INTEGRALI
GENERALIZZATI
DOPPI E TRIPLI.
FUNZIONI DEFINITE
DA INTEGRALI
Argomenti della lezione
 Integrali generalizzati
doppi e tripli
 Funzioni definite da
integrali
INTEGRALI
GENERALIZZATI
DOPPI E TRIPLI
Nella definizione di integrale
multiplo secondo Riemann, abbiamo
esplicitamente supposto che la
funzione fosse limitata e che il
dominio d’integrazione fosse
limitato.
Spesso nelle applicazioni
queste ipotesi non sono verificate.
Vediamo come possa essere adattata
la nostra definizione per soddisfare
le esigenze, per esempio della fisica
Può dunque accadere che il dominio
d’integrazione non sia limitato, o che
la funzione non lo sia in un intorno
di qualche punto. Per esempio, può
accadere che f(x,y,z) tenda a infinito
se il punto (x,y,z)T tende a un certo
(x0,y0,z0)T.
Per presentare con una certa
precisione i concetti, daremo la
seguente definizione
Diremo che un sottoinsieme J  Rm
è localmente misurabile (secondo
PJ) se la sua intersezione con
qualsiasi insieme misurabile I è
misurabile (ricordiamo che ciò
significa che la frontiera di J  I è
trascurabile)
Diremo che una successione (An) di
insiemi misurabili invade J, se gli
insiemi sono crescenti per inclusione
e contenuti in J: An  An+1  J
Inoltre, per ogni B  J, B misurabile,
deve accadere che la m(B\ An) 0,
per n  ∞
Data f, diremo che la successione
(An) è adatta a f se f è R-integrabile
su ogni An. In questo modo si
superano i problemi dovuti all’
eventuale non limitatezza di f.
Nel caso di integrali multipli,
prenderemo in considerazione
funzioni che sono assolutamente
integrabili. Per esempio, funzioni
che hanno segno costante su J
La sostanziale giustificazione di
questa definizione è fornita dal
seguente
Teorema
Se (An) e (Bn) sono due successioni
adatte a f≥0 e invadenti J, allora
lim  fdm = lim  fdm
n A
n B
n
n
Dunque il valore dell’integrale non
dipende dalla particolare successione
usata per calcolarlo. Ciò ci permette
di attribuire un valore certo al limite
così calcolato. Si noti che una
Funzione R-integrabile è anche
integrabile in senso generalizzato.
Se la funzione non ha segno costante
allora bisognerà chiedere che sia
integrabili in senso generalizzato sia
la sua parte positiva, che quella
negativa. In questo caso la funzione
sarà integrabile in valore assoluto
Accanto al teorema fondamentale
citato, servono alcuni criteri utili
per stabilire che alcune funzioni
sono senz’altro integrabili.
Precisamente, se m è la dimensione
dello spazio, e la funzione tende a
zero per |x| che tende a infinito più
rapidamente di |x|-a, con a>m,
allora certamente l’integrale è
convergente
Se m è la dimensione dello spazio,
f tende a infinito per xx0 e vi tende
meno rapidamente di |x-x0|-b , con
b < m, allora f è integrabile in senso
generalizzato su J
Applichiamo queste considerazioni
al calcolo di un integrale
generalizzato fondamentale
Si voglia calcolare

 e dx
2
x
-
-
La funzione exp(-x2) tende a zero
Per x∞ più rapidamente, per
esempio, di 1/x2 e quindi esiste
certamente l’integrale detto.
Cerchiamo di calcolarne il valore
Consideriamo la funzione
exp(- x2 - y2) che è integrabile in
senso generalizzato su tutto il piano
R2. Considereremo due famiglie
invadenti e adatte alla funzione:
An = [-n,n] [-n,n] e
Bn = {(,):  ≤ n}
An
Bn
Poiché le due successioni ,come
si riconosce immediatamente, sono
invadenti R2 e adatte alla funzione
allora
e
lim 
A
n
n
dxdy = lim  e
B
2
2
- (x  y )
n
n
2
2
-(x  y )
n
dxdy
n
Ma
e

A
n
-
(x 2

dxdy =  e dx   e dy
y2 )
-n
-
x2
-n
-y
2
Cioè
e

A
2


-x
dxdy =  e dx 
- n

n
2
2
- (x  y )
n
2
Mentre
e

B
n
-
(x 2

n
dxdy = 2p  e
y2 )
0
- 2
d = p (1 - e )
-n
2
Se indichiamo con I l’integrale
cercato

n
I =  e dx = lim  e dx
n
-
x2
-n
-
troviamo
I2 = π
e quindi
I = √π
-x
2
A partire da questo integrale
fondamentale e, agendo con una
certa spregiudicatezza, si possono
ottenere alcuni risultati interessanti
exp(-xy2) sen x
è integrabile su ]0,+∞[ ]0,+∞[
Da I = √π si deduce

e
0
- xy
2
dy =
p
2 x
Moltiplicando per sen x e
integrando su x da 0 a +∞, si trova


0
0
 dx  e
2
- xy
sen x
p
sen xdy =
dx


2
0
x
Scambiando l’ordine d’integrazione
Si trova


0
0
 dy  e
- xy
2

1 dy
p =
=
4
01 y
2 2
sen xdx = 
senx
p
dx
=


2
Dunque
0
x
sen x
p
dx

=
x
0
2

Qui è anche contenuto il problema
di calcolare l’integrale di 1/(1+y4)
da 0 a + ∞
Ponendo infine x2 al posto di x nell’
integrale così calcolato, si trova

p
0
8
2
sen
x
dx =

Si consideri il seguente problema:
Si decida se è finito il volume della
regione solida compresa tra il
cerchio x2 + y2 ≤ 1 sul piano x y
e la superficie z = 1/√[x2 + y2]
Una successione invadente, adatta
alla funzione che tende a infinito
per (x,y)T che tende a (0,0)T è
Cn = {(x,y)T:1/n ≤ √[x2 + y2] ≤1}
L’integrale esiste finito poiché f
tende a infinito come 1/|x| e 1 < 2.
Si vuole calcolare

Cn
1
1
dxdy = 2p  d =2p (1 - 1)
n
x2  y 2
1/n
Ovviamente il limite per n  ∞
è 2π.
FUNZIONI
DEFINITE DA
INTEGRALI
È spesso utile considerare integrali
dipendenti da un parametro e
riconoscere le proprietà dell’
integrale rispetto al parametro
detto; in particolare la dipendenza
continua dalo la derivabilità rispetto
al parametro.
Diremo allora, se questo è il caso,
che l’integrale è una funzione
del parametro stesso
Considereremo due situazioni in
particolare
Teorema
Sia f: [a,b]  [c,d]  R continua.
b
Allora g(y) =∫f(x,y)dx, è continua
a
su [c,d].
Infatti, per le ipotesi fatte, g(y)
esiste per ogni y in [c,d] e
b
|g(y)-g(y0)| ≤ ∫|f(x,y) - f(x, y0)| dx
a
L’uniforme continuità di f(x,y) sul
rettangolo, assicura che: dato  >0
esiste  >0 tale che se |y-y| < ,
allora |f(x,y) - f(x, y0)| < /(b-a) .
Perciò |g(y)-g(y0)|≤ 
Vale inoltre
Teorema
Se f: [a,b]  [c,d]  R e fy sono
Continue sul rettangolo, allora
b
g(y) =∫f(x,y)dx, è derivabile e si ha
a
b
g’(y) =∫ fy(x,y)dx
a
Infatti si può considerare la funzione
continua
b
h(y) =∫ fy(x,y)dx
a
e integrarla tra c e y. Scambiando
poi l’ordine d’integrazione, si trova
y
b
b
y
c
a
a
c
 ( f2 (x,t)dx)dt =  ( f2 (x,t)dt)dx =
b
=  [f (x, y) - f (x, c)] d x= g(y) - g(c)
a
Cioè
y
 h(t)dt = g(y) - g(c)
c
E quindi
b
g’(y) = h(y) = ∫ fy(x,y)dx
a
Se
b
F(y, a , b ) =  f (x, y)dx
a
con a≤ a ≤ b ≤b, F(y, a, b) è
funzione continua e derivabile con
continuità e quindi differenziabile
delle sue variabili; Fy(y, a, b) è dato
dalla formula precedente;
Fa(y, a, b) = -f(a,y);
Fb(y, a, b) = f(b,y). F(y, a(x), b(x)) è
continua o derivabile se lo sono a(x),
b(x).
Fra le possibili utilizzazioni delle
formule, ne segnaliamo una: ancora
il calcolo di certi integrali
Dopo avere calcolato
dx
 2
2
x
y
0


si calcoli
dx
 2
2 2
(x
y
0
 )

Il primo integrale vale π/(2y)
Derivando sotto il segno e dividendo
per -2y, si trova che il secondo
integrale vale π/(4y3)
Altro esempio: si voglia calcolare
sen xy
dx
e
x
0

-x
Derivando sotto il segno d’integrale
rispetto a y, si trova

 e cos xy dx =
0
-x
1
2
y
1
integrando rispetto a y i due
membri
sen xy
dx = arctg y
e
x
0

-x
Se facciamo la sostituzione x = z/y

e
- z/y
0
sen z
z
dz = arctg y
E prendendo il limite per y  ∞
sen z

z
0

dz = π/2