Consideriamo la circonferenza di centro
l’origine e raggio r, di equazione:
x2  y 2  r2
che esplicitata rispetto alla y diventa:
y r x
2
Limitiamoci alla semicirconferenza superiore, ossia
2
y r x
Per calcolare l’area del cerchio basterà moltiplicare
per 4 l’area di un solo quadrante
2
2
Si tratta perciò di calcolare l’integrale definito:
r
0

r
r  x dx
2
2
0
Il problema consiste nel calcolare prima l’integrale indefinito:

r  x dx 
2
2
Seguiremo due diversi metodi di integrazione
Procediamo dapprima per parti, usando la ben nota formula:
 f ( x) g ' ( x)dx  f ( x) g ( x)   f ' ( x) g ( x)dx
applicata all’integrale:
2
2
1

r

x
dx

con le seguenti posizioni:
 xdx
f ( x )  r  x  f ' ( x )dx  2 2
r x
g ' ( x)  1
 g ( x)  x
2
2
si ottiene:

x
r
x 
r  x dx  

2
2
2
dx 
2
2
r

x



 f '( x ) g ( x ) dx
2
f ( x ) g ( x )
 x r x 
2
2
x r r
2
2
r x
2
x
2
2
2
dx 
Abbiamo aggiunto e sottratto al numeratore il termine
Ora spezziamo quest’ultimo integrale in due
r
2

r  x dx  x r  x  
2
2
2
2
r 2  x2
r 2  x2
Razionalizzando e semplificando
dx  r
2

1
r
 x
1  
r
x
2
2
 x r  x  r arcsen   r  x dx
r
2
2
Ora riportiamo al primo membro questo integrale
r 2  x2
dx 
Dividendo sopra e sotto per r
2
2
2
2
(
r

x
)
r

x
2
 x r 2  x2  
dx

r

r 2  x2
2
1
2
dx 
L’integrale iniziale viene raddoppiato e si ottiene:
2  r  x dx 
2
2
 x
x r  x  r arcsen    c
r
2
2
2
Da cui dividendo tutto per 2 abbiamo:
(*)
(*)

2
x
r
 x
2
2
2
2
r  x dx 
r  x  arcsen    c
2
2
r
è l’integrale indefinito che ora andiamo a calcolare anche con altro metodo
Calcoliamo lo stesso integrale usando il metodo di sostituzione:

r  x dx 
2
2
Facciamo la posizione:
x  r sen t
da cui si ricava:
dx  r cos tdt
x
sen t 
r

r  x dx 
2
2

r  r sen t  r cos tdt 
2
2
2
2
r
 r  cos tdt  (t  sen t  cos t )  c
2
2
2
?
Per saperne di più
Cambio pag.
Ora, essendo
x
sen t 
r
x
t  arcsen
r
segue:
con


2
t 

2
2
1 2
 x
cos t  1  sen t  1    
r  x2
r
r
2

r  x dx 
2
2
r2 
x x 1 2
2 
r  x c 
 arcsen  
2
r r r

1 2
x
2
2 
  r arcsen  x r  x   c (*)
2
r

La (
*) è l’integrale indefinito che già avevamo calcolato
F(x)
Infine, l’integrale definito da calcolare è:
r

0
r
x 2
r
 x
2
r  x dx 
r  x  arcsen   
2
2
 r 0
2
2
2
r
 

r2
r2
=  2 0  2 arcsen 1   0  2 arcsen 0  

 

F(r)
F(0)
r 
r
   0  
2 2
4
2
2
Pertanto l’area del cerchio sarà, com’è noto:
Scerchio  4 
r
2
    r 2
Integrale
cos 2 x
di
Come risulta dalle note formule di bisezione
1  cos 2 x
sen x 
2
2
cos 2 x 
1  cos 2 x
2
1  cos 2 x
1
1
 cos xdx   2 dx  2  dx  2  cos 2 xdx 
2
1
1
1
1
1
1
  dx   2  cos 2 xdx  x  sen 2 x  c  x  sen x cos x  c
2
4
2
2
2
4
1
 ( x  sen x cos x)  c
2