CORSO DI ANALISI
MATEMATICA
Anno Accademico 2008-09
Università degli Studi di
Salerno Facoltà di Scienze
Matematiche fisiche e
Naturali
Prof Marzullo Pierluigi
Lo studio di una funzione
 Il campo di esistenza
 Le simmetrie
 I punti di intersezione con gli assi
 Il segno della funzione
 Il comportamento agli estremi del C.E.
 Lo studio della derivata prima
 Lo studio della derivata seconda
 La rappresentazione grafica
Studiamo e rappresentiamo graficamente la funzione di
equazione:
25
y  f x   2
.
x  3x  4
Il campo di esistenza
Determiniamo il campo di esistenza
della funzione y 
25
.
2
x  3x  4
Essendo fratta, poniamo il
denominatore diverso da zero:
x 2  3x  4  0  x  1  x  4
Segniamo nel piano cartesiano il C.E.,
escludendo sull’asse x i punti:
x  4 e x  1.
Le simmetrie
Cerchiamo eventuali simmetrie della funzione:
25
f x   2
.
x  3x  4
25
f  x   2
x  3x  4
f (– x) ≠ f (x), la funzione non è pari;
f (– x) ≠ – f (x), la funzione non è dispari.
I punti di intersezione con gli assi
 Intersezioni con l’asse y:
 x  0
 x  0
25
25

y 
y
2


x  3x  4 
4
 Intersezioni con l’asse x:
y  0

25
 nessuna sol.
y 

x 2  3x  4
Il segno della funzione
Poniamo la funzione maggiore di zero:
25
 0  x  4  x  1.
2
x  3x  4
f (x) > 0 per x < – 4 e x > 1;
f (x) < 0 per – 4 < x < 1.
Evidenziamo nel piano le zone in
cui si trova la curva.
Il comportamento agli estremi del C.E.
Studiamo il comportamento intorno a:
– 4, 1, + ∞ e – ∞.
 lim

x  4
25
  
2
x  3x  4
x = – 4 asintoto verticale;
 lim

x 1
25
  
2
x  3x  4
x = 1 asintoto verticale;
25
0
 lim 2
x   x  3 x  4
y = 0 asintoto orizzontale.
Lo studio della derivata prima
Calcoliamo f ' x  di f  x  
f ' x  
 252 x  3
x
25
e studiamone il segno:
2
x  3x  4
0
 3x  4
3
f ' x   0 per x    x  4;
2
3
f ' x   0 per x    x  1.
2
2
2
 3
 2


La funzione ha un massimo nel punto M   ;  4 .
Lo studio della derivata seconda
Calcoliamo f ' ' x , sapendo che f ' x  
f ' ' x  

x

50 3x  9 x  13
2
2
 3x  4

3
Studiamo f ' ' x   0 :
il numeratore è sempre positivo;
f ' ' x   0 per x  4  x  1;
f ' ' x   0 per  4  x  1.
La funzione non ha flessi.
 252 x  3
x
2
 3x  4
2
.
La rappresentazione grafica