G6. Integrali indefiniti
G6.1 Introduzione
Nel capitolo G4 si è visto come calcolare la derivata di una funzione data.
Quando si calcola la derivata di una funzione y=f(x) il risultato è un’altra funzione indicata con y’=f’(x).
In questo capitolo si vedrà come calcolare l’integrale di una funzione data.
Quando si calcola l’integrale di una funzione y=f(x) il risultato è un’altra funzione indicata con F(x)=
∫ f(x)dx .
L’integrale è l’operazione inversa della derivata.
Esempio G6.1:
Trovare l’integrale di f(x)=3x2.
La funzione f(x)=x3 ha derivata f’(x)=3x2.
Poiché l’integrale è l’operazione inversa della derivata allora un integrale della funzione f(x)=3x2 è F(x)=x3.
Definizione:
Data una funzione f(x) il suo integrale si indica con F(x)=
∫ f(x)dx e F(x)si dice primitiva di f(x).
Osservazione:
Nell’esempio G6.1 non si è detto: “l’integrale della funzione è…”, ma “un integrale della funzione è…”.
Infatti y=x3 non è l’unica funzione che ha derivata y’=3x2.
Hanno la stessa derivata anche le funzioni y=x3+1, y=x3+2, y=x3-3/2, y=x3+π, y = x 3 − e , ecc. ecc., poiché la derivata
3
di un numero è zero.
Si può dire quindi che tutte le funzioni del tipo y=x3+c, dove c è un numero, hanno derivata y=3x2.
Quando si calcola l’integrale bisogna quindi aggiungere questo “+c” al risultato.
derivata
f(x)=x3
f’(x)=3x2
integrale
F(x)=x3+c
f(x)=3x2
Fig. G6.1
L’integrale è l’operazione inversa
della derivata.
Esempio G6.2:
Si calcoli l’integrale di f(x)=3x2.
Si è visto nell’esempio G6.1 che una primitiva di f(x)=3x2 è F(x)=x3. Per quanto detto nell’osservazione precedente le
infinite primitive di f(x)=3x2 sono F(x)=x3+c.
Si scrive
∫ 3x
2 dx = x 3 +c
.
Mentre per ogni funzione è possibile trovare la derivata, non per tutte le funzioni è possibile calcolare algebricamente
tgx
non è la derivata di alcuna funzione, quindi non è possibile calcolarne
l’integrale. Ad esempio la funzione y =
x
l’integrale.
Nel paragrafo G6.2 si vedrà come calcolare l’integrale indefinito solo per le funzioni polinomiali. Nei paragrafi
successivi si vedranno le regole di derivazione per le altre funzioni.
G6.2 Calcolo dell’integrale indefinito per le funzioni polinomiali
La regola per il calcolo dell’integrale indefinito delle funzioni polinomiali è:
REGOLA 1 -
Teoria
x n+1
∫ x ndx = n+1 +c
G6-1
Esempio G6.3:
Calcolare l’integrale
∫x
4 dx
.
Con la regola appena mostrata si ottiene:
∫x
4 dx =
x5
+c .
5
Osservazione:
L’integrale di f(x)=1 è F(x)=x+c. Infatti la derivata di f(x)=x+c è f’(x)=1. Questo è un caso particolare della regola
precedente con n=0. Infatti con n=0 la regola precedente diventa:
0+1
∫ 1dx= ∫ x 0dx = x0+1 +c = x+c .
Osservazione:
L’integrale di un numero f(x)=k è F(x)=kx+c, in quanto la derivata di f(x)=kx+c è f’(x)=k. Infatti se si mette un
numero davanti alla x, sapendo che l’integrale di 1 è x, si ha:
∫ kdx= ∫ (k ⋅1) dx=k ∫ 1dx = kx+c .
Si sono quindi ricavate altre due regole per il calcolo dell’integrale:
REGOLA 2 REGOLA 3 -
∫ 1dx=x+c
∫ kdx=kx+c
Esempio G6.4:
Calcolare l’integrale
∫ 3 dx .
Per la regola 3 si ottiene
∫ 3 dx =3x+c .
Osservazione:
Se la x è al denominatore si deve scrivere la frazione senza denominatore con esponente negativo.
1
1 dx= x -ndx= x -n+1 +c=
+c (n≠1).
REGOLA 4 (-n+1) x n-1
xn
-n+1
∫
∫
Poi si applica la regola 1.
Esempio G6.5:
Calcolare l’integrale di
∫ x1 dx .
2
Si utilizza la regola 4 e si ottiene:
∫x
1
2
dx =
∫x
-2 dx =
x -1
-1
1
+c = - +c .
x
Osservazione:
Se si deve calcolare l’integrale
∫ 1x dx = ∫ x
-1dx =
∫ 1x dx
con la regola 4 si ottiene una contraddizione. Infatti utilizzando la regola 4 si
x0
+c . Ma è vietato dividere per zero!
0
E’ per questo che nella regola 4 è specificato n≠1. In questo caso si utilizza una regola differente. Ricordando le regole
otterrebbe
1
è f’(x)=lnx.
x
Sapendo che l’integrale è l’operazione inversa dalla derivata si ricava la regola 5.
di derivazione si sa che la derivata di f(x)=
REGOLA 5 -
∫ x dx =ln|x|+c .
1
Osservazione:
Se si deve calcolare l’integrale di una radice la si deve trasformare in potenza ad esponente razionale.
Poi si utilizza la regola 1.
REGOLA 6 Teoria
∫n
∫
m
x m dx= x n dx=...
G6-2
Esempio G6.6:
Calcolare l’integrale
∫
5
x 2 dx .
∫
Con la regola 6 e poi la regola 1 si ottiene:
5
x 2 dx =
∫x
2/5 dx =
x (2/5)-1
+c =
x -3/5
(2/5)-1
+c = -
-3/5
5
5
3⋅ x 3
+c .
Osservazione:
Se si deve calcolare l’integrale di una somma di monomi basta calcolare l’integrale di ogni monomio per conto suo.
REGOLA 7 -
∫ f(x)+g(x)dx= ∫ f(x)dx+ ∫ g(x)dx=...
Esempio G6.7:
Calcolare l’integrale
∫ -3x
2+
2
x3
+ x dx .
Utilizzando le regole viste finora, e integrando ogni monomio per conto proprio si ottiene:
∫ -3x
2+
= -x 3 -
2
x3
1
x2
∫
∫
∫
+ x dx = -3x 2 dx+ 2x -3dx+ x 1/2dx =
+
x -1/2
-1/2
+c= -x 3 -
1
x2
-
2
-3x 3
3
+
2x -2
-2
+
x (1/2)-1
(1/2)-1
+c=
+c.
x
G6.3 Altre regole
n
Si ricorda che la derivata di y=f (x) è y’=n⋅f
seguente:
n-1
(x)⋅f’(x). Invertendo tale regola di derivazione si ottiene la regola
REGOLA 8 -
∫
n
f (x)⋅ f'(x)dx=
f
n+1
(x)
n+1
+c
n
n
Si noti che non c’è alcuna regola che permetta di integrare y=f (x), è sempre necessario che il fattore f (x) sia
moltiplicato per la derivata f’(x) della funzione f(x).
Allo stesso modo, ricordando che la derivata del logaritmo naturale è 1/x, si ottiene la regola seguente:
REGOLA 9 -
f'(x)
∫ f(x) dx=ln f(x) +c
E’ necessario mettere il valore assoluto perché il logaritmo di un numero negativo non esiste. Anche in tal caso non è
possibile integrare 1/f(x). E’ necessaria la presenza del fattore f’(x) al numeratore.
Utilizzando tali regole è possibile calcolare numerosi integrali, come mostrato nei seguenti esempi.
ESEMPIO G6.8:
Calcolare l’integrale
∫ cos x ⋅senx dx.
4
Si utilizza la regola 8 con f(x)=cosx, n=4, f’(x)=senx.
∫ cos x ⋅senx dx= cos5 x +c .
5
4
ESEMPIO G6.9:
Calcolare l’integrale
dx.
∫ 5x10x+3
+3x
2
Si utilizza la regola 9 con f(x)=5x2+3x, f’(x)=10x+3.
dx=ln 5x +3x +c .
∫ 5x10x+3
+3x
2
2
ESEMPIO G6.10:
∫ cotgxdx.
cosx
cosx
dx=
dx=ln senx +c.
∫ cotgxdx=∫ senx
∫ senx
Calcolare l’integrale
Teoria
G6-3
ESEMPIO G6.11:
Calcolare l’integrale
∫x
1
=
3
2
∫x
x 3 +2 dx.
2
∫ (
)
(
)2
x 3 +2 dx= x 2 x 3 +2
(x
)
3
3 +2 2
3
2
1
2
dx=
3
9
∫ 3x ( x
2⋅ 2
2 x 3 +2
+c=
1
3
+c=
2
(x
3 +2
3 +2
)
)
1
2
x
1(
dx=
3
3
+2
)
1+1
2
+c=
1
+1
2
3
+c.
9
ESEMPIO G6.12:
Calcolare l’integrale
∫
1
dx.
∫ xlnx
1
1
x
dx=
dx=ln lnx +c.
xlnx
lnx
∫
ESEMPIO G6.13:
Calcolare l’integrale
dx.
∫ 2x+1
x-3
5
1
dx=2
dx=2
dx=2 (
dx+
dx ) =2 ( 1dx+5
dx ) =2x+10ln x-3+c.
∫ 2x+4
∫ x+2
∫ x+2-5+5
∫ x-3
∫ x-3
∫ ∫ x-3
x-3
x-3
x-3
x-3
Ricordando le regole di derivazione delle funzioni goniometriche è possibile ricavare le analoghe regole di integrazione.
∫ senxdx=-cosx+c
REGOLA 12 - ∫ cosxdx=senx+c
REGOLA 10 -
REGOLA 13 -
∫ sen ( f(x))⋅f'(x)dx=-cosf(x)+c
∫ cos ( f(x))⋅f'(x)dx=senf(x)+c
∫ cos1 x dx=tgx+c
REGOLA 15 -
∫ cos f(x) dx=tg ( f(x))+c
∫ sen1 x dx=-cotgx+c
REGOLA 17 -
∫ sen f(x) dx=-cotg ( f(x))+c
REGOLA 14 -
REGOLA 16 -
REGOLA 11 -
2
2
f'(x)
2
f'(x)
2
ESEMPIO G6.14:
Calcolare l’integrale
∫ cos 3x+5 dx.






∫ cos 3x+5 dx= 13 ∫ 3cos 3x+5 dx= 13 sen 3x+5 +c .


















ESEMPIO G6.15:
∫ cose e
x
Calcolare l’integrale
∫ cose e
x
2
x
2
x
dx.
dx=tge x +c.
Nel capitolo sulle derivate non si sono viste le regole di derivazione delle funzioni goniometriche inverse perché non
capita spesso di utilizzarle. Le corrispondenti regole di integrazione sono invece molto utilizzate:
REGOLA 18 -
REGOLA 20 -
∫
1
1-x
2
1
∫ 1+x
2
dx=arctgx+c REGOLA 19 -
dx=arcsenx+c REGOLA 21 -
∫
ESEMPIO G6.16:
∫ 1+ee
x
Calcolare l’integrale
Teoria
2x
dx.
G6-4
f'(x)
2
f'(x)
∫ 1+f
1-f (x)
2
(x)
dx=arctg ( f(x))+c
dx=arcsen ( f(x))+c=-arccos ( f(x))+c
∫ 1+ee
( )
x
dx=arctg e x +c
2x
ESEMPIO G6.17:
Calcolare l’integrale
∫
4x
∫
∫
8x
4x
dx=
1-16x 4
dx.
1-16x 4
(
)
1- 4x 2
∫
2
8x
1
dx=
2
(
1- 4x 2
)
dx=
2
1


arcsen  4x 2  +c.
2
ESEMPIO G6.18:
Calcolare l’integrale
1
∫ 1+9x
1
∫ 1+9x
∫ 1+ 13x
dx=
2






2
dx.
2
∫ 1+ 33x
1
3
dx=






2
dx=


1
arctg 3x  +c.
3
ESEMPIO G6.19:
Calcolare l’integrale
∫
1
dx.
4-x 2
1
∫
1
2
4-x
∫
1
dx=
dx=
 x2 
4  1
 4
∫
2
1
1
dx=
 2
x
1-  
 
2
∫
2
dx=arcsen
x
+c.
2
 2
x
1-  
 
2
ESEMPIO G6.20:
Calcolare l’integrale
∫ m 1+x
2
dx.
2
1
∫ m 1+x
2
∫
dx=
2
1
 x2 
m 2  1+

 m2 
dx=
∫
m
1
m
x
1+ 
m
2
1
dx=
arctg
m
x
+c.
m
Quest’ultimo esempio sarà molto utile per l’integrazione delle funzioni razionali fratte, pertanto è opportuno inserirlo
tra le regole:
REGOLA 22 -
∫x
1
2 +m 2
dx=
1
arctg
m
x
+c.
m
Tale regola può essere generalizzata al caso in cui al posto di x c’è f(x). Si ottiene così la regola 23. La regola 24 è un
caso particolare della 23, molto utile, con f(x)=x+k.
REGOLA 23 -
∫f
f'(x)
2
(x)+m
dx=
2
1
m
arctg
f(x)
+c. REGOLA 24 -
m
ESEMPIO G6.21:
Calcolare l’integrale
∫ x 1+5 dx.
2
∫ x 1+5 dx= 15 arctg x5 +c.
2
ESEMPIO G6.22:
Calcolare l’integrale
∫ x+21 +9 dx.






2
+c.
∫ x+21 +9 dx= 13 arctg x+2
3



Teoria



2
G6-5
∫ x+k 1 +m






2
dx=
2
1
m
arctg
x+k
m
+c.
Le ultime regole riguardano l’integrazione delle funzioni esponenziali. Si ricavano facilmente dalle corrispondenti regole
di derivazione.
REGOLA 25 -
∫ e dx=e
REGOLA 27 -
∫
x
x
+c REGOLA 26 -
x
a dx= a +c REGOLA 28 lna
x
∫e
( f(x))
∫
(f(x))
a
⋅ f'(x)dx=e
(f(x))
+c
(f(x))
+c
⋅ f'(x)dx= a
lna
ESEMPIO G6.23:
∫e
1
x-1 dx=
e
4∫
Calcolare l’integrale
∫e
2x2-4x 

2x2-4x  x-1 dx

.

2x2-4x  4x-4 dx= 1





4
e 2x
2-4x
+c .
ESEMPIO G6.24:
Calcolare l’integrale
∫2
x
⋅
1
dx=
2
2 x
∫2
x
⋅
1
dx.
2 x
x
ln2
+c .
G6.4 Integrazione delle funzioni razionali fratte
Per integrare una funzione razionale fratta è necessario che il grado del numeratore sia strettamente minore del grado
del denominatore. Se così non è allora si deve dividere il numeratore per il denominatore, con il metodo della divisione
dei polinomi, in maniera da abbassare il grado del numeratore.
Si ricorda che 17:3=5 con il resto di 2. Infatti 3—5+2=17.
Analogamente si può ragionare con il numeratore e il denominatore di una funzione razionale fratta.
Sia
N
=Q con il resto di R. Allora D—Q+R=N. Si sostituisca D—Q+R al posto di N e si ottiene:
D
D ⋅ Q+R
D
=
D ⋅Q
D
Per integrare
R
R
+ =Q+ .
D
D
N
R
lo si scrive nella forma Q+ . Q è un polinomio, quindi è facilmente integrabile con le prime regole di
D
D
questo capitolo. Per integrare la seconda parte
R
si mostreranno delle tecniche apposite in questo paragrafo.
D
ESEMPIO G6.25:
∫ 3x3x+1+2 dx.
3
Calcolare l’integrale
Il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore, quindi si deve effettuare la divisione di polinomi.
3x 3 +
+2 3x+1
3
2
3x +x
x 2 - 1 x+ 1
3
9
" -x 2
+2
-x 2 - 1 x
3
1x
"
+2
3
1x
+1
3
9
"
+ 17
9
Si è trovato che
Q=x 2 - 1 x+ 1 , R= 17 . Si può ora procedere a integrare.
3
9
9
∫
17
9
x ⋅ 3 1x 2 1
17 1
1
1
dx= x 2 - x+ dx+
dx=
+ x+ ⋅
3
9
3x+1
3x+1
3
6
9
9 3
3x 3 +2
∫
∫
3
x ⋅ 1x
dx=
∫ 3x+1
3
6
3
2
+
1
9
x+
17
27
ln 3x+1 +c
R
non è stata in questo caso molto difficoltosa, come invece certe volte avviene. In questo
D
paragrafo si presenteranno d’ora in poi sempre casi in cui il denominatore ha un grado maggiore del numeratore. E’
sempre possibile, come si è visto, ricondursi a questi casi con il procedimento appena descritto.
L’integrazione del fattore
Teoria
G6-6
I - IL DENOMINATORE HA GRADO UNO
Se il denominatore ha grado uno, visto che si trattano casi in cui il numeratore ha grado minore del denominatore,
allora il numeratore avrà grado zero. Questi casi sono tutti risolubili, come già si è visto, con la regola 9.
II - IL DENOMINATORE HA GRADO DUE
Se il denominatore ha grado due il numeratore avrà grado zero o uno e si è in uno dei seguenti casi:
q
oppure
ax 2 +bx+c
px+q
ax 2 +bx+c
.
A seconda del numero delle radici del trinomio di secondo grado al denominatore varia il procedimento risolutivo.
Vedremo quindi dapprima il caso in cui ci siano due radici, poi il caso con una sola radice e infine il caso in cui non ci
sono radici.
IIA - IL DENOMINATORE HA GRADO DUE e ∆>0.
Si devono dapprima determinare le radici x1 e x2, in maniera da scomporre il denominatore ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
Si deve poi scrivere la frazione nella forma
A
B
+
x-x 1 x-x
, infine integrare i due termini che al denominatore sono di
2
primo grado. Si svolge un esempio per chiarire meglio il procedimento.
ESEMPIO G6.26:
dx.
∫ x 2x+1
-2x-8
Calcolare l’integrale
2
Risolvendo l’equazione di secondo grado x2-2x-8=0 si ottiene x1=-2 e x2=4.
Il denominatore si scompone x2-2x-8=(x+2)(x-4).
Si vuole scrivere la funzione da integrare nella forma
(
(
) ( )
)( )

A
B
+
. Per trovare A e B si procede come segue:
x-4 x+2



A x+2 +B x-4
A
B
Ax+2A+Bx-4B  A+B x+2A-4B
2x+1
+
=
=
=
=
.
2 -2x-8
x-4 x+2
x
x+2 x-4
x+2 x-4
x+2 x-4
(
)(
)
(
)(
)
Per il principio di identità dei polinomi i numeratori sono uguali se A+B=2 e 2A-4B=1. Si risolve il sistema e si trovano
A e B.
A = 2 − 1 = 3
A = 2 − B

A + B = 2
A = 2 − B
A = 2 − B
 A = 2 − B

2 2
.
⇒
⇒
⇒
⇒

−3 = 1 ⇒ 
=
B
−
−
=
2
2
B
4B
1
−3 = 1
−
=
−
−
=
−
=
−
2A
4B
1
4
2B
4B
1
6B
3
(
)






B
=
−6 2 
−6 2
Si può procedere a integrare sostituendo al posto della funzione razionale fratta la somma di funzioni equivalenti di
3
1
2
2
+
primo grado al numeratore:
.
x-4 x+2
3
∫
3
1
1
3
2
2
2
2
dx=
+
dx=
dx+
dx=
x-4 x+2
x-4
x+2
2
x 2 -2x-8
2x+1
∫
∫
∫
3
1
1
1
1
dx+
dx= ln x-4 + ln x+2 +c
∫ x-4
2 ∫ x+2
2
2
IIB - IL DENOMINATORE HA GRADO DUE e ∆=0.
In questo caso c’è una sola radice dell’equazione ax2+bx+c, quindi il denominatore è scomponibile come un quadrato
di un binomio.
Se il numeratore è di grado zero si deve portare il denominatore al numeratore cambiando il segno dell’esponente, e
poi utilizzare la regola 8.
Se il numeratore ha grado uno si deve spezzarlo in due parti con la proprietà distributiva della divisione. La parte con
al numeratore il termine di primo grado si risolve con la regola 9, la parte con al numeratore il termine di grado zero si
risolve, come detto precedentemente, portando il denominatore al numeratore cambiando il segno dell’esponente, e
utilizzando la regola 8.
Si svolgono due esempi per chiarire il procedimento.
ESEMPIO G6.27:
∫x
1
dx.
-4x+4
L’equazione x2-4x+4=0 ha una sola soluzione x=2, pertanto il denominatore si scompone x2-4x+4=(x-2)2.
Calcolare l’integrale
Teoria
2
G6-7
∫x
1
2 -4x+4
∫ ( x-2 )
∫ ( x-2)
1
dx=
-2
dx=
2
( x-2 )
dx=
-1
-1
+c=-
1
( x-2 )
+c
ESEMPIO G6.28:
Calcolare l’integrale
dx.
∫ 9x 2x+3
+6x+1
2
L’equazione 9x2+6x+1=0 ha una sola soluzione x=-1/3, pertanto il denominatore si scompone 9x2+6x+1=(3x+1)2.
9 ⋅ (2x+3)
1
dx=
∫ 9x 2x+3
+6x+1
9 ∫ 9x
2
2
+6x+1
1
dx=
9
1
18x+6
dx= (
dx+
∫ 18x+27-21+21
∫ 9x
9x +6x+1
9 ∫ 9x +6x+1
2
2
21
2
+6x+1
)
dx =


2
-2
2
-2
 ln 9x 2 +6x+1 + ∫ 21 2 dx = 1 ln ( 3x+1) + ∫ 21 ( 3x+1) dx = 1 ln ( 3x+1) +7∫ 3 ( 3x+1) dx

9
9
9
( 3x+1) 

-1

3x+1 ) 
2
(
2
2
1
=  ln ( 3x+1 ) +7
+c= 1 ln ( 3x+1) -7 1 +c= 1 ln ( 3x+1) - 7 +c

9
-1
9
3x+1
9
9 ( 3x+1)


=
(
1
) (
)
=
)
(
IIC - IL DENOMINATORE HA GRADO DUE e ∆<0.
In questo caso non si può scomporre il denominatore.
Se al numeratore c’è un polinomio di grado uno si devono utilizzare le tecniche viste nell’esempio precedente per
scomporre l’esercizio in due integrali, uno integrabile con la regola 9 e l’altro con un termine di grado zero al
numeratore.
Il termine con grado zero al numeratore si integra, dopo opportuni accorgimenti, con la regola 24.
ESEMPIO G6.29:
∫ 2x
1
dx.
-x+1
L’equazione 2x -x+1=0 non ha soluzioni, pertanto il denominatore non è scomponibile.
Per risolvere l’integrale bisogna ricondursi alla regola 24. I primi passaggi servono a ricondursi a tale regola.
Calcolare l’integrale
2
2
∫ 2x
1
2
-x+1
∫2
dx=
(
1
x 1
x2 - +
)
dx=
1
2
∫x
1
2 - x +1
dx=
2 2
2 2
Il denominatore deve essere scritto nella forma (x+k)2+m2.
Si sviluppa tale denominatore: (x+k)2+m2=x2+2kx+k2+m2. Per il principio di identità dei polinomi 2k = − 1 e
2
1
1
2
2
k +m = .
Si
ricava
k =−
dalla
prima
e
si
sostituisce
nella
seconda;
2
4
1 + m2 = 1 ⇒ m2 = 1 − 1 = 7 ⇒ m = ± 7 = ± 7 .
16
2
2 16 16
16
4
=
1
2
∫
1
( )
1
x4
dx=
2
7
+
16
2
⋅
( )
x-
1 4
arctg
7
1
4
7
+c=
2
7
arctg
4x-1
+c
7
4
ESEMPIO G6.30:
Calcolare l’integrale
dx.
∫ 3x x+2
+x+1
2
L’equazione 3x2+x+1=0 non ha soluzioni, pertanto il denominatore non è scomponibile.
Teoria
G6-8

∫x
=
1
2
x+2
2 +x+1
(
dx=
1
2
∫x
ln x 2 +x+1 +

2  x+2
2 +x+1
∫x
3
2 +x+1

=
1
2


ln x 2 +x+1 +3
dx=
2
3
1
2x+1
dx= (
dx+
∫ 2x+4-3+3
∫x
x +x+1
2 ∫ x +x+1
2
2
3
2 +x+1
)
dx =




1
1
=  ln x 2 +x+1 +3
dx  =
2
∫


2

3
1
 x+  +



2 
4



dx
)
x+
1
2
arctg
1
2
3

+c= 1

2


(
ln x 2 +x+1 +3
2
arctg
2x+1
3
3
)
+c
2
III - IL DENOMINATORE HA GRADO 3 O PIU’
Si deve cercare di ricondursi ai casi in cui il denominatore è di primo secondo grado. Si presenta un esempio svolto.
ESEMPIO G6.31:
Calcolare l’integrale
∫x
2x-1
3
dx.
-2x 2 +x-2
(
)( x-2 ) si pone:
Bx+C A ( x +1 )+( Bx+C )( x-2 ) Ax +A+Bx -2Bx+Cx-2C x ( A+B )+x ( -2B+C )+A-2C
2x-1
A
=
+
=
=
=
( x +1)( x-2 ) x-2 x +1
( x +1)( x-2 )
( x +1)( x-2 )
( x +1)( x-2 )
Considerando che x 3 -2x 2 +x-2= x 2 +1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Per il principio di identità dei polinomi si ha:
A=- -3 = 3
5 5

 A=-B
 A+B=0
A=-B
 A=-B
 A=-B






-3
6 4
⇒ C=2+2B
⇒ C=2+2B ⇒ C=2+2 ⋅ =2+- =
-2B+C=2 ⇒ -2B+C=2 ⇒ C=2+2B
5
5 5
 A-2C=-1 -B-2C=-1 -B-2 (2+2B)=-1 -B-4- 4B=-1 5B=-3






-3
B=
 5
L’integrale si trasforma dunque in:
3
1
1 -3x+4
3
1
3
2x
dx=
dx+
dx= ln x-2 + dx+4
∫ ( x +12x-1
∫ x 1+1 dx  =
5
 2 ∫ x +1
)( x-2 ) 5 ∫ x-2 5 ∫ x +1 5
2
2
(
)
(
3
3
1
= ln x-2 + - ln x 2 +1 +4arctg x 2 +1
 2
5
5
2
2
) +c
G6.5 Integrazione per parti
Si ricorda la regola per il calcolo della derivata del prodotto:
y=f(x)—g(x)
=>
y’=f’(x)—g(x)+ f(x)—g’(x)
∫
Si indichi l’integrale di f(x) con F(x)= f(x)dx. Con dei semplici passaggi algebrici si ottiene:
y'=f'(x)—g(x)+ f(x)—g'(x) ⇒
⇒ f'(x)—g(x)=y'-f(x)—g'(x) ⇒
(
)
⇒ f'(x)—g(x)= f(x)—g(x) '-f(x)—g'(x)
E’ possibile integrare ambo i membri, ricavando così la regola di integrazione per parti.
∫ f'(x)—g(x)=∫ (f(x)—g(x)) '-∫ f(x)—g'(x) ⇒
⇒ ∫ f'(x)—g(x)=f(x)—g(x)- ∫ f(x)—g'(x) ⇒
⇒ ∫ f(x)—g(x)=F(x)—g(x)- ∫ F(x)—g'(x) ⇒
REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI - ∫ f(x)—g(x)=F(x)—g(x)- ∫ F(x)—g'(x)
ESEMPIO G6.32:
Calcolare l’integrale
Teoria
∫ x sen x dx.
G6-9
Si utilizza la regola di integrazione per parti ponendo f(x)=sen x e g(x)=x:
∫ x sen x dx= -x cosx - ∫ sen x dx= -x cosx +cosx +c .
ESEMPIO G6.33:
Calcolare l’integrale
∫xe
x
dx.
Si utilizza la regola di integrazione per parti ponendo f(x)=ex e g(x)=x:
∫xe
x
∫
dx=xe x - e x dx= xe x -e x +c .
ESEMPIO G6.34:
Calcolare l’integrale
∫ lnx dx=∫ 1⋅lnx dx
Si utilizza la regola di integrazione per parti ponendo f(x)=1 e g(x)=lnx:
∫ lnx dx=∫ 1⋅lnx dx=x ⋅lnx- ∫ x ⋅ 1x dx=x ⋅lnx-x+c .
ESEMPIO G6.35:
Calcolare l’integrale
∫ sen x dx= ∫ senx ⋅ senx dx
2
Si utilizza la regola di integrazione per parti ponendo f(x)=senx e g(x)=senx:
∫ sen x dx= ∫ senx ⋅ senx dx=senx ⋅(-cosx)- ∫ cosx ⋅ (-cosx) dx=senx ⋅(-cosx)+∫ cosx ⋅ cosx dx=
=-senx ⋅ cosx+ (1-sen x) dx=-senx ⋅ cosx+ 1 dx- sen x dx=-senx ⋅ cosx+x- sen x dx
∫
∫ ∫
∫
2
2
2
2
Si considerano il primo e l’ultimo termine dell’espressione come primo e secondo membro di un’equazione.
∫ sen x dx=-senx ⋅cosx+x- ∫ sen x dx ⇒
⇒ 2 sen x dx=-senx ⋅ cosx+x ⇒
∫
-senx ⋅ cosx+x
⇒ sen x dx=
+c
∫
2
2
2
2
2
G6.6 Integrazione per sostituzione
In alcuni casi è utile effettuare una sostituzione di variabile per semplificare il calcolo dell’integrale riconducendosi a
casi già noti. La sostituzione non è, come visto nella risoluzione delle equazioni trinomie, una semplice sostituzione
senza alcuna conseguenza; se ne spiega di seguito il motivo.
()
Data la funzione y=f x , di cui si vuole calcolare l’integrale
∫ f ( x) dx , si vuole sostituire la variabile x con una certa
()
()
variabile t. La x è dunque espressa in funzione di t; si pone x=g t , per cui t=g -1 x .
()
()
Se si deriva x=g t ambo i membri si ottiene dx=g' t dt .
Sostituendo nell’integrale di partenza si ha:
∫ f (x) dx=∫ f (g (t)) g' (t) dt .
Se questo integrale è più semplice da calcolare allora si utilizza tale regola, detta di integrazione per sostituzione. Al
()
termine dell’integrazione basta sostituire nuovamente la t con g -1 x .
La scelta della corretta sostituzione non è sempre facilmente intuibile. Dapprima si mostrano alcuni esempi e
successivamente si suggeriscono dei metodi per scegliere la giusta sostituzione.
ESEMPIO G6.36:
Calcolare l’integrale
∫
2x-3 dx .
La sostituzione da effettuare è t=2x-3. Da ciò segue x=
t+3
2
t 3
1
= + . Derivando si ottiene dx= dt .
2 2
2
Sostituendo si risolve l’integrale:
∫
Teoria
∫
2x-3 dx=
t
1
1
dt=
2
2
∫
1
t2
dt=
1 32
t
2
3
2
+c=
G6-10
(
12 3
1
1
t +c= t 2 t+c= 2x-3
3
3
3
)
2
2x-3+c .
ESEMPIO G6.37:
Calcolare l’integrale
∫
sen
x
dx .
x
x . Da ciò segue x=t 2 . Derivando si ottiene dx=2tdt .
La sostituzione da effettuare è t=
Sostituendo si risolve l’integrale:
∫
sen
x
∫ sent t 2t dt=∫ 2 sen t dt=-2 cos t +c=-2 cos
dx=
x
x +c .
ESEMPIO G6.36:
Calcolare l’integrale
∫
a 2 -x 2 dx , con a∈R, a>0.
La sostituzione da effettuare è x=a—sent. Da ciò segue t=arcsen
x
a
. Derivando si ottiene dx=a⋅ cost dt .
Si consideri inoltre che:
(
∫
a 2 -x 2 =cost=cos arcsen
)
x
=
a
(
1-sen 2 arcsen
Sostituendo si risolve l’integrale:
∫
a 2 -x 2 dx=
∫
=a 2
∫
=
a2
2
(
(
∫
cos 2 t ⋅ cost dt=a 2
) (
x
x
x
⋅ cos arcsen
arcsen +sen arcsen
a
a
a
)
arcsen
∫
a 2 -x 2 dx=
a2
2
1-
()
)
x
a
2
=
1-
∫
a 2 1-sen 2 t ⋅ a⋅ cost dt= a
))
∫ cos t dt = a
2
+c=
a2
x x
x 1
+
arcsen + x ⋅
⋅ a 2 -x 2 +c=
2
a a
a 2
2
2
Tale esempio è servito a ricavare la seguente regola:
=
a2
(
(
∫
a 2 -a 2sen 2 t ⋅ a⋅ cost dt=
1-sen 2 t ⋅ cost dt = a 2
)
x
=
a
arcsen
a2
2
(
arcsen
2
(
x2
=
a2
x x
+ ⋅
a a
)
)
a 2 -x 2 +c.
Si suggeriscono alcune sostituzioni che possono essere utili:
•
Se la funzione contiene un termine del tipo
ax 2 +bx+c =t-
•
(
ax 2 +bx+c con a>0 si può sostituire:
a ⋅x .
Se la funzione contiene un termine del tipo
ax 2 +bx+c con a<0 si può sostituire
)
ax 2 +bx+c =t x- α , in cui α è una radice del trinomio ax 2 +bx+c .
Teoria
G6-11
+c=
a 2 -x 2
+c=
a2
a 2 -x 2 +c.
x 1
+ x⋅
a 2
.
1-sen 2 t ⋅ a⋅ cost dt=
t+sent ⋅ cost
2
a 2 -x 2
a2