INTEGRALE
(DI RIEMANN)PER
FUNZIONI DI DUE
E TRE VARIABILI
SU RETTANGOLI
Argomenti della lezione
 Definizione di
integrali doppi e tripli
secondo Riemann
 Proprietà
dell’integrale. Classi di
funzioni integrabili
DEFINIZIONE DI
INTEGRALI
DOPPI E TRIPLI
SECONDO
RIEMANN
Introdurremo ora la nozione di
integrale multiplo (secondo Riemann)
in modo simile a quanto è stato fatto
per funzioni di una sola variabile.
I casi di funzioni di due o tre variabili
sono quelli che c’interessano di più,
ma, in via di principio, lo stesso
metodo è applicabile a funzioni di
più variabili reali (m > 3).
Sia dunque dato un intervallo o
rettangolo chiuso I in R2 o R3
(più in generale in Rm).
I = [a,b][c,d] in R2
I = [a,b][c,d]  [e,f] in R3
I = [a1,b1][a2,b2] … [am,bm] in Rm
Diremo scomposizione
(decomposizione) del rettangolo I
un insieme finito di punti di
suddivisione sugli assi x, y, z
(in generale sugli assi x1, x2, .. , xm)
disposti come segue
a = x0 < x1 < … < xp = b
c = y 0 < y1 < … < y q = d
e = z0 < z1 < … < zr = f
Alternativamente si può dire
decomposizione di I la famiglia
finita dei sottorettangoli
Iijk = [xi-1,xi][yj-1,yj][zk-1,zk],
i = 1, .. , p; j = 1, .. , q; k = 1, .. , r
Qui abbiamo descritto la situazione
in R3; successivamente
rappresentiamo graficamente la
situazione in R2
y
I
d = yq
yq-1
I12
y2
y1
c = y0
x
a = x0
x1 x2
xp-1 xp = b
Sia ora data una funzione a valori
reali e limitata
f: I  Rs  R (s = 2, 3, .. , N)
Poiché f è limitata su tutto I, lo sarà
su ogni Iij (consideriamo da ora in
poi, per maggiore semplicità, il caso
bidimensionale).
Sia mij = inf {f(x,y): (x,y)T  Iij}
e sia
Mij = sup {f(x,y): (x,y)T  Iij}
Indicheremo con la lettera  una
decomposizione finita di I e con
D(I) l’insieme di tutte le
decomposizioni finite di I
Data una decomposizione  di I,
considereremo le somme inferiori
relative alla funzione f e a 
s(f ,  ) =  mij (xi - xi -1 )(y j - y j -1)
i =1,..,p
j =1,..,q
Diremo poi somme superiori
S(f ,  ) =
 Mij (xi - xi -1)(y j - y j -1)
i = 1 , .., p
j =1 ,.., q
Come si è fatto nel caso di
dimensione 1, si può introdurre fra
le decomposizioni di I una relazione
di “finezza”: 1 è più fine di 2 se, su
ogni asse, i punti di suddivisione di
1 sono un soprainsieme dei punti di
decomposizione di 2 .
Cioè, se 2 è individuata dai punti di
suddivisione sull’asse x e y
rispettivamente {a = x”0 < x”1 < …
< x”p” = b} e {c = y”0 < y”1 < …
< y”q” = d} , mentre 1 è individuata
da {a = x’0 < x’1 < … < x’p’ = b} e
{c = y’0 < y’1 < … < y’q’ = d}, diremo
che 2 è meno fine di 1 (e scriveremo
2  1 e 1  2) se
{a = x”0 < x”1 < … < x”p” = b} 
 {a = x’0 < x’1 < … < x’p’ = b}
e
{c = y”0 < y”1 < … < y”q” = d} 
 {c = y’0 < y’1 < … < y’q’ = d}
La relazione introdotta è una
relazione d’ordine tra
decomposizioni di I, che è un ordine
parziale. Infatti esistono
decomposizioni inconfrontabili
Le due decomposizioni precedenti
sono inconfrontabili; nessuna è più
fine dell’altra
Si verifica, come nel caso
unidimensionale, che date due
decomposizioni 1 e 2 ne esiste
una  che è più fine di entrambe.
Basta prendere quella che ha, su
ogni asse, l’unione dei punti di
decomposizione di 1 e 2.
Inoltre, se 1  2 si verifica che
s(f, 1) ≥ s(f, 2) e S(f, 1) ≤ S(f, 2)
Questo fatto ci permette di
riconoscere che le due classi delle
somme inferiori e superiori sono
separate:
Cioè, per ogni 1 e 2 in D(I), vale
s(f, 1) ≤ S(f, 2)
Infatti è ovvio che per ogni  data
sia s(f,) ≤ S(f,)
Date poi 1 e 2 e detta  una
decomposizione più fine di
entrambe, si ha
s(f,1) ≤ s(f,) ≤ S(f,) ≤ S(f,2)
Allora potremo considerare
sup { s(f,) :   D(I)}
Il numero reale così ottenuto
si dice l’integrale inferiore
(secondo Riemann) di f esteso a I
Analogamente
inf { S(f,) :   D(I)}
è detto integrale superiore di f
esteso ad I.
Gli integrali inferiore e superiore
si indicano talvolta con i simboli
 I
f(x,y) dxdy
=
f(x,y) dm
I
e rispettivamente
 I
+
f(x,y) dxdy
=
+
f(x,y) dm
I
nel caso di integrali doppi
Qui dxdy è posto per ricordare
l’area o misura del sottorettangolo
Iij  . Allo stesso scopo si scrive più
genericamente dm.
Se accade che le classi delle somme
inferiori e superiori siano contigue,
cioè se accade che l’integrale
superiore e inferiore siano uguali,
allora la funzione si dice integrabile
secondo Riemann e il valore
comune si dice l’integrale (s.R.) di f
esteso a I
Scriveremo
 I
=I
f(x,y) dxdy =
f(x,y) dxdy =
 I
+
f(x,y) dxdy
Analogamente definiremo
I
f (x, y, z)dxdydz =
 f (x, y, z)dm =
I
+
-
=f(x,y,z)dm =
I
I
f(x,y,z)dm
Nel caso dell’integrale triplo dm è
indicato anche con dx dy dz e ricorda
il volume del sottorettangolo Iijk
Come nel caso unidimensionale
vale la seguente condizione
d’integrabilità di Riemann
Teorema
(condiz. d’integrabilità di Riemann)
f : I  Rm  R, (m =2,3,..) è integrabile
se e solo se per ogni
esiste   D(I) tale che
S(f,) - s(f,) <

>0
Data la decomposizione  = {Ia}
e posto ma = inf {f(x): x  Ia} e
Ma = sup {f(x): x  Ia} , diremo
oscillazione di f su Ia
 a = Ma - m a
Allora la condizione d’integrabilità
diviene
Per ogni  > 0 esiste   D(I) t.c.
a  a D m a < 
Dove sta aal posto di ij o ijk e
Dma =(xi-xi-1)(yj-yj-1)
e simili
Si prova allora immediatamente
che
Teorema
Ogni funzione f : I  Rm  R, (m =2,3,..)
se è continua è integrabile su I
Infatti sappiamo che se f è continua
su I chiuso e limitato, allora, per
ogni  > 0 esiste un  > 0
(dipendente da ) tale che se x, y  I
e |x-y| <  è |f(x) - f(y)| < /m(I) .
(Teorema di Heine - Cantor,
Matematica I)
Data una decomposizione , diciamo
diam() = max{ diam (Ia): Ia }
Se  è una qualsiasi decomposizione
avente diam() < , poiché per
Weierstrass
ma = min {f(x): x  Ia} = f(xa’) e
Ma = max {f(x): x  Ia} = f(xa”),
allora
a = f(xa”) - f(xa’) <
/m(I)
Perciò
aa Dma</m(I) aDma= 
Si possono poi dimostrare i soliti
teoremi sulla struttura dell’insieme
delle funzioni integrabili su I
Teorema (di linearità)
Se f e g sono integrabili su I e , 
sono numeri reali, allora  f +  g
è integrabile su I e vale
 ( f + g)dm =   f d m+   gdm
I
I
I
Teorema (di monotonia)
Se f e g sono integrabili su I e
f(x) ≤ g(x) x  I, allora
I f dm  I gdm
In particolare, se f(x) ≥ 0 x  I,
allora
I f dm ≥ 0
Teorema (del valore assoluto)
Se f è integrabile su I lo è anche |f|
e si ha
I fdm  I f d m
Teorema (della media)
Se f è integrabile su I e
l = inf { f(x): x  I},
L = sup { f(x): x  I}, allora si
ha
lm(I)
≤  f dm ≤ Lm(I)
I
In particolare, se f è continua su I
I f dm = f(c)m(I)
dove c  I e m(I) è la misura
(area o volume) del rettangolo I
Il numero
1  f dm
=
m(I) I
si dice la media integrale di f su I.
Teorema (del prodotto)
Se f e g sono integrabili su I allora
lo è f  g.
Teorema (di additività sul dominio)
Se f è integrabile su I1 e su I2, che
hanno solo una faccia in comune,
allora è integrabile su I = I1 I2 e
l’integrale è la somma degli
integrali
INSIEMI
TRASCURABILI
Un insieme limitato T  Rm si dice
trascurabile (o di misura
elementare nulla) se, detto I un
rettangolo che lo racchiude, per
ogni  > 0 esiste una
decomposizione  di I, tale che
 m(I b ) < 
b
dove sono stati indicati con Ib quei
sottorettangoli tali che Ib  T ≠ 
Si può allora dimostrare che una
funzione limitata f : I  Rm  R, è
R-integrabile se l’insieme Df
dei suoi punti di discontinuità è
trascurabile
Questo risultato amplia
notevolmente la classe delle
funzioni R-integrabili.