Prof. Enrico Sailis – I.I.S. “A. Gramsci E. Amaldi” - Carbonia
STUDIO DI FUNZIONI
Scheda B
| | . Verifica che ammette due punti di flesso. La funzione gode di
Studia e rappresenta la funzione:
particolari simmetrie?
a) Calcola l’area del triangolo formato dalla retta congiungente tali flessi e dalle tangenti inflessionali.
RISOLUZIONE
0;
1f) Campo di Esistenza (C.E.) :
2f) Segno:
,
, in
0 ;
| |
2
,
e
0;
;
0 per
o
0 per
;
| |
2
Risolviamo graficamente questa disequazione. A tal fine studiamo e rappresentiamo graficamente le due funzioni al
| |.
primo e al secondo membro:
e
La prima funzione è una parabola con vertice nell’origine del sistema di riferimento, che volge la concavità verso l’alto.
Non faremo altro che rappresentarla graficamente tracciando la curva che passa nei suoi punti (-2; 2), (-1; 1/2), (0; 0),
(1; 1/2), (2; 2) come si verifica immediatamente.
Studiamo ora la funzione:
| |
0 ;
1i) C.E. :
2i) Segno:
!
0 ;
| |
0 ;
!
;
| |
0
!
| |
0;
| |
| |
0
1;
1
#
1
;
0 ; da quanto precede, per esclusione risulta:
3i) Simmetrie: !
|
0 per
1$
1
è pari
|
| | ;
% !
pari.
4i) Asintoti: x=0
Orizzontali e obliqui
| |
lim)*+
m
∞
| |
lim
∞
Nessun asintoto orizzontale
∞
F. I.
∞
)*+
Per il calcolo del limite precedente applichiamo il teorema di De L’Hospital
m
lim
012| |
)*+
Verticali
lim)*7
3
| |
lim
)*+
0
4
5
0
6
08
∞
Nessun asintoto obliquo
∞
x = 0 è un asintoto verticale
5i) Massimi e minimi: nessuno
9
9
6
| |
1
· ;| |
6
| |
·|
|
0
x
6
++++++++++++++ x-----------------
9
Andamento di i(x)
6i) Concavità:
99
0
1
x
++++++++++++++ x++++++++++++
99
Andamento di i(x)
<=| |
7i) Grafico di !
| | dal punto in cui l’avevamo interrotto,
Arrivati a questo punto riprendiamo lo studio della funzione
ovvero dallo studio del segno. Studieremo ora graficamente il segno della funzione.
| | sullo stesso piano cartesiano; se il grafico della parabola (in
Disegniamo la parabola
e la curva
verde) è sopra quello della curva logaritmica (in rosso) in un certo insieme I delle x, significa che la funzione
| |
0 per ogni x di quell’insieme I, in quanto per ogni >? il valore
| | dunque
| |
| |
| | cioè
è minore del valore
0.
In virtù delle precedenti considerazioni, possiamo dedurre dal
grafico qui a fianco che:
a) La
, in
,
e
,
, dove
e
sono i valori medi degli intervalli [-1; -0,5] e [0,5; 1]
e
sono state
rispettivamente. Le radici della equazione
6
assunte con una approssimazione inferiore a , ovvero
A
0 per:
7
7>
B 0,75
6
A
;
6
0,75
A
E $
e non vi sono altri zeri all’infuori di
b)
0 per
c)
0 per
7>
6
o
con
F
B0,75
.
6
A
0 per ogni x di quell’insieme G, in quanto per ogni
| | dunque
grafici della parabola e della funzione logaritmica la funzione
| |
| | cioè
0; se il grafico della parabola è sotto quello della curva logaritmica in un certo
insieme G delle x, significa che la funzione
>@ il valore
è maggiore del valore
; 0,75
6
A
E
| |
0; nei punti di intersezione dei
0 in quanto per detti punti
| | cioè
3f) Simmetrie:
è pari
0
|
| =
| | Dunque si ha:
%
pari.
4f) Asintoti:
Orizzontali e obliqui
lim
*+
I
| |H
G
∞
| |H
lim G
*+
6
∞
∞
12| |
= lim G
*+
∞
+
H =∞
+
∞ %
nessun asintoto orizzontale;
= F.I.
+
Calcoliamo separatamente, con il teorema di De L’Hospital, il limite che si presenta in forma indeterminata :
+
lim
12| |
*+
3
lim
4
5
0 , dunque
*+ 6
m = lim G
*+
12| |
H =∞
0
∞ %
Nessun asintoto obliquo
Verticali
lim
*7
| |H = 0
G
∞ =
∞
è un asintoto verticale
5f) Massimi e minimi: Nessuno
6
9
Segno di
86
=
86
9
Numeratore:
1
:
0 J >K
Poiché il numeratore è sempre positivo, il segno del quoziente è dato dal segno del denominatore, pertanto si ha:
0
x
------------------- x++++++++++++
9
Andamento di f(x)
6f) Concavità:
9
L
· 0M
86N·6
=
0
06
=
06
;
99
06
Poiché il denominatore è sempre positivo, il segno del quoziente è dato dal segno del numeratore, dunque si ha:
-1
0
1
x
+++++++++++++ 0--- x---0++++++++++++
99
Andamento di f(x)
6
6
Vi sono due flessi: O6 G 1; H F O G1; H
<=| |
7f) Grafico di
(a)
Occupiamoci ora delle tangenti inflessionali, ovvero delle rette tangenti nei punti di flesso. Indichiamo con P6 , P le
tangenti al grafico della curva rispettivamente nei punti O6 e O .
P6 :
P :
9
1
1
9
1
1
1
1 ;
6
;
6
2
2
1 ;
1 ;
2
2
2
6
;
2
6
2
2
;
Q
Q
Per calcolare l’area del triangolo formato dalla retta passante per i flessi e le tangenti P6 e P , applichiamo la formula:
(base x altezza)/2. Assunta come base il lato orizzontale O6 O , l’altezza risulta uguale alla distanza del punto
Q
), l’area cercata è data da:
d’intersezione di P6 e P dalla retta O6 O . Poiché P6 e P si intersecano in P(0;
Area del triangolo = E · G
FINE
R
HB / = 2.