L’INTEGRALE DEFINITO
b
a
f x dx
1
ARGOMENTI
1. Mappa concettuale
2. Le successioni numeriche
3. Il Trapezoide – area del Trapezoide
4. L’integrale definito – def. Di Riemann
5. Funzioni integrabili secondo Riemann
6. Proprietà dell’integrale definito – teorema della media
7. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario
8. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”
9. Applicazioni dell’integrale definito
- Calcolo di aree di domini piani – teorema di Archimede
- Calcolo di volumi - volumi di figure di rotazione
- Lunghezza di un arco di curva
- Calcolo dell’area di superfici di rivoluzione
- Integrali impropri o generalizzati
- Applicazioni del calcolo integrale alla fisica
2
c
CONCETTO
di
LIMITE
»
LA DERIVATA
è il limite
del rapp.increm.
L’INTEGRALE
DEFINITO
è il limite
di una successione
L’INTEGRALE
INDEFINITO
è l’insieme infinito
delle PRIMITIVE
INTEGRALE
DEFINITO
e AREA del
TRAPEZOIDE
TEOREMA
FONDAMENTALE
DEL CALCOLO INTEGRALE
3
LE SUCCESSIONI NUMERICHE
Una successione è una funzione reale di variabile naturale: f: N  R
(Dominio N e Codominio R)
Una successione può essere definita:
1. Mediante la formula che definisce il termine
n-esimo: an = 2n2+1  nN
2. Per ricorrenza, cioè indicando i primi termini e
la legge che lega un termine al precedente:
a0= 0, a1= 1, … , an+2= an+1+an
(a0=0, a1=1, a2=1, a3=2, a4=3, a5=5, a6=8, a7=13,
a8=21 … successione di Fibonacci).
4
LIMITI DELLE SUCCESSIONI
Non ha senso considerare il limite di una successione per n tendente ad un valore finito, ma, essendo il
dominio N illimitato superiormente, è interessante studiare il limite di una successione per n  + .
Definizioni:
1.
Successione convergente: si dice che una successione {an} converge verso l, e si scrive
limanl
n

se    R+ esiste un nN, tale che si verifichi |an-l| < 
1.
 an
con n > n .
Successione divergente: diverge positivamente se
lim
a

n
n


diverge negativamente se
lim
a

n
n


3. Successione indeterminata: si dicono indertminate le successioni che non sono nè convergenti, nè
divergenti.
5
DUE PARTICOLARI SUCCESSIONI
1.
Progressione aritmetica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a 1 e la legge
che definisce i termini successivi nel modo seguente:
a1, a2=a1+d, a3=a2+d, … , an+1=an+d
Il numero reale d prende il nome di ragione.
La somma dei primi n termini è data dalla formula:
2.
n a

a


n
n

1
1
n
S

a

n

a
n
 d
n
k
1

2
2
k

1
Progressione geometrica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a 1 e la legge
che definisce i termini successivi nel modo seguente:
a1, a2=a1q, a3=a2q , … , an+1=anq
Il numero reale q prende il nome di ragione.
n
La somma dei primi n termini è data dalla formula:
1-qn
S

a

a
se
q1
n 
k
1
1
q
k
1
S
n
a
1
n
1 seq
6
IL TRAPEZOIDE
Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a;b] , con a < b, e supponiamo che ivi
sia non negativa.
Definizione: Trapezoide è il quadrilatero mistilineo ABCD delimitato dalla curva γ di
equazione y = f(x), dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y.
7
L’AREA DEL TRAPEZOIDE
Scomponiamo l’intervallo [a;b] in n intervallini parziali qualsiasi, che solo per comodità espositiva
assumiamo uguali, e indichiamo con h l’ampiezza di questi intervalli. Siano mi e Mi , rispettivamente, il
minimo e il massimo dei valori di f(x) nell’iesimo intervallino (mi e Mi esistono per il teorema di
Weierstrass), e consideriamo le seguenti due somme:
n
s

m
h

n
i
i

1
n
S

M
h

n
i
i

1
8
n
s

m
h

n
i
i

1
n
S

M
h

n
i
i

1
sn prende il nome di plurirettangolo inscritto nel trapezoide, ed è la somma delle aree degli n
rettangoli aventi per basi gli intervallini in cui è stato diviso l’intervallo [a;b] e per altezze le ordinate
minime mi della curva in tali intervallini;
Sn prende il nome di plurirettangolo circoscritto al trapezoide, ed è …
Evidentemente sn≤ Sn , qualunque sia n.
Il valore delle somme sn e Sn dipende, evidentemente, dalla scomposizione adottata per [a;b]:
sn e Sn sono due funzioni reali della variabile naturale n, sono cioè due successioni.
Teorema.
Se f(x) è una funzione continua e non negativa in [a;b], le due successioni sn e Sn sono convergenti e
convergono verso lo stesso numero, cioè ammettono lo stesso limite finito per n  +  e risulta:
n
n
lim
m
h

lim
M
h


i
i
i

1
n


i

1
n


Definizione:
Chiamasi area del trapezoide ABCD, delimitato dalla curva di equazione y = f(x), con f(x) ≥ 0,
dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y, il numero che rappresenta il limite comune
per n +  delle somme sn e Sn .
9
L’INTEGRALE DEFINITO
Definizione di integrale definito secondo Riemann:
Data la funzione f(x), continua in [a ; b], con a < b, il valore comune del limite delle successioni sn ed
Sn si chiama integrale definito della funzione continua f(x) esteso all’intervallo [a ; b], e si indica con
la scrittura:
b

f
x
dx

lim
s

lim
S
n
n

n


n


a
Si legge: integrale definito da a a b di f(x) dx .
I numeri a e b si dicono estremi dell’integrale:
a - estremo inferiore, b - estremo superiore.
La funzione f(x) si chiama funzione integranda, la variabile x si chiama variabile d’integrazione.
N.B. In questa definizione non viene fatta l’ipotesi che f(x) sia non negativa in [a ; b].
10
Se per ogni x  [a, b] la funzione f(x) è non negativa e integrabile,
allora
rappresenta l'area dell'insieme: {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}.

dx

0, mentre
Area

4,
sinx



infatti
Area
2sinx
dx

4
0
11
Esempi di calcolo dell’integrale definito.
1.
Considero la funzione f(x) = px + q e calcolo l’integrale definito
b
pxqdx.

a
La f(x) è continua in [a ; b].

ba
m
q
kpx
k1qpak1
n


ba

M
q
kpx
kqpak
n


ba

Siavrà
quindi
: pongo
β

n 

ba
ba
ba
snm
m
...
m

1
2
n
n
n
n
pa
qβpaβqβ...
pan1βqβ
2









npa

p
1

2

...

n

1
β

nq
β

n
pa

q
β

p
β
1

2

...

n

1

(somma
n
n

1


essendo
1

2

...

n

1

di
una
progressio
ne
aritmetica
di
ragione
1)
si
ottiene
:
2

e


b

a
n

1
b

a
n

1

n

n








s

pa

q
b

a

p
analogamen
te
:S

pa

q
b

a

p
 
 
n
n
n
 2
n
 2
2
2
12
Calcoliamo ora l’integrale definito:
b
pxqdx limsn  limSn
a
n

n


b
2
2 n1


n1
ba n
ba n


px

qdx limpa
qbap
 lim
pa
qbap




n

n
2 
n
2 





n




a

b
2
2



n1
b-a
n
n1
b-a
n










 pa
q bap
lim 2
2
 pxqdx paq bap lim
n

n

2
n
2
n
a
b
b-a2

px
qdxpa
qbap

2
n1
n
essendo
lim 2 1 .
n
 n
a
Si può anche scrivere :
b
2






b
a
pa

q

pb

q







px

q
dx

pa

q
b

a

p 
b
a
2
2
a

L’ultima espressione è la formula per l’area del trapezio !
13
Osservazione importante:
L’espressione precedente si può scrivere nel seguente modo:
2
2








pa

q

pb

q
b
a








px

q
dx

b
a

p

qb
p

qa





b
a
2
2

2



Il valore dell’integrale coincide con la differenza agli estremi dell’intervallo
d’integrazione [a ; b] della funzione
2
x








F
x

p

qx
dove
F
x

px

q
dx
è
una
prim
di
f
x

px

q

2
Si può scrivere quindi:
b



px

q
dx
 
b

F
F
a
.

a
Il teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli-Barrow) spiega tale
concetto.
14
2
2.
Considero la funzione f(x) = 2 x e calcolo l’integrale definito
La f(x) è continua in [1 ; 2].
2
x
dx .
1
Dividiamo l’intervallo [1;2] in n parti uguali, mediante i punti
x0, x1, … , xn-1, xn :
ba 1
poichè  , siavrà
:
n n
1
2
n1
x
1,x
1 , x
1 , x
1
, x
2
0
1
2
n

1
n
n
n
n
n

1
sn
2xi
i
0
1
2
n

1
1
2
n

1
1

1

1

 2

1 1
 22 n2 n...
2 n  12n2n...
2n 
n n
 n

1
2
n

1
1
2
n

1
1

 2 n

1 1 1n 1n
2
n
n
n
S
2  2 2 ...
2
2 2 2 ...
2 2

n
n n
i
1
 n

n
xi
Le somme fra parentesi sono quelle di n termini in
progressione geometrica di ragione 21/n , perciò si può
scrivere:
n
1


n
1
1


1

2
1


2
2
1

2
2
1 n


n
n
s
1





2
e
analoga
te
si
ricav
S


2

2
n
n
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
1

2
1

2
1

2
1

2
1

2
15
2
dx

lim
s

lim
S
n
n

n


n


1
2
x
1
1



1




x
n
nn





2
dx
lim

2

lim

2

2

...
De
l'
Hospital
...

2log
e
1
1
2
n


n






n
n
1
 1




2
1

2




 
2
Anche in questo caso osservo che il valore dell’integrale coincide con la
differenza agli estremi dell’intervallo d’integrazione [1 ; 2] della funzione
x
x
x






F
x

2
log
e
dove
F
x

2
dx
è
una
prim
di
f
x

2
2

2
Si può scrivere quindi:




2
dx

2

F
1

F
log
e
2log
2
e

2log
e
.

2 2
2
x
2
1
16
FUNZIONI INTEGRABILI
Teorema
Condizione necessaria affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia limitata in [a; b]
La condizione non è sufficiente.
Esempio: la funzione f(x) sia definita in [a; b] dalla seguente legge:
.
0,
se
x
è
razional



f
x

1,
se
x
è
irrazion
e

Questa funzione, pur essendo limitata in [a; b], ivi non è integrabile secondo Riemann, perché, come
si dimostra facilmente
sn lim
S
lim
n
n


n


Teorema
Condizione sufficiente affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia continua in [a; b] .
Classi di funzioni integrabili:
• Ogni funzione f : [a, b]  R continua è integrabile;
• Ogni funzione f : [a, b]  R limitata e monotona è integrabile;
• Ogni funzione f : [a, b]  R limitata con un numero finito o numerabile di
punti di discontinuità di prima o terza specie è integrabile.
17
18
PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO
Definizioni:
1.
se a < b si pone:
1.
se a = b
Teoremi:
1.
2.
3.
4.
proprietà additiva
5.
6.
b
b
a
a
xdx
f
xdx
f
19
7. Teorema della media
Sia f(x) una funzione continua sull'intervallo [a, b], allora esiste almeno un punto c  [a, b] tale che
(*)
Il valore f(c) si chiama valor medio della funzione nell’intervallo [a ; b].
Dimostrazione: Indicati con m ed M il minimo e il massimo di f(x) in [a ; b], con a < b, si ha:
b


f
x
dx

a
b






m
b

a

f
x
dx

M
b

a
m


M

b

a
a
b
L’espressione
a f  x dx
ba
è un numero compreso fra il minimo m e il massimo M della funzione; per il teorema dei valori
intermedi, esiste almeno un punto c  [a, b] in cui la f(x) assume tale valore, in cui cioè si verifica la (*).
20
Interpretazione geometrica del teorema della media.
Il valore della funzione in c, f(c), è il valore medio della funzione relativamente all’intervallo considerato.
Nota l’analogia con la definizione di media aritmetica ponderata.
In particolare, se la f(x) è non negativa in [a ; b] , l’integrale definito rappresenta l’area del trapezoide e il
valore della funzione in c, f(c), è l’altezza del rettangolo avente per base l’intervallo [a;b] ed equivalente
come area al trapezoide.
21
FUNZIONE INTEGRALE
Fissato x0  [a, b], per funzione integrale si intende la funzione F (x) definita sull'intervallo [a, b]:
Si osservi che la variabile della funzione F(x) è l'estremo superiore dell'intervallo di integrazione.
22
La Funzione Integrale – altra interpretazione grafica
23
TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
(Torricelli-Barrow)
Data una funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], la funzione integrale
x

F
x
t dt
 f
a
è derivabile  x  [a, b], e si ha:
F'(x) = f (x) e F(a) = 0 .
Dimostrazione:
prendo due punti qualsiasi di [a;b], x e x + h, quindi considero il rapporto incrementale della F(x):
x

h
x
x
x

h
x










f
t
dt

f
t
dt
f
t
dt

f
t
dt

f
t
dt









F
x

h

F
x
a
a
x
a

a

per
la
proprietà
additiva

h
h
h
x

h


f
t
dt

x








per
il
teorema
della
media
f
c
con
c

x;
x

h
.
h
24
Calcolo il limite del rapporto incrementale per h  0:




F
x

h

F
x






lim

lim
f
c

f
x
per
l'
ipotes
di
conti
dell
f
x
.
hh
h

0

0


c

x
Quindi ho dimostrato la prima parte della tesi: la F(x) è derivabile e risulta F’(x) = f(x) .
La seconda parte della tesi si dimostra immediatamente essendo:
a




F
a

f
x
dx

0
per
la
definizion
e
N

2
.

a
b



Osservazio
ne
: 
b

f
F
x
dx

a
25
Corollario del Teorema fondamentale del calcolo integrale
Data la funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], φ(x) sia una primitiva di f(x), allora si ha:
b










f
x
dx


b


a

x
a

b
a
Dimostrazione:
Le funzioni F(x) e φ(x) sono due primitive di f(x), quindi differiscono per una costante k, cioè
φ(x) = F(x) + k  φ(x) =


x
 f t dt
a
a
+ k , quindi, poiché
 f tdt0
, si ha:
a


a

k

b
 b






.

f
t
dt

b

a






b

f
t
dt

k
 
a

 a

Regola:
L’integrale definito tra a e b della f(x), continua in [a;b], è dato dalla differenza dei valori
assunti da una primitiva φ(x), rispettivamente, nell’estremo superiore b e nell’estremo inferiore
a dell’integrale stesso.
26
Esempi
:
2
2

e dx  e 
1
3
1  1
1. xdx  x2  41 
2
2 1 2
1
2.
x1
0
x
 e1
0
π4
 0π 4 lncosπ lncos0 ln 2 ln1 ln2
tgxdx
 lncosx
4
2
2
0
3.

4.
3x 2x5dxx x
2
2
3
2

5x1 8410115 9
2
1

1

1
1
π ln2


5. arctgx
dx ... (perparti)... xarctgx
 ln1x2  

2
4
2


0
0


4
6.
x
2
 x
0
3xdx... x 3x0 per x
0x 3...
2
1
2
3


4

3xdx  x 3xdx x2 3x dx
1
0
 
3
2
0
3
4
3 
3  1
3  49
1
 1
  x3  x2  x3  x2  x3  x2 
2 1  3
2 0 3
2 3 6
3
27
x

2
7. Data
lafunzione
F(x)
 sin
(t)dt
,
0
determina,
servendoti
delteorema
diTorricelli
Barrow,
gliintervalli
incuiessavolge
laconcavità
verso
l'alto
.
Risposta
: F(x)
è derivabile
,
quindi
lacondizione
necessaria
e sufficient
e perlaconcavità
verso
l'alto
è cheF''(x)0.
2
F'(x)sin
(x),F''(x)2sinxcosx
;

F''(x)0; 2sinxcosx
0 ; sin2x
0 perkx k
2
e per tali
valori
di x, laconcavità
della
F(x)
è verso
l'alto
.
x
1t
8. Determina
l'equazione
della
rettatangente
algrafico
della
funzione
F(x)

t
4
dt nelpunto
diascissa
x1.
1
1
1t
Risposta
: poichè
F(1)

1
t
4
x
0 e F'(x)
, siha:
1x4
m(x
-1)
y-F(1)
1
 y-0 x1;

2
mF'(1)
1 1
y x .
2 2
28
Grafico della funzione integrale F(x)
Se fosse sempre facile determinare una primitiva di una funzione, per studiare la funzione integrale F(x),
basterebbe determinare una primitiva (x) della f(x), quindi porre F(x) = (x) - (a), come, per esempio:
x
x
1
 1
2 
3
31
F
(
x
)

t
dt

t

x
.


3
3
3


1
1

Questo procedimento non sempre è agevole e conviene tener presente quanto segue.
Il teorema di Toricelli-Barrow afferma che, data una funzione f(x), continua sull'intervallo [a, b],
x

x
t dtè derivabile  x  [a, b], e si ha: F’(x) = f (x) e F(a) = 0 .
la sua funzione integrale F
af
Osserviamo, quindi che:
a.
se f(x) > 0  F(x) è crescente, se f(x) < 0  F(x) è decrescente;
b.
se f(x) = 0  esistono punti stazionari (a tangente orizzontale) par la F(x);
c.
se f(x) è dispari  F(x) è pari;
d.
se f(x) è pari e a = 0  F(x) è dispari.
Dalle due figure seguenti si comprende il significato della condizione ‘ a = 0 ’.
29
30
31
Esempio: studia la funzione
x
2

t

(x
in questo caso non è facile trovare la primitiva! )
F
(
x
)

e dt
con

R
.
0
Poiché
2
f(x) ex
si ha che:
dominio F(x): tutto R;
F(x) > 0 per x > 0 (la funzione integranda è sempre positiva!);
F(x) = 0 per x = 0 ( F(a) = 0), quindi passa per l’origine;
per quanto detto sopra, ai punti a,b,c,d, si ha:
a. F’(x) = f(x) > 0  x R  F(x) è sempre crescente in R;
b. F’(x) = f(x) = 0 per nessun valore di x, quindi F(x) non ha punti stazionari;
d. f(x) è pari e a = 0, quindi la F(x) è dispari.
2
'
'

x
'
'
F
(
x
)


2
xe
; F
(
x
)

0
per

0
,quindi concavità versox
l’alto per x < 0, verso il basso per
x > 0 e punto di flesso discendente nell’origine, con tangente y = x ( y =F’(0)x , con F’(0)=1 ).
Tenuto presente che
2

x
lim
F
'(
x
)

lim
e

0
, si riconosce che le tangenti al grafico di F(x) hanno, al
x



x



tendere di x a ±  , coefficienti angolari sempre più piccoli: ciò suggerisce l’esistenza di due asintoti
orizzontali, uno per x  +  e uno per x  -  .
Da quanto detto, il grafico sarà:
32
π
π
Si
dimostra
che
lim
F(x)


,
cioè
gli
asinto
orizz
i
hann
equ
y


.
x



2
2
Con
metodi
particolar
i,
che
vanno
oltre
il
programma
di
V
liceo
scient.,
si
determ
il valo


2


x
dell'
integrale
di
Gauss
:
e
dx

.
2
0

33
REGOLE DI INTEGRAZIONE
1. Integrazione per parti
Siano f e g due funzioni continue con le derivate f ' e g' continue nell'intervallo [a, b], allora vale:
g(x) si dice fattore finito f '(x)dx si dice fattore differenziale
Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:
34
2. Integrazione per sostituzione
Sia f : [a, b]  R una funzione continua, sia φ : [α, β]  [a, b] una funzione continua e derivabile
con continuità.
Sia inoltre φ: ([α, β] ) = [a, b], allora, preso un qualsiasi intervallo [c, d]  [a, b], esistono due
valori γ, δ tali che c = φ(γ), d = φ (δ) e vale la formula:
Si osservi che l'intervallo [γ, δ] non è univocamente determinato.
Se la funzione φ è invertibile allora l'intervallo [γ, δ] è univocamente determinato, in tal
caso si può scrivere:
Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:
35
Esempio
4
Considero la funzione f(x) = x e l’integrale definito
 xdx .
1
Sia inoltre φ(t) = t2, funzione non invertibile (si deve effettuare una restrizione per renderla invertibile) e sia
x = φ(t), cioè x = t2 e
t  x .
Osservo che l’intervallo di x [1;4] è immagine di quattro intervalli di t:
[1;4] = φ([1;2]) = φ([-1;2]) = φ([1;-2]) = φ([-1;-2]) .
Effettuando la sostituzione x  t2, ( dx = d(t2)  dx = 2tdt ), si ha:
4
2
3
2
3
 

1
1

1

2
3

2
3
15
xdx

2
t
dt

2
t
dt

2
t
dt

2
t
dt

2

1


1
36
4
2
1
1
3
xdx

2
x

 dx
37
4
2
1
-1
3
xdx

2
x

 dx
38
4
-2
3
1
1
 
2
xdx
xdx
39
4
-2
3
1
-1
 
2
xdx
xdx
40
Altro esempio (integrazione per sostituzione)
Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che:
1
2




(a)
f
x
dx

2
e
(b)
f
x
dx


5
.


0
0
Di ciascuno dei seguenti integrali:
1
2
4
1
x
x
x








1.
f
dx
; 2.
f
dx
; 3.
f
dx
; 4.
f
2x
dx
,






2
2
2






0
0
2
0




dire se le condizioni assegnate sono sufficienti per calcolarne il valore e, in caso di risposta affermativa, qual è
questo.
Risoluzione.
Per il primo integrale le condizioni non sono sufficienti, per gli altri si, infatti:
per gli integrali 1, 2, 3, poniamo x/2 = t, cioè x = 2t , dx = 2dt e gli estremi d’integrazione diventano
x = 0  t = 0;
x = 1  t = 1/2;
x = 2  t =1, quindi
41
12
1
x
1. f  dx  2 f t dt  ?
 2
0
0


le condizioni non sono sufficienti per calcolarneil valore!
2
1
x
2. f  dx  2 f t dt  4
 2
0
0


per l'integrale (a).
2
2
0

x
3. f  dx  2 f t dt  2 f t dt  f t dt  2- 2 - 5  -14
 2
 1

2
1
0
per la proprietà additivae per gli integrali (a) e (b).
4




1
4.
 f 2xdx 
poniamo 2x  t, cioè x  t/2, dx  dt/2,
0
con estremi d'integrazione
x  0  t  0, x  1  t  2 )
2

1
5
f t dt  20
2

per l'integrale (b).
42