Moto
Curva oraria
La curva
oraria è una
parabola
Velocità media
x(t  t )  x(t ) x
vm (t , t ) 

t
t
Occorrono due misure di
posizione un a t e una a t + Δt
Velocità istantanea
 x(t  t )  x(t )  dx
v(t )  lim[vm (t , t )]  lim 


t 0
t 0
t

 dt
Occorrono sempre due misure di
posizione un a t e una a t + dt
dx
v(t )  (t )  x(t )
dt
La velocità istantanea è
la funzione derivata
della legge oraria x(t)
del moto
Accelerazione istantanea
 v(t  t )  v(t )  dv
a (t )  lim[am (t , t )]  lim 


t 0
t 0
t

 dt
Occorrono sempre tre misure di
posizione un a t, una a t + dt e
una a t + 2dt
dv
a(t )  (t )  v(t )  x(t )
dt
L’ accelerazione
istantanea è la
funzione derivata della
velocità istantanea v(t)
del moto
Velocità media
x(t  t )  x(t ) x
vm (t , t ) 

t
t
Occorrono due misure di
posizione un a t e una a t + Δt
Inversione nel tempo Δt:
x  vm (t )t
“Inversione” della velocità
t0 , t1  t0  t , t2  t0  2t ,..., tk  t0  k t ,..., t N  t0  N t
x  vm (t )t
Δt
t0
t1
t2
tN-1
tN
tempo
x1  x0  v (t0 )t
x2  x1  v (t1 )t
....
xk  xk 1  v (tk 1 )t
...
xN  xN 1  v (t N 1 )t
xN  x0  v(t0 )t  v(t1 )t  ...v(t N 1 )t
N 1
  v(tk )t
k 0
Integrale della velocità
Δt
t0
t1
t2
tN-1
tN= tf
N 1
x(t f )  x(t0 )  xN  x0  
k 0
tempo
Integrale di
v(tkv(t)
)t tra t e t
0
f
Δt → 0
N 1
tf
k 0
t0
x(t f )  x(t0 )   v(tk )t   v(t )dt
Rappresentazione grafica dell’integrale
v
t
L’area di ogni rettangolo angolo è vi Δt
L’area totale è Atot = Σi vi Δt = ∫ v dt
L’integrale della velocità è la posizione
tf
x(t f )  x(t0 )   v(t )dt
t0
Valore di x
all’istante
iniziale t0
Integrale di
v(t) tra t0 e tf
Costante
arbitraria
L’integrale dell’accelerazione è la
velocità
tf
v(t f )  v(t0 )   a (t )dt
t0
Valore di v
all’istante
iniziale t0
Integrale di
a(t) tra t0 e tf
Costante
arbitraria
Posizione, velocità, accelerazione
x(t)
derivata
integrale
+ costante arbitraria
v(t)
derivata
integrale
a(t)
+ costante arbitraria
dv
a
x
dt
Derivazione
dx
v
x
dt
Integrazione
v   adt  C1 x   vdt  C2
Moto del grave
t
Costanti
arbitrarie
Posizione
iniziale
Velocità
iniziale
1 2
z (t )  z (0)  v(0)t  gt
2
v(t )  z (t )  v(0)  gt
a (t )  z (t )  g  cost. = 9,81 m/s 2
z