Definizioni fondamentali
• Un intorno di un punto x = x0 è un intervallo I che contiene x0 .
Un intorno destro (per semplicità lo chiamiamo x+
0 ) di x0 è un intervallo in
cui l’estremo sinistro è x0 : tutti i punti dell’intorno destro sono più grandi di
x0 .
Un intorno sinistro (lo chiamiamo x−
0 ) di x0 è un intervallo in cui l’estremo
destro è x0 : tutti i punti dell’intorno sinistro sono più piccoli di x0 .
• Il limite di f (x) quando x tende a x0 è il valore cui si avvicina la funzione f (x)
quando viene valutata in punti di un intorno di x0 sempre più piccolo.
Scriviamo: lim f (x) per indicare tale limite. Il punto x0 può essere un nux→x0
mero reale x0 ∈ R oppure +∞ o −∞. Quando scriviamo x → +∞ intendiamo
dire che x diventa sempre più grande, illimitato positivamente. Quando scriviamo x → −∞ intendiamo dire che x diventa sempre più piccolo, illimitato
negativamente. Possiamo avere:



L∈R
è un numero reale, finito





 +∞
esiste ma non è finito, ed è positivo
lim f (x) =
x→x0


−∞
esiste ma non è finito, ed è negativo





 non esiste
se non vale nessuna delle precedenti
• Il limite destro è il limite che si ottiene quando la x tende a x0 solo da valori
maggiori, cioè studio il variare di f (x) in un intorno destro di x0 e scrivo:
lim+ f (x)
x→x0
Il limite sinistro è il limite che si ottiene quando la x tende a x0 solo da valori minori, cioè studio il variare di f (x) in un intorno sinistro di x0 e scrivo:
lim− f (x)
x→x0
• Il limite per x che tende a x0 (in un intorno generico, non solo destro o solo
sinistro) esiste se e solo se il limite destro e sinistro esistono finiti e coincidono:
lim f (x) = L
x→x−
0
lim f (x) = L
x→x+
0
In questo caso, lim f (x) = L.
x→x0
• Una funzione è continua in un punto x0 se valgono le seguenti condizioni:
1. Esiste il limite in x0 ed è finito: lim f (x) = L ∈ R
x→x0
2. Il valore L del limite coincide col valore della funzione in quel punto x0 :
L = f (x0 )
1
• I polinomi, le funzioni esponenziali e logaritmiche, le funzioni trigonometriche e
le radici sono funzioni continue in tutti i punti del loro dominio di definizione.
• La somma, il prodotto e la composizione di funzioni continue è una funzione
continua.
• Se f (x) è continua in x0 allora per calcolare il limite di f (x) per x che tende
a x0 basta valutare f in x0 : lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Studio di Funzione
Studiamo la seguente funzione
f (x) =
3x − 1
x+5
indicando in particolare:
1. dominio
2. segno
3. intersezione con gli assi
4. limiti particolari e asintoti
Svolgimento.
1. Il dominio è il sottoinsieme di R su cui è possibile valutare/calcolare la funzione
(o, equivalentemente, su cui la funzione esiste).
Nel nostro caso, f (x) non si può calcolare solo quando il denominatore x + 5
è nullo. Quindi troviamo il caso in cui x + 5 = 0 ed escludiamolo dal dominio:
x + 5 = 0 se x = −5 quindi il dominio di f (x) è D = R − {−5}.
2. Il segno si trova intersecando il segno del numeratore con quello del denominatore:
3x − 1 è positivo quando x > 13 , è nullo quando x = 31 e negativo altrimenti
x + 5 è positivo quando x > −5 e negativo altrimenti (il caso x = −5 è stato
escluso dal dominio). Il grafico del segno è
2
3. L’intersezione con l’asse x si ricava dallo studio del segno, prendendo le ascisse
in cui f (x) = 0, quindi nel nostro caso c’è una sola intersezione nel punto
P ( 31 , 0). In generale, il grafico di una funzione può intersecare l’asse delle
ascisse anche in più punti.
L’intersezione con l’asse y si ricava calcolando (quando è possibile) il valore di
f (0). Nel nostro caso, dato che 0 ∈ D (il dominio contiene x = 0), abbiamo
che f (0) = − 51 quindi l’intersezione con l’asse delle y (che, se c’è, è sempre
una sola) è il punto Q(0, − 15 ).
4. I limiti interessanti da studiare sono quelli ai bordi del dominio. Nel nostro
caso, dobbiamo studiare i seguenti 4 limiti
il limite a −∞: lim f (x)
x→−∞
il limite a +∞: lim f (x)
x→+∞
il limite intorno a −5 da sinistra:
il limite intorno a −5 da destra:
lim f (x)
x→−5−
lim f (x)
x→−5+
Calcoliamone uno alla volta, accompagnando il calcolo con alcune osservazioni utili.
3x − 1
x→−∞ x + 5
lim f (x) = lim
x→−∞
Notiamo che quando x tende a −∞, sia il denominatore che il numeratore ten∞
dono a −∞, quindi il limite è una forma indeterminata del tipo ∞
.
Dato che la funzione è un quoziente di polinomi, risolvo il limite mettendo in
evidenza il termine di grado più alto al numeratore e il termine di grado più alto al
denominatore.
In questo caso, entrambi hanno grado 1 quindi metto in evidenza una x al numeratore e al denominatore.
x 3−
3x − 1
lim
= lim
x→−∞ x + 5
x→−∞
x 1+
1
x
= posso semplificare le x =
5
x
1
x
= lim
5
x→−∞
1+
x
3−
=
= posso sfruttare il limite notevole
1
→ 0 se x → −∞
x
3−0
=3
1−0
OSSERVAZIONE: il limite per x che tende a −∞ è un numero finito (cioè 3):
lim f (x) = 3
x→−∞
3
quindi diciamo f (x) ha un ASINTOTO ORIZZONTALE a −∞ alla retta y = 3.
ESERCIZIO. Il limite all’altro estremo lim f (x) si risolve in modo analogo e
x→+∞
puoi farlo da te, per esercitarti!!!!
Dedichiamoci adesso ai due limiti intorno a x = −5.
Prima di tutto, una osservazione fondamentale: il limite è interessante perché in
x = −5 la funzione non esiste più (il denominatore si annulla). Inoltre, in x = −5 la
funzione non è continua (ovvio, non esiste). Vuol dire anche che vicino a x = −5 il
valore della funzione è un numero (diverso da zero) diviso un numero molto piccolo,
ovvero il valore della funzione vicino a x = −5 diventa sempre più grande (sempre
più vicino a +∞ o −∞).
ESERCIZIO. Prova a calcolare la funzione in x = −5.8, −5.5, −5.2 e in
x = −4, −4.5, −4.8 e convinciti che lı̀ intorno la funzione ”scoppia”.
Da questa osservazione sperimentale, concludiamo che quando un numero x (o
1
1
oppure
) tende
una espressione p(x)) tende a zero, allora il suo reciproco (
x
p(x)
a +∞ se x o p(x) è positivo (se tende a 0+ ) e tende a −∞ se x o p(x) è negativo
(se tende a 0− ).
Dato che il valore intorno a x = −5 tende ad essere enorme negativo o enorme
positivo, allora è sufficiente guardare il segno della f (x) per capire che quando x è
vicino a −5 e più piccolo, allora lim − f (x) = +∞ (perché la funzione è positiva
x→−5
prima di −5).
Per gli stessi motivi, dato che la funzione è negativa dopo −5, possiamo dire che
lim + f (x) = −∞.
x→−5
Dato che intorno a x = −5 (dove la funzione non è definita) i limiti destro e
sinistro sono infiniti, allora diciamo che f (x) ha un ASINTOTO VERTICALE alla
retta x = −5.
ESERCIZIO. Studiare le seguenti funzioni
1 − 5x
f (x) =
x−2
1 + x2
f (x) =
2x − 2
indicando in particolare:
1. dominio
2. segno
3. intersezione con gli assi
4. limiti particolari e asintoti
4
GLI ASINTOTI
Sono rette a cui il grafico di f (x) si accosta o a +∞ o a −∞ (sono possibili asintoti
orizzontali od obliqui) o nei punti di non esistenza (asintoti verticali). Richiamiamo
qui le definizioni, che servono per trovarli o per dimostrare che non ci sono.
1. Asintoto verticale alla retta x = x0 per esempio se lim f (x) = −∞
x→x0
2. Asintoto orizzontale alla retta y = c per esempio a −∞ se lim f (x) = c
x→−∞
3. Asintoto obliquo alla retta y = mx + q per esempio a +∞ se



lim f (x) = +∞



 x→+∞
f (x)
=m
lim

x→+∞ x




 lim f (x) − mx = q
x→+∞
ESEMPI SOLTANTO di asintoti verticali e orizzontali
1 − 3x
ha un asintoto orizzontale a +∞.
(1) Dire se la funzione f (x) = 2
2x + 1
Vediamo che 2x2 + 1 non si annulla mai quindi la funzione è definita su tutto R.
Controlliamo il valore di lim f (x):
x→+∞
1
x
−3
1 − 3x
x
= posso semplificare la x al num. con una sola x al denom =
lim
= lim
x→+∞ 2x2 + 1
x→+∞
1
2
x 2+
x
1
−3
1
= posso sfruttare il limite notevole → 0 se x → +∞
= lim x
x→+∞
1
x
x 2+
x
−3
=0
x→+∞ 2x
= lim
perché se x tende a +∞ allora
1
x
tende a 0
Quindi concludiamo che c’è un asintoto orizzontale alla retta y = 0 (l’asse x).
Scopri cosa succede a −∞. C’è un altro asintoto? Se sı̀, a quale retta?
(2) Dire se la funzione f (x) =
1 − 3x
ha un asintoto verticale.
4 − x2
Il dominio di f (x) è R−{−2, +2} quindi possibili asintoti verticali sono in x = −2
e x = 2. Controlliamo cosa succede, studiando i limiti (destro e sinistro) intorno a
±2 e aiutandoci col segno di f (x).
5
Il segno di f (x) è il seguente (controlla!!!):
f (x) > 0 se −2 < x < 31 o x > 2
f (x) = 0 se x = 13
f (x) < 0 se x < −2 o 31 < x < 2.
1 − 3x
è infinito perché il numeratore tende a un numero finito
x→−2 4 − x2
mentre il denominatore tende a zero. Dato che in un intorno sinistro di −2 la f (x)
1 − 3x
= −∞.
è negativa, allora lim −
x→−2 4 − x2
Per motivi analoghi, dato che il segno di f quando x tende a −2+ è positivo, si
1 − 3x
= +∞.
deduce che lim +
x→−2 4 − x2
Quindi concludiamo che f (x) ha un asintoto verticale a x = −2.
Il limite lim −
Studia autonomamente il comportamento intorno a x = 2.
Quanti asintoti verticali possiede il grafico della funzione f (x)?
(3) Dire se la funzione f (x) =
x3 − 2x + 3
ha un asintoto orizzontale a −∞.
2x2 + 1
Il dominio della funzione è R. (Perché?)
x3 − 2x + 3
Cosa succede a −∞? Il limite lim
è in forma indeterminata del
x→−∞
2x2 + 1
tipo ∞
perché lim x3 − 2x + 3 = −∞ e lim 2x2 + 1 = +∞. Quindi, di nuovo,
∞
x→−∞
x→−∞
mettiamo in evidenza i termini di grado più alto al numeratore e al denominatore,
poi semplifichiamo ciò che è possibile e sfruttiamo i limiti già noti:
3
2x
x 1− 3 + 3
x3 − 2x + 3
x
x
lim
= lim
=
2
x→−∞
x→−∞
1
2x + 1
2
x 2+ 2
x
3
2
x 1− 2 + 3
x
x
= lim
=
1
x→−∞
2+ 2
x
1−0
1
= lim x ·
= −∞ · = −∞
x→−∞
2+0
2
3
Dato che il limite per x che tende a −∞ non è un numero finito, allora il grafico
di f (x) non possiede un asintoto orizzontale a −∞.
6
ESERCIZI.
1. Studiare le seguenti funzioni f (x) indicando in particolare:
• il campo di esistenza
• il segno
• i punti di intersezione con gli assi
• i limiti interessanti
• gli eventuali asintoti orizzontali o verticali
• il grafico approssimativo
x−1
2 − 2x2
x2 (x − 1)
(b) f (x) =
2−x
x − 3x2 +
(c) f (x) =
6x − 2
2
9x + 1
(d) f (x) = 2 1
x −4
(a) f (x) =
1
4
2. Scrivi le definizioni di asintoto orizzontale e verticale per una funzione f (x) e
determina la loro eventuale presenza per la funzione
f (x) =
x3 + x − 1
(x − 1)(x − 2)
3. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l’unica corretta.
2x − 1
La funzione f (x) = 3
interseca l’asse delle ascisse nel punto:
x +5
A
P (−1, 0)
B
M (0, − 51 )
C
Q( 12 , 0)
D
N (0, 21 )
4. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l’unica corretta.
x − 2x2
Il lim
x→+∞ 2x2 − 2
A
vale -1
B
vale 0
C
non esiste
D
vale −∞
5. Scrivi la definizione di asintoto verticale per una funzione f (x) e determina la
loro eventuale presenza per la funzione
f (x) =
x2 − 2x − 3
(x + 23 )(5x + 2)
7
6. Scrivi come si trovano i punti di intersezione con gli assi per il grafico di una
funzione f (x) e determina la loro eventuale presenza per la funzione
ex − 1
f (x) = √
x+9
7. Spiegare quando una funzione f (x) è continua e dire se la funzione

 x + ex
se x ≥ 0
f (x) =
 1 x2 + 1 se x < 0
2
è continua in tutti i punti del suo dominio e perché.
8. La retta y =
A
B
C
D
5
è asintoto orizzontale a −∞ per la funzione:
3
x5 + 5
y=
3
+2
x
5x + 1
3x2 + 1
5x3 + 5x
3x3 + 2
5x
x+3
9. La funzione f (x) =
5x2 + 2
è positiva nell’insieme:
2x − 4
A
(0, 2)
B
(2, +∞)
C
(−∞, 2]
D
vale (4, +∞)
10. Su quale insieme è negativa la funzione f (x) =
x+1
?
+ 3x + 2
−2x2
x2 − 2x
2x
−
x→+∞ 3 − x2
x+1
11. Calcolare lim
12. La funzione f (x) =
5x2 − 4x − 7
possiede
x2 − 9
A
nessun asintoto
B
un asintoto verticale
C
due asintoti verticali e uno orizzontale
D
un asintoto orizzontale
8
ASINTOTI OBLIQUI
Una funzione f (x) possiede un asintoto obliquo alla retta y = mx + q per esempio
a +∞ se il grafico di f (x) a +∞ si avvicina a quello di una retta (obliqua, quindi
non parallela a nessuno dei due assi cartesiani). Questo tipo di asintoto si può avere
solo a +∞ o a −∞. Se c’è un asintoto obliquo a +∞, non ci può essere un asintoto
orizzontale a +∞ e viceversa.
Perché esista un asintoto obliquo alla retta y =
esser verificate le seguenti tre condizioni:







esiste un asintoto obliquo se e solo se






mx + q per esempio a +∞ devono
(i) lim f (x) = +∞
x→+∞
f (x)
=m
x→+∞ x
(iii) lim f (x) − mx = q
(ii) lim
x→+∞
ESEMPI di studio di asintoti obliqui
5x3 + 1
ha un asintoto obliquo a +∞ e a quale retta.
x2 − x − 3
Verifichiamo una alla volta le tre condizioni di definizione dell’asintoto obliquo.
1
3
x 5+ 3
5x3 + 1
x
=
(i) lim f (x) = lim 2
= lim
x→+∞
x→+∞ x − x − 3
x→+∞
3
x
x2 1 − 2 − 2
x
x
1
x 5+ 3
5x
x
= +∞
= lim
= lim
3
1
x→+∞
x→+∞ 1
1− − 2
x x
(1) Dire se la funzione
Osserviamo che la proprietà (i) garantisce che NON ci siano asintoti orizzontali
(altrimenti il limite sarebbe finito). Quindi ci può essere un asintoto obliquo,
se e solo se valgono anche (ii) − (iii).
f (x)
=
x→+∞ x
(ii) lim
5x3 + 1
5x3 + 1
=
lim
=5
x→−∞ x(x2 − x − 3)
x→+∞ x3 − x2 − 3x
lim
Perché? Completalo da solo!
Dato che la condizione (ii) è vera (il limite è finito, quindi m = 5), allora possiamo
dire che c’è un asintoto obliquo, alla retta y = 5x + q. Rimane soltanto da determinare q, con la condizione (iii):
9
(iii) lim f (x) − mx =
x→+∞
5x3 + 1
(5x3 + 1) − 5x(x2 − x − 3)
−
5x
=
lim
=
x→−∞ x2 − x − 3
x→+∞
x2 − x − 3
lim
5x3 + 1 − 5x3 + 5x2 + 15x
=
x→+∞
x2 − x − 3
= lim
5x2 + 15x + 1
= lim
=5
x→+∞ x2 − x − 3
Perché? Completalo da solo!
Quindi q = 5 e l’asintoto obliquo a +∞ è la retta y = 5x + 5.
x4 + 1
ha un asintoto obliquo a −∞ e a quale retta.
(2) Dire se la funzione
3−x
Come prima, verifichiamo una ad una le tre condizioni.
1
4
x 1+ 4
x4 + 1
x
=
(i) lim f (x) = lim
= lim
x→−∞
x→−∞ 3 − x
x→−∞
3
x
−1
x
1
3
x 1+ 4
x3
−∞
x
= lim
= lim
=
= +∞
3
x→−∞
x→−∞ −1
−1
−1
x
La funzione quindi non ha asintoti orizzontali a −∞. Verifichiamo la condizione
(ii).
1
4
x 1+ 4
x4 + 1
x4 + 1
f (x)
x
= lim
= lim
=
lim
(ii) lim
x→−∞ x(3 − x)
x→−∞ 3x − x2
x→−∞
x→+∞ x
3
−1
x2
x2
1
x2 1 + 4
x2
x
= lim
= lim
= −∞
3
x→−∞
x→−∞ −1
−
1
x2
Dato che il limite (ii) non è finito, vuol dire che NON CI SONO ASINTOTI
OBLIQUI, perché non riesco a trovare un valore finito per l’eventuale coefficiente
angolare m.
10
ESERCIZI.
1. Studiare le seguenti funzioni f (x) indicando in particolare:
• il campo di esistenza
• il segno
• i punti di intersezione con gli assi
• i limiti interessanti
• gli eventuali asintoti orizzontali, obliqui o verticali
• il grafico approssimativo
x2 − 1
x+3
x(x + 1)
(b) f (x) =
3x2 − 9
(x − 1)2 (x + 1)
(c) f (x) =
(x − 2)(x − 5)
1 − 4x
(d) f (x) = 2
5x − 75
(a) f (x) =
2. L’asintoto di equazione y = mx + q, per la funzione f (x), rappresenta:
A
una retta inclinata cui la funzione si avvicina quando x → +∞
B
una retta inclinata che non può mai intersecare il grafico di f (x)
C
una retta inclinata con m = f 0 (x0 ) per qualche punto x0
D
una retta inclinata con q = lim
x→+∞
f (x)
x
3. Scrivi la definizione di asintoto obliquo per una funzione f (x) e determina la
sua eventuale presenza per la funzione
f (x) =
x4 − x
x3 − x − 2
4. Discutere l’esistenza di asintoti obliqui per la funzione
5. La funzione f (x) =
2x3 − x2
.
x2 + 1
x3
possiede
x2 − 9
A
un asintoto obliquo e uno orizzontale
B
due asintoti verticali e uno obliquo
C
due asintoti verticali e uno orizzontale
D
un asintoto orizzontale
6. Quale delle seguenti funzioni possiede un asintoto obliquo?
4x − x3
2x2 − 8x
A
f (x) =
B
f (x) =
2+x
3+x
C
f (x) =
4x2 − 3x
2 + x2
D
11
f (x) =
2x − 3
x2 + 7
LIMITI NOTEVOLI CON ESPONENZIALI
La funzione esponenziale a base maggiore di 1 è definita su R, continua, crescente e
positiva. Prendiamo come funzione esempio quella la cui base è il numero di Nepero
e ∼ 2.718: f (x) = ex .
I limiti notevoli da ricordare sono i seguenti (ai bordi del dominio, quindi a +∞ e a
−∞:
lim ex = 0 quindi ex ha un asintoto orizzontale all’asse x (y = 0) a −∞
x→−∞
lim ex = +∞ quindi ex non ha un asintoto orizzontale a +∞
x→+∞
Fondamentali sono i limiti che confrontano ex con i polinomi.
Consideriamo un polinomio p(x) di grado qualsiasi. Ecco i principali risultati che
ora non dimostriamo ma che sono utilissimi da ricordare.
(1) ex ”va a +∞” più velocemente di ogni polinomio:

 +∞ se il coefficiente del termine di testa di p(x) è positivo
x
e
lim
=
x→+∞ p(x)
 −∞ se il coefficiente del termine di testa di p(x) è negativo
p(x)
=0
x→+∞ ex
lim
(2) Ecco cosa succede a −∞:
ex
=0
x→−∞ p(x)
lim

p(x)  +∞ se il coefficiente del termine di testa di p(x) è positivo
lim
=
x→−∞ ex
 −∞ se il coefficiente del termine di testa di p(x) è negativo
Vediamone degli esempi.
2ex
• lim
= +∞
x→+∞ 5x − 1
2ex
= −∞
x→+∞ 2 − 3x
• lim
x2480 − 548x3 + 1
=0
x→+∞
7ex
• lim
−5ex
ex
=
lim
(−5)
·
= (−5) · (−∞) = +∞
x→+∞ 2x − 6x3
x→+∞
2x − 6x3
• lim
2x4 − 3x2 + 1
= +∞
x→−∞
5ex
• lim
1 − x5
= −∞
x→−∞ 2ex
• lim
x2480 − 548x3 + 1
= −∞ perché il coefficiente di ex è negativo
x→+∞
1 − 7ex
• lim
−5ex
• lim
=0
x→−∞ 2x5 − 6x3
12