FORMULE DI
RI DUZIONE
PER INTEGRALI
DOPPI E TRIPLI
SU RETTANGOLI.
INTEGRAZIONE SU
SOTTOINSIEMI
LIMITATI
Argomenti della lezione
 Formule di riduzione
per integrali doppi e
tripli
 Integrazione su
insiemi limitati di Rm
FORMULE
DI RIDUZIONE
PER INTEGRALI
DOPPI E TRIPLI
Abbiamo introdotto la nozione di
integrale doppio e triplo e abbiamo
dato condizioni sotto le quali un
siffatto integrale esiste.
Tuttavia non abbiamo dato alcun
modo effettivo per calcolare
tali integrali multipli
Vogliamo ora occuparci di questo
problema, cominciando con gli
integrali estesi a rettangoli.
Precisamente, ridurremo il calcolo
di un integrale doppio al calcolo di
due integrali semplici iterati
Teorema
(di riduzione per integrali doppi)
Se f : I  R2  R è integrabile
sul rettangolo I = [a,b][c,d] in R2
e se per ogni x  [a,b] f(x,y)
è integrabile rispetto a y su [c,d]
allora è integrabile su [a,b] la
funzione della sola x
d
g(x) = c f(x,y)dy
e si ha
b
b
d
a
a
c
 f (x, y)dxdy =  g(x)dx =  (  f (x, y)dy)dx
I
Infatti, sia  una decomposizione
di I individuata dai punti di
suddivisione a = x0 < x1 < … < xp
= b e c = y0 < y1 < … < yq = d.
Se (x,y)  Iij, allora
mij ≤ f(x,y) ≤ Mij
Integrando su [yj-1,yj] si trova
yj
mij (y j - y j -1 )   f (x, y)dy  Mij (y j - y j -1)
y
j -1
Sommando su j = 1, .. , q
q
d
q
mij (y j -y j -1)   f (x, y)dy   Mij (y j -y j -1)

j =1
j =1
c
Allora g(x) è limitata su [xi-1,xi]
 mij (y j -y j -1 )  mig  Mig   Mij (y j -y j -1 )
j
j
Moltiplicando per (xi - xi-1) e
sommando su i = 1, .. , p
s(f ,  )  s(g,  x )  S(g,  x )  S(f ,  )
Poiché, per ipotesi, le classi
delle somme “esterne” sono
contigue, lo sono quelle relative
alla g(x). Quest’ultima è
integrabile e l’integrale di g(x)
su [a,b] uguaglia l’integrale
doppio su I, per l’unicità dell’
elemento di separazione fra
coppie di classi contigue.
Dunque abbiamo dimostrato
b
b
d
a
a
c
 f (x, y)dxdy =  g(x)dx =  (  f (x, y)dy)dx
I
Se ricorrono le opportune
ipotesi, si possono scambiare
i ruoli di x e y
d
b
 f (x, y)dxdy =  (  f (x, y)dx)dy
I
c a
Esempi e controesempi
1. Calcolare
 x  sen(xy)dxdy
I
dove I = [0,1][0,π/2]
2. La validità del teorema dipende
naturalmente dal verificarsi delle
ipotesi. Si consideri la seguente
funzione
0 se x  Q
f(x,y) = 
se
x
Q

1


su I = [0,1][0,1]. Per ogni x esiste
01f(x,y)dy, ma f(x,y) non è
integrabile su I.
In maniera analoga si dimostrano
le formule di riduzione su rettangoli
di R3. Ne abbiamo di due tipi
Formula di riduzione per corde in R3
Sia f(x,y,z) una funzione integrabile
su I = [a,b][c,d][e,f]. Se per ogni
(x,y)  Iz = [a,b][c,d], f(x,y,z) è
integrabile su [e,f], allora
h(x,y) = ef f(x,y,z) dz
è integrabile su Iz = [a,b][c,d],
e vale
 f (x, y, z)dxdydz =  h(x, y)dxdy
I
Iz
Ci sono analoghi enunciati facendo
rotare le variabili x e y al posto di z

x

y
Iz
Abbiamo poi
Formula di riduzione per sezioni
in R3
Sia f(x,y,z) una funzione integrabile
su I = [a,b][c,d][e,f]. Se per ogni
z  Ixy = [e,f], f(x,y,z) è integrabile
su Iz = [a,b][c,d], allora
g(z) = 
f
(x,
y,
z)dxdy
I
z
è integrabile su [e,f] e vale
f
 f(x,y,z)dxdydz = e g(z)dz
I
f
z
Iz
e

e
Ci sono analoghi enunciati facendo
rotare le variabili x e y al posto di z
Esempio. Si calcoli su
I = [a,b][c,d][e,f], l’integrale
(x +y + z )dxdydz

I
2
2
2
=V/3  (a2 + ab + b2 + c2 +cd +d2 +
e2 + ef + f2)
INTEGRAZIONE
SU INSIEMI
m
LIMITATI DI R
I domini d’integrazione per gli
integrali multipli sono, in generale,
più complessi dei rettangoli.
Tuttavia, la teoria dell’integrazione
sui rettangoli, si rivelerà utile per
estendere i nostri procedimenti a
situazioni più complesse.
Sia data una funzione
f : E  (I ) R2  R su un insieme
limitato E. Essendo limitato E è
contenuto in un rettangolo I di R2
Si consideri allora una funzione
ausiliaria
f (x, y) se (x, y)  E
f (x, y) = 
se (x, y)  I\E

 0
Proponiamo dunque la seguente
definizione
Diremo che f(x,y) è integrabile su E
se f(x,y) è integrabile su I
Osserviamo che se f(x,y) è continua
su E, gli eventuali punti di
discontinuità di f sono contenuti
nella frontiera di E: ∂E
Dunque se f(x,y) è continua e ∂E è
trascurabile, allora f è integrabile
su I e quindi f lo è su E
Porremo, per definizione
 f (x, y)dxdy = I f (x, y) dxdy
E
Ovviamente, una definizione analoga
si porrà per gli integrali tripli,
multipli
Prendendo lo spunto da questa
definizione, possiamo proporre
la seguente definizione di misura di
un insieme limitato E di Rm (area o
volume per m = 2, 3)
Diremo misura di E
m(E) =  1  dm
E
Sa quanto abbiamo detto, è chiaro
che se ∂E è trascurabile, allora E
(limitato) è misurabile.
La nozione di misura qui introdotta
si dice misura elementare o di
Peano-Jordan
Si può dimostrare che l’essere ∂E
trascurabile è condizione non solo
sufficiente, ma anche necessaria
per la misurabilità
Infine si può notare che i segmenti
paralleli agli assi in R2, i piani
paralleli ai piani coordinati in R3 e i
grafici di funzioni continue in R2 e in
R3 sono tutti insiemi trascurabili.
Inoltre l’unione finita di insiemi
trascurabili è trascurabile.
Dunque le frontiere dei domini che
usualmente considereremo saranno
trascurabili e i domini misurabili
Ciò detto, torniamo alle formule di
riduzione su certi domini che diremo
normali rispetto agli assi
E  R2 si dice normale rispetto
all’asse x se esistono due funzioni
continue h(x) e k(x) , tali che
E = {(x, y) : a  x  b, h(x)  y  k(x)}
E = {(x, y) : c  y  d,u(y)  x  v(y)}
Si dice normale rispetto all’asse y;
u(y) e v(y) sono funzioni continue
su [c,d]
Analogamente si definiranno i
domini normali rispetto ai piani
x y, y z , z x in R3
Domini normali in R2 e R3
y
k(x)
a
h(x)
x
b
6
4
2
0
-2
-4
0
0.5
-6
1
2
y
1.5
1.5
1
x
0.5
0
2
Supponiamo che f(x,y) sia una
funzione continua su un dominio
E, normale rispetto all’asse x.
Allora esiste l’integrale doppio su
nn rettangolo I  E (perché f è
discontinua su insieme trascurabile);
per ogni x esiste l’integrale su [c,d]
di f(x,y) (perché, assegnato x, f(x,y)
come funzione di y è discontinua al
più in h(x) e k(x)). Perciò l’integrale
doppio si può calcolare come
integrale iterato
b
k( x)
a
h(x)
E f (x, y)dxdy =  (  f (x, y)dy) dx
Per gli integrali tripli
 f (x, y, z)dxdydz =
E
k (x ,y)
= E (  f (x, y, z)dz)dxdy
xy
h(x ,y)
Esempi
Area ellisse;
Volume cono (per sezioni);
Volume ellissoide (per sezioni?);
Ahi!, ahi!..
Momenti d’inerzia..