Appunti di analisi matematica:
Integrale Definito
Il concetto d’integrale nasce per risolvere due classi di
problemi:
• Problema inverso del calcolo della
derivata: nota la derivata di una funzione
calcolare la funzione stessa.
• Applicato ad esempio alle equazioni
differenziali
Integrale Indefinito
Integrale Definito
•
•
•
•
Calcolo delle aree di fig. delimitate da curve
Calcolo di volumi
Calcolo del lavoro di una forza
Calcolo dello spazio percorso …..
Integrale Definito - Calcolo delle Aree

Area del Trapezoide
Vogliamo calcolare l’area della figura mistilinea
determinata dal diagramma di una funzione y = f(x)
definita e continua nell’intervallo [a, b]
y
C
D
A
B
a
b
x
2
Possiamo determinare l’area approssimandola con dei rettangoli
inscritti
Dividendo in n parti l’intervallo [a, b], avremo n rettangoli di base: h = (b – a)/n
e altezza mi = al minimo della funzione in ognuno degli intervalli
mi × h è l’area dello i-esimo rettangolo inscritto
y
Quindi:
C
s =  (mi × h)
D
È l’area del plurirettangolo
inscritto
mi
A
B
a
b
h
x
Analogamente possiamo determinare l’area approssimandola con
dei rettangoli circoscritti
Per determinare l’area S del plurirettangolo circoscritto:
Dividendo in n parti l’intervallo [a, b], avremo n rettangoli di base h = (b – a)/n
e altezza Mi = al massimo della funzione in ognuno degli intervalli
Mi × h è l’area dello i-esimo rettangolo circoscritto
y
Quindi
S =  (Mi × h)
C
D
A
È l’area del plurirettangolo
circoscritto
B
a
b
x
L’area A del trapezoide sarà sempre compresa tra s e S
s =  areaRett.inscritti

S =  areaRett.circoscritti

A
y
C
D
A
B
a
b
x
5
Aumentando il numero dei rettangoli l’approssimazione di S sarà
sempre più precisa.
Considerando un numero di rettangolini via via crescente avremo due
successioni di aree:
 plurirettangoli inscritti
s 1, s 2, … s n, …
 plurirettangoli circoscritti
S1, S2, …Sn,…
che convergono all’area del trapezoide ABCD
Teorema. Se y = f(x) è continua e positiva in [a, b], allora le
successioni delle aree s1, s2, … sn … e S1, S2, …Sn,…
convergono allo stesso limite S uguale all’area del trapezoide
ABCD
lim sn  lim S n  A
n  
n  
Possiamo quindi giungere al concetto d’integrale definito

Integrale Definito
Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b],
Dividiamo l’intervallo [a, b] in n parti
Indichiamo con mi = min f(x) e con Mi = max f(x)
nell’intervallino i-esimo di ampiezza h (*)
1.
2.
3.
sn =AreaPluriRettinscr. =  mih
Sn =AreaPluriRettcirco. =  Mih
ARettcirco. = Mih
ARettinscr. = mih
y
C
Mi
D
mi
A
a
i
h
B
b
x
(*) mi ed Mi esistono
sicuramente per il teorema
di Weierstrass
Allora, indicando con f(xi ) il valore della funzione in
un punto qualsiasi xi dell’intervallo i-esimo:
y
f(xi )
C
Mi
D
mi
A
B
a
Si ha:
xi
b
x
Moltiplicando per h avremo che:
Poiché per quanto visto
y
lim
n
 m  h  lim  M  h A
i
n
i
i
i
Per il teorema del confronto avremo che anche :
f(xi)
C
lim
M
D
n 
i
 f ( x )  h A
i
i
m
i
A
B
a
xi
b
x
9
Allora, possiamo dare la seguente definizione:
Data la funzione y=f(x) continua in [a, b], si dice Integrale
definito di f(x) relativo all’intervallo [a, b] il limite
lim
n
 m  h  lim  M  h  lim  f ( x )  h A
i
i
e si indica con
n
i
i
n
i
i
b

a
f ( x)dx
Proprietà dell’integrale
L’integrale è un operatore lineare:
b
b
a
a
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx
b
b
b
a
a
a
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Integrale Definito - Proprietà

Teorema della Media
Se y = f(x) è una funzione continua nell’intervallo
chiuso e limitato [a, b] allora esiste almeno un punto
c(a, b) tale che:
b
 f ( x)dx  (b  a ) f (c)
a
y
f(c)
Cioè esiste sempre un
rettangolo di base AB e altezza
uguale a f(c) avente la stessa
area del rettangoloide.
C
D
A
B
a
c
b
x

Funzione Primitiva
Il calcolo dell’integrale come limite delle somme indicate,
ancorchè possibile può essere (e nella maggior parte
dei casi lo è) estremamente complesso e per nulla
conveniente, occorre allora trovare un altro sistema per
calcolarlo.
13
Per calcolare quest’area ci serviamo di una
particolare funzione detta funzione Integrale:
Sia y = f(x) funzione continua nell’intervallo [a, b],
consideriamo un punto x variabile (a, b)
x
 f (t )dt
Al variare di x l’integrale
a
è un’area compresa tra a e x e quindi variabile al variare
di x, cioè è una funzione di x che indicheremo con F(x) e
chiameremo funzione integrale
y
f(x)
x
F ( x )   f (t )dt
C
D
a
A
x
a
B
b
x
In particolare
a
Se x = a F ( a )   f (t )dt  0
b
se x = b F (b )   f (t )dt
a
a
La funzione integrale è caratterizzata dal seguente teorema
fondamentale che ci fornirà il metodo per il calcolo dell’area:
Teorema di Torricelli- Barrow
Se y = f(x) è continua in [a, b] allora la funzione
integrale
x
F ( x) 

f (t )dt
a
è derivabile e risulta: F’(x) = f(x);
cioè F(x) è una primitiva di f(x), cioè della funzione
integrale calcolata nell’estremo superiore.

Dim
Consideriamo l’intervallino [x, x+h]:
avremo
x
y
F ( x )   f (t )dt
a
C
xh
D
F ( x  h) 
 f (t )dt
a
A
B
a
x
x+h
b
x
L’incremento di F(x) (area del rettangoloide di base x, x+h) è:
F  F ( x  h )  F ( x ) 
xh
x
a
a
 f (t )dt   f (t )dt
semplificando
F 
xh
x
x
xh
x
xh
a
a
a
x
a
x
 f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt
Per il teorema della media esiste c nell’intervallo [x , x+h] tale che:
xh
F 
 f (t )dt 
f ( c )h
x
Dividendo i termini per h:
F F ( x  h)  F ( x )

 f (c )
h
h
e, passando al limite per h  0,
F ' ( x)  lim
h0
F
F ( x  h)  F ( x)
 lim
 lim f (c)  f ( x)
h
h
h0
h0
Perché è proprio
lim f (c) 
f ( x)
?
h 0
Non dimentichiamo che x < c < x+h per cui se h
0c
x
F
F ( x  h)  F ( x)
F ' ( x)  lim
 lim
 lim f (c)  f ( x)
h
h
h0
h0
h0
Cioè la derivata di F(x) = f(x)
F ' ( x)  f ( x)
18
Ricordiamo che una funzione ammette infinite primitive
che differiscono per una costante reale e costituiscono
una famiglia di infinite curve ottenibili per traslazione
secondo l’asse y.
Se F(x) è una primitiva di f(x) allora
anche
G(x) = F(x) + c  c R è una primitiva di f(x)
e quindi
se F(x) e G(x) sono primitive di f(x) allora
G(x) - F(x) = c
19
Integrale Definito - Proprietà

Calcolo dell’Integrale Definito
Formula di Newton-Leibniz
Finalmente possiamo calcolare l’integrale definito
b
 f (t )dt  area trapezoide
a
Considerando la funzione integrale avremo:
a
x

f (t )dt  G ( x )  c
a
Da cui c =  G(a)
e per x = a
f (t )dt  G ( a )  c  0
a
x


f (t )dt  G ( x )  c  G ( x )  G ( a )
a
b
e per x = b

a
f (t )dt  G(b)  G( a )  G( x )a
b
20
Integrale Definito - Proprietà

Teorema fondamentale del calcolo integrale
L’integrale definito di una funzione continua y=f(x),
calcolato nell’intervallo [a, b], è uguale alla differenza
tra i valori che una qualunque primitiva di f(x) assume
agli estremi superiore e inferiore dell’intervallo
d’integrazione.
b
 f (t )dt  G( x)
b
a
 G(b)  G(a)
a
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