I limiti
 La definizione:
lim f x   l
x  x0
 Il significato della definizione
 La verifica
 Applicazione: la ricerca degli asintoti di
una funzione
La definizione:
lim f x   l
x  x0
Data una funzione f x , con x0
punto di accumulazione per il
dominio, si dice che:
lim f x   l
x  x0
( l reale)
se per ogni ε  0 esiste un intorno
I di x0 tale che:
f x   l  ε
per ogni x  I , x  x0 .
Il significato della definizione
Fissiamo nel grafico un ε  0 .
Individuiamo un intorno I di x0
tale che:
f (x)  ] l – ε ; l + ε [
per ogni x  I , x  x0 .
Se riduciamo ε siamo costretti
a scegliere un intorno di x0
più piccolo.
Più piccolo scegliamo ε, più
piccolo diventa l’intorno I.
In ogni caso troviamo sempre
un intorno di x0 tale che
per ogni x di quell’intorno
f (x) è molto vicino a l.
La verifica
x2  9
Verifichiamo che lim
 6.
x 3 x  3
x2  9
 Tracciamo il grafico y 
.
x 3
 Proviamo che scelto ε  0,
esiste un intorno I di 3 per ogni x
del quale (escluso al più 3) vale:
x2  9
6  ε
x 3
x2  9
 6 ε  x  3  ε  x  3 
x 3
3–ε<x<3+ε  x3
In conclusione:
considerato l’intorno di 6:
]6 – ε ; 6 + ε [
esiste l’intorno I di 3:
I = ]3 – ε ; 3 + ε [
i cui punti x (x ≠ 3) hanno
immagine nell’intorno di 6.
La ricerca degli asintoti di una funzione
 Asintoto
La retta r è detta asintoto del
grafico della funzione f (x) se:
la distanza PH di un generico
punto P(x; f (x)) da tale retta
tende a zero quando l’ascissa o
l’ordinata del punto tendono a
infinito, cioè:
PH  0
per x → ∞ oppure
per f (x) → ∞ .
L’asintoto verticale
Data la funzione y = f (x), se:
lim f x   
x c
si dice che la retta x = c è
asintoto verticale del grafico
della funzione.
L’asintoto orizzontale
Data la funzione y = f (x), se:
lim f x   q
x 
si dice che la retta y = q è
asintoto orizzontale del grafico
della funzione.
L’asintoto obliquo
Data la funzione y = f (x), se:
lim [ f x   (mx  q)]  
x 
si dice che la retta y = mx + q è
asintoto obliquo del grafico della
funzione.
f x 
m  lim
;
x 
x
q  lim [ f x   mx].
x 