
linee.
 Galilei (1564-1642) concepisce le aree in modo simile a Keplero. Trattando il problema del
moto uniformemente accelerato, espone un ragionamento geometrico che serve a dimostrare
come l'area compresa sotto la curva che dà la velocità in funzione del tempo sia uguale allo
spazio percorso.
 Per il calcolo delle aree e dei volumi, Bonaventura Cavalieri (1598-1647) introduce in
geometria gli indivisibili. Egli considera un'area come costituita da un numero indefinito di
segmenti paralleli equidistanti e un volume come composto da un numero indefinito di aree piane
parallele; questi elementi sono detti rispettivamente indivisibili di area e di volume. Cavalieri si
rende conto che il numero di indivisibili che costituiscono un'area o un volume deve essere
indefinitamente grande, ma non cerca di approfondire questo fatto. Egli dimostra con
procedimento completamente geometrico (modificando il metodo greco di esaustione) che, nella
nostra notazione:
a

0
a n1
per n=1,……..,9
x dx 
n 1
n
Consideriamo un esempio:
Supponiamo di voler calcolare l’area compresa sotto la
parabola y= x2 da x= 0 a x= B.
Mentre il metodo di esaustione usava diversi tipi di figure
rettilinee approssimanti, dipendenti dall’area curvilinea in
questione, in questo caso si adotta una procedura che
permetta di usare solamente rettangoli come quelli disegnati
nella figura accanto.
Quando la larghezza d di questi rettangoli diventa piccola, la somma delle aree dei rettangoli si
avvicina all’area compresa sotto la curva.
Nel caso della parabola questa somma è d  d 2  d (2d )2  d (3d )2 ...d (nd )2
cioè d 3 (1  22  32 ...n2 )
utilizzando il calcolo di Pascal e di Fermat sulla somma delle potenze n-esime si ottiene
d3(
2n 3  3n 2  n )
6
Ma d = OB/n allora OB3(
1 1
1

 2)
3 2n 6n
Si trascuravano gli ultimi due termini all’aumentare di n (sebbene il procedimento di passaggio al
limite non era stato ancora introdotto) e si ritrovava, quindi, la formula risolutiva per l’area.
I metodi usati fino a quel periodo erano però laboriosi: ogni nuovo problema di quadratura
esigeva la scoperta di un nuovo artificio. Questa modo di procedere doveva, quindi, ben presto
arrestarsi di fronte alle difficoltà algoritmiche inerenti all’ integrazione di nuove funzioni.
 Torricelli (1608-1647) attraverso riflessioni cinematiche, oltre a pervenire al concetto di
integrale indefinito percepisce la stretta relazione esistente tra il problema della quadratura e
quello delle tangenti.
Imitando il ragionamento fatto da Galilei, rappresentando in un primo diagramma la velocità in
funzione del tempo, stabilisce che lo spazio s descritto dal punto mobile tra gli istanti t1 e t2 è
dato dall’area compresa tra la curva, l’asse t e le ordinate dei punti t1 e t2 , cioè con la nostra
notazione
s
t2
 vdt
t1
Costruendo un secondo diagramma per rappresentare lo spazio s in funzione del tempo t, con
considerazioni di natura cinematica (principio di composizione dei moti) e geometrica, dimostra
con la nostra notazione che:
ds
v  dt
Torricelli, pur ragionando su curve particolari, ha il merito di aver visto il carattere inverso delle
due operazioni: quadratura (o integrazione) che dà lo spazio, nota la velocità, costruzione di
tangente (o derivazione) che dà la velocità, noto lo spazio.
 Il teorema fondamentale del calcolo fu riscoperto una ventina di anni dopo da Barrow
(1630-1677).
Data una curva y=f(x) crescente. Barrow ne costruisce una seconda Y=F(x) che con la nostra
scrittura
è Y 
x
 ydx
e dimostra, attraverso la determinazione di tangenti alla seconda curva che
0
(secondo la moderna notazione)
dY
dx  y
Anche Barrow però (come vent’anni prima Torricelli) non sa trarre da questo fondamentale
teorema tutte le conseguenze in esso racchiuse, perché non può sostituire all’ente geometrico
tangente l’ente analitico corrispondente derivata.
 Newton (1642-1727) sviluppa i primi elementi fondamentali del suo calcolo. Dopo aver
trattato delle serie di potenze e di alcune operazioni su di esse, espone gli elementi fondamentali
del suo calcolo infinitesimale, mostrando la relazione inversa tra derivazione e integrazione,
punto centrale della moderna analisi.
 Leibniz (1646-1716) scopre il suo calcolo, in tutto simile a quello di Newton, tra il 1673 e il
1676, a Parigi. La quadratura, cioè il calcolo dell’area, dipende dalla somma delle ordinate
moltiplicate per tratti infinitesimi di ascissa, ovvero dalle aree di rettangoli infinitamente sottili.
Stabilisce che la quadratura e la determinazione della tangente stanno in un rapporto inverso
(rapporto già visto in forma meno chiara da Torricelli e Barrow). In lui il segno d’integrale
appare nella forma attuale: che ricorda che un’area è la somma di rettangoli infinitesimi: il
simbolo è l’ingrandimento della lettera s che indica, appunto, la somma.
 Il legame tra derivata e integrale fece passare in secondo piano il problema delle quadrature,
conferendo maggiore importanza alla ricerca dei cosiddetti integrali indefiniti e lo sviluppo di
tale ricerca occupò i matematici nel XVIII secolo. Fra coloro che diedero maggiori contributi
vanno ricordati i fratelli Bernoulli, Eulero, D’Alembert, Lagrange.
 Frattanto veniva a sentirsi sempre di più la necessità di una sistemazione critica del calcolo
integrale. Questa opera venne iniziata per merito di Cauchy (1789-1857)
Cauchy utilizza la definizione di integrale come limite di una somma e non come inverso della
derivata. In questo modo può estendere la nozione di integrabilità anche ad alcune funzioni non
continue.
Anche Fourier (1772-1837) utilizza senza difficoltà gli integrali di funzioni discontinue,
perché, come Leibniz, considera l’integrale come una somma.
Nel 1823, Cauchy dimostra l’esistenza di un integrale per ogni integrando continuo e definisce
l’integrale anche quando l’integrando ha un salto o diventa infinito.
x
Definisce poi la funzione integrale F (x)   f (x)dx e dimostra la continuità di tale funzione
x
nell’intervallo [x0,X].
0
Considerando il seguente rapporto
medio prova che F’(x)=f(x).
F ( x  h)  F ( x ) 1 x  h
  f (t )dt grazie al teorema del valor
h
h x
Questo è il teorema fondamentale del calcolo integrale e la presentazione data da Cauchy ne
costituisce la prima dimostrazione rigorosa.
Con la crescita dell’analisi, però, si manifesta la necessità di considerare integrali di funzioni che
si comportavano in maniera più irregolare.
 Nell’Ottocento, Riemann (1826-1866) generalizza la nozione d’integrale in modo da poterla
applicare a funzioni f(x) definite e limitate in un intervallo [a,b].
Il concetto di Integrale definito nei libri di testo
approccio 1
Data una funzione y = f(x) definita nell’intervallo [a,b] con a ed b finiti, si scompone l’intervallo
stesso in un numero n arbitrario e finito di intervalli parziali mediante n+1 punti.
In ciascuno degli intervallini parziali [xo,x1], [x1,x2], … , [xn-1,xn], si sceglie ad arbitrio un
punto ξi con i = 1, 2, 3… n, e si forma la somma integrale:
f(ξ1) [x1-xo]+ f(ξ2) [x2-x1]+…+ f(ξn) [xn-xn-1]
Posto [xi-xi-1]=∆xi con i = 1, 2, 3… n, la relazione precedente si può scrivere nella forma
(i=1-n)∑ f(ξi) [xi-xi-1] = (i=1-n)∑ f(ξi)∆xi la quale geometricamente rappresenta la somma delle
aree di tutti i rettangoli f(ξi) (xi-xi-1) costruiti.
Si fa crescere allora il numero n delle suddivisioni in modo che l’ampiezza massima degli
intervallini parziali ∆xi che si indica con ∆u tenda ad zero.
Si esegue la suddivisione in modo che per n che tende ad ∞, ∆u tende ad zero.
Se risulta finito il limite per ∆u che tende a 0 di ((i=1-n)∑ f(ξi)∆xi) = l, in modo indipendente dalla
suddivisione operata, allora il limite viene indicato con il nome ed il simbolo di integrale definito
tra a ed b.
In questo caso si dice che la funzione f(x) è integrabile secondo Cauchy-Riemann o
semplicemente integrabile su [a,b]
Il concetto di Integrale definito nei libri di testo
approccio 2
Un secondo approccio, alla definizione di integrale definito si può avere partendo dalla
definizione di somma inferiore e somma superiore di una funzione, relativa ad una
partizione P dell’intervallo su cui si vuole calcolare l’integrale; definendo il concetto di
Integrale Inferiore e Superiore di Riemann e così dando la definizione di integrabilità
della f(x).
Analisi a priori di una situazione/problema sul concetto di Integrale
come misura di aree.
La misura fa parte della vita quotidiana di adulti e ragazzi.
A scuola, la misura aiuta gli studenti a collegare ambiti matematici con ambiti di altre
discipline, nello sforzo di costruire strumenti interpretativi della realtà.
Per tale motivo occorre che gli studenti misurino diversi tipi di grandezze, progettando anche
esperimenti di misura per passare poi a descrivere quantitativamente i loro risultati in un
processo che dovrà portare, nella parte finale dei loro studi, a comprendere le differenze tra
la misura come procedimento pratico, tipico delle scienze sperimentali, e la misura come
teoria, tipica della Matematica, collegata a tutti i grandi nodi concettuali che l’hanno
contraddistinta storicamente e che riguardano i numeri Reali, l’Analisi e la Probabilità.
Problema1:
Calcola l’area della regione di piano delimitata
x2 y2

1
dalla seguente equazione:
4
9
Analisi a-priori
1
Supponiamo di proporre il seguente quesito ad una classe di V Liceo Scientifico dove la nozione di
integrale è stata già ampliamente discussa dall’insegnante.
Analisi a-priori4
L’analisi a-priori è uno strumento ben preciso d’investigazione ed ha una duplice valenza:
- di tipo valutativo sul comportamento degli allievi coinvolti
- di tipo disciplinare in relazione ai contenuti.
L’analisi a-priori è del tutto necessaria in questo tipo di lavoro in quanto si ha il bisogno non
soltanto di analizzare, più da vicino, il comportamento degli studenti ma anche di rendere più
oggettiva la valutazione della “situazione” proposta.
Lo scopo principale dell’analisi a-priori è quello di classificare e di riportare tutte le possibili
strategie risolutive applicate dagli studenti nel compito assegnato.
In riferimento a questo nostro lavoro quindi, nell’analisi a-priori, dovremo tentare di ritrovare
tutti i possibili metodi di risoluzione del quesito proposto, corretti e non, al fine di classificare le
strategie adottate.
Stilata l’analisi a-priori si dovrebbe somministrare il quesito ad un gruppo di studenti e quindi
confrontare i risultati ipotizzati con quelli raccolti dall’analisi sperimentale, tirando le conclusioni
finali.
4 L’espressione “analisi a-priori” venne usata per prima dalla scuola francese di Didattica delle Matematiche
di Brousseau.
Strategie ipotizzate
A1
Dopo essersi ricavato la y in funzione della x, si cimenta nel calcolo dell'Integrale ricavando in modo corretto il risultato finale
senza porsi il problema sull'intervallo di integrazione.
A2
Dopo essersi ricavato la y in funzione della x, si cimenta nel calcolo dell'Integrale non riuscendo a determinare il risultato esatto a
causa di difficoltà di calcolo. Non si pone il problema sull'intervallo di integrazione.
A3
Dopo essersi ricavato la y in funzione della x, si cimenta nel calcolo dell'Integrale ma nota la mancanza dell'intervallo di
integrazione.
A4
Riconosce che l'equazione data rappresenta un'Ellisse, la disegna correttamente e ne calcola l'area utilizzando l'Integrale definito.
A5
Riconosce che l'equazione data rappresenta un'Ellisse, la disegna correttamente ma non riesce a calcolarne l'area per le difficoltà
incontrate nel calcolo dell'Integrale.
A6
Riconosce che l'equazione data rappresenta un'Ellisse, la disegna correttamente e ne calcola l'area utilizzando la quadrettatura.
A7
Riconosce che l'equazione data rappresenta un'Ellisse, la disegna correttamente e ne calcola l'area con il metodo di esaustione
utilizzando altre figure elementari.
A8
Non riconosce le simmetrie, rispetto agli assi cartesiani, della funzione data e quindi deduce erroneamente che l'area della figura
proposta è nulla.
A9
Riconosce le simmetrie, rispetto agli assi cartesiani, che la funzione presenta; risolve correttamente il problema proposto,
seguendo o la strategia della quadrettatura o quella del calcolo dell'Integrale definito.
A10
Usa un calcolatore elettronico per disegnare la funzione proposta e calcolare l'Integrale richiesto.
Situazione a-didattica sul concetto di integrale
In una situazione a-didattica l'insegnante presenta all'allievo un gioco senza esplicitare lo
scopo didattico da raggiungere e segue lo studente passo dopo passo durante tutta l'attività
proposta.
Lo studente coinvolto, dal canto suo, assimilate le regole del gioco proposto, deve fare
appello a tutte le sue conoscenze e deve ricercare le strategie migliori che gli permetteranno
di vincere.
Presentando la nostra situazione a-didattica creata ad hoc per introdurre il concetto di
integrale e di area, si metteranno in evidenza:
1) La definizione della situazione,
2) Il ruolo dell'insegnante,
3) La descrizione delle consegne per gli allievi,
4) L’analisi delle fasi di azione, formulazione e validazione.
L'insegnante, comunicato verbalmente il messaggio, "entra" nel gioco simulando la
situazione che lo studente incontrerà.
Successivamente il ruolo del docente sarà quello di seguire gli studenti, coinvolti nel gioco, non
come protagonista ma come presentatore.
• Nella prima fase, quella di azione (gioco uno contro l'altro), l'allievo sviluppa strategie e le
mette alla prova per risolvere il problema, spinto da una sana competizione con gli "avversari".
• Nella seconda fase, quella di formulazione (gioco gruppo contro gruppo), si possono
distinguere due parti: quando gli studenti discutono fra loro nel gruppo e quando il loro
rappresentante è alla lavagna. L'allievo deve avere una capacità di espressione verbale molto
chiara.
• Nella terza fase, quella di validazione, gli studenti, ancora divisi in gruppi, sono invitati a
comunicare le proprie congetture. Quando una congettura è accettata da tutti diventa Teorema;
se il ragionamento, invece, non è corretto o le prove sono insufficienti allora si devono rifiutare
e ricercare una teoria esatta.
Per ultimo l’insegnante farà notare come tutte le strategie adottate per risolvere il compito
proposto “conducano” al concetto matematico di Integrale definito come strumento per il
calcolo esatto delle aree.
La nostra situazione a-didattica sul concetto di integrale
Siamo nel 1944, durante la seconda guerra mondiale,
in Normandia.
Un esercito ha l’esigenza di dover misurare l’area di
un laghetto recintato di acqua potabile che si trova aldilà
di un fiume non guadabile (come mostrato nella figura
accanto) per riuscire a coprirlo perfettamente e così
nasconderlo alle truppe nemiche.
Per giungere all’obiettivo prefisso l’esercito ha la
possibilità di usare qualsiasi strategia e quindi potrà
sia sfruttare al meglio le risorse belliche a disposizione
(ricordando che qualsiasi arma in dotazione può sparare
al massimo 100 colpi) che i vari strumenti rudimentali
di misurazione.
Logicamente la strategia migliore sarà quella grazie
alla quale si riuscirà ad utilizzare, per la copertura del
laghetto, quanto meno materiale possibile e dunque
risparmiare sulla spesa di fabbricazione. Quanto più
precisa è infatti la misurazione dell’area del laghetto,
tanto meno costosa sarà la realizzazione della copertura.
Supponete di trovarvi in tale situazione. Riuscite a suggerire ai soldati quale strategia sia
maggiormente conveniente per risolvere il loro problema?
Come pensereste di procedere nella risoluzione di questo problema se oltre al materiale che
l’esercito considerato ha a disposizione (cannoni, fucili, carta, matita, compasso …) potreste
usufruire di un calcolatore elettronico?
Possibili strategie:
 L’alunno potrebbe suddividere la figura proposta in tanti piccoli quadratini uguali, osservando che la riduzione delle
loro dimensioni comporta una migliore approssimazione dell’area del laghetto.
 L’alunno potrebbe lavorare in modo analogo alla strategia proposta nel punto precedente sostituendo i quadratini
con altre figure geometriche regolari.
 L’alunno potrebbe sfruttare le sue conoscenze sul calcolo delle probabilità e quindi, facendo uso di tutti i dati
forniti dal problema, determina una approssimazione dell’area del laghetto con il metodo di Monte-Carlo.
L’alunno, sfruttando le sue conoscenze in campo informatico e riuscendo a determinare le funzioni che descrivono
la figura, le elabora al calcolatore.
 L’alunno potrebbe suddividere la figura proposta in tante piccole sotto-figure e calcolare le singole aree
sommandole successivamente.
 L’alunno potrebbe calcolare l’area del recinto del laghetto (rettangolo) e successivamente sottrarre a questa le aree
non utili per il compito proposto.
Il metodo di Monte-Carlo
Spesso ci si trova di fronte a situazioni in cui si ha bisogno di conoscere la probabilità di un certo evento,
ma le variabili che lo condizionano sono troppe e non è possibile svolgere i calcoli analitici. In tali
situazioni si fa ricorso a metodi di campionamento simulato, cioè si simula la situazione nella quale si
vuole calcolare la probabilità di un certo evento. La simulazione stocastica si attua riproducendo il
meccanismo preso in esame, sostituendo alla valutazione analitica l'osservazione empirica del fenomeno
e traendo da questa le informazioni non rilevabili per via analitica. Ad esempio, la frequenza osservata di
un certo evento costituisce una valutazione della probabilità di quell’evento (a patto che il
campionamento sia stato simulato per un consistente numero di volte). Questa simulazione prende il
nome di metodo di Monte-carlo.
Il metodo di Monte-carlo fu utilizzato durante la Seconda Guerra Mondiale dagli USA. Fu applicato al
problema del bombardamento da parte degli aerei: si voleva colpire una vasta area, senza però
bombardare in modo totalmente casuale.
Nell’esempio da noi considerato, il metodo di Monte-carlo viene applicato come segue:
Supponiamo che un cannone spari tutti i colpi a disposizione a caso all’interno del rettangolo di area S
che recinta il lago di area L. Sia k il numero di colpi che cadono nel lago. La probabilità che un colpo
cada nel lago è
p= k/100 ≈ L/S
Pertanto un valore approssimato dell’area del laghetto è dato da
L≈ (Sk)/100
L’alunno, fissato un sistema di riferimento e
considerate le posizioni degli alberi, presenti
attorno al laghetto, suddivide la figura proposta
in tante piccole sotto-figure e sommando le
singole aree calcola l’area del laghetto.
Seguendo la stessa metodologia, potrebbe
anche procedere calcolando l’area del recinto
del laghetto (rettangolo) e successivamente
sottrarre a questa le aree non utili per il compito
proposto.
S.I.S.S.I.S. 2003/2004
Laboratorio di ANALISI
L’integrale definito
(fine presentazione)
Prof. F. Spagnolo
Di Paola Benedetto (Indirizzo 2 Classe 47A)
Tumbarello Valentina (Indirizzo 2 Classe 49A)
Raspanti Francesco (Indirizzo 2 Classe 49A)