Presentazione di Chan Yi & Festa Andrea
• Data una funzione y=f(x) di dominio D
 di R sia x0 ∈ D e sia ∆x tale che
x0+∆x ∈ D si definisce f’(x0) ( la derivata
prima nel punto x0 e si scrive:
lim
∆→0
(0 + ∆ − (0)
∆
Il rapporto tra l’incremento della funzione e l’incremento corrispondente è detto
rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto  e all’incremento
∆.
Si ottiene che la derivata di una funzione   in
un punto 0 è il limite, se esiste, del rapporto
incrementale, al tendere a zero dell’incremento
dato dalla variabile indipendente.
• Si può inoltre trovare
solamente la derivata
sinistra e derivata
destra.
In simboli si avrà:
lim
(0 + ∆ − (0)
= _′(0)
∆
lim
(0 + ∆ − (0)
=  + ′(0)
∆
∆→0−
∆→0+
N.B. :
Si noti che una funzione è derivabile in 0 se e solo se le due derivate,
sinistra e destra, esistono finite e uguali tra loro.
Supponiamo che f(x) sia derivabile nel punto 0 , cioè che in 0
esista finita la derivata.
Se facciamo tendere il valore di h a zero ( nel nostro caso ∆)
ovvero con valori di h sempre più piccoli, il punto Q si avvicinerà
sempre più a P e la posizione della retta secante PQ tenderà ad
avvicinarsi sempre più a quella della retta t tangente al grafico
y=f(x) nel punto P come mostrato nella figura sotto.
Si ha così che, se f(x) è derivabile in 0 , la derivata della funzione
in x0 è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di
f(x) nel suo punto d’ascissa x0.
Nel caso particolare in cui la derivata in x0
è nulla, cioè ’(0) = 0, la retta tangente
al grafico della funzione nel punto
 (0; (0)) risulta parallela all’asse x.
Definizione:
si dice punto stazionario per la funzione f(x)
un punto x0 in cui la derivata
della funzione è nulla x=x0 punto stazionario
per  = () ↔  ′ 0 = 0
N.B. :
Si dice punto a tangtente orizzontale, se la derivata della funzione  
è uguale a 0 nel punto (0; (0))
1- Se la funzione non è
derivabile in x0 perché la sua
derivata in 0 è +∞ o −∞,
allora la tangente al grafico
nel punto esiste ed è parallela
all’asse y perché non è
definito il coefficiente
2-Se la funzione ha 0 un punto interno
angolare uguale a ∞.
all’intervallo in cui è definita, si avrà un
punto di flesso a tangente verticale.
3- Se la funzione, non derivabile in 0 ,
per la quale la derivata destra è +∞ la
derivata sinistra è −∞, la tangente
esiste ed è parallela all’asse y e avrà
quindi un equazione  = 0 . Di
conseguenza nel punto (0; (0)) è un
punto di cuspide.
4-Se la funzione, non derivabile
in 0 , perché ammette derivata
sinistra e derivata destra finite
diverse tra loro, si avrà una
semiretta, tangente a sinistra, di
coefficiente angolare ’_(0 ) e
una semiretta, tangente a
destra, di coefficiente angolare
’ + (0 ). Di conseguenza nel
punto (0 ; (0)) è un punto
angoloso.
Curiosità: Il punto di
cuspide è considerato un caso
particolare di punto angoloso.
Se una funzione è derivabile
in un intervallo I, il suo
grafico è dotato, in ogni
punto di I, di retta
tangente non parallela
all’asse y: è quindi intuitivo
che la funzione risulti
continua.
Definizione:
Se una funzione y=f(x) è derivabile in un punto
x0, cioè ammette derivata finita in x0, allora
la funzione è continua in x0
Sia  = () = , dove c è una costante
Bisogna fare il rapporto incrementale relativo a un
generico valore della variabile x è zero
In formule:
∆   + ∆ − ()  − 
0
=
=
=
=0
∆
∆
∆
∆
Si ha quindi y = c
y’=0
La derivata di una costante è zero.
Derivata della variabile indipendente:
 =  → ′ = 1
Derivata di  =   con  ∈ 0
 =   →  ′ =  −1
Derivata di y=√
=  →  ′ =
Derivata di y=∛
3
=  →
′
=
1
2 
1
3
Derivata di  =  
3 2
 =   →  ′ =   log 
Derivata di  = ℯ 
 =  → ′ =  
′
1
1
=   =

 ∗ log 
Derivata di  = log()
 =   →
Derivata di  = ()
 =   →  ′ = cos 
 = cos  →  ′ = − sin 
Derivata di  = cos()
Definizione:
La derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla
somma delle derivate delle funzioni stesse.
 =   +   →  ′ =  ′  + ′ 
Per dimostrare che è veramente così bisogna fare il rapporto
incrementale della funzione da derivare, relativo
A un punto generico x del suo insieme di definizione.
N.B.:
Abbiamo evitato di fare la dimostrazione per la mancanza di
tempo e per il suo procedimento lungo.
Definizione:
La derivata della differenza
di due funzioni derivabili è
uguale alla differenza delle
derivate delle funzioni
stesse.
 =   −   →  ′ =  ′  − ′ 
Per la sua dimostrazione è
analoga a quella vista con la
somma.
N.B.
La derivata della somma/differenza algebrica
di più funzioni derivabili è la somma/differenza
algebrica delle derivate delle singole funzioni.
 =   ±   ± ℎ() →  ′ =  ′  ± ′  ± ℎ()
Definizione:
La derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto della
derivata della prima funzione per la seconda, aumentato del prodotto
della prima funzioni per la derivata dalla seconda.
 =   ∗   →  ′ =  ′  ∗   +   ∗ ′ 
Per la dimostrazione bisognerà anch’essa fare il rapporto
incrementale relativo a un generico punto x del suo insieme di
definizione e a un generico incremento ∆
 =   ∗  → ′ =  ′  ∗ 
N.B:
La derivata del prodotto di una costante
per una funzione è uguale al prodotto
della costante per la derivata della
funzione
La derivata del prodotto di più di due funzioni
derivabili è uguale alla somma dei prodotti della
derivata di ciascuna funzione per tutte le altre
non derivate.
 =   ∗   ∗ ℎ  →  ′ ==  ′  ∗   ∗ ℎ  +   ∗ ′  ∗ ℎ  +   ∗   ∗ ℎ′()
Definizione:
La derivata del quoziente di
due funzioni derivabili ( con la
funzione divisore
diversa da zero nei punti nei
quali si calcola la derivata), è
uguale a una frazione che ha
per
denominatore il quadrato
della funzione divisore e per
numeratore il prodotto tra la
derivata
del dividendo e il divisore
diminuito del prodotto del
dividendo per la derivata del
divisore.
′  ∗   −   ∗ ′()
()

=
→ ′ =
()
[  ]2
1
′()
′
=
→ =−
()
[  ]2
Somma:
 =  3 +  + 7 →  ′ = 3 2 + 1 + 0 = 3 2
Differenza:

 = sin() − cos( ) − cos( ) →  ′ = cos( ) − −sin( ) − 0 = cos( ) + sin()
8
Prodotto:
 =  ∗ log  →  ′ = 1 ∗ log  +  ∗
1

Quoziente:
2
2
2 − 1
2

+
1
−
2
−
1
∗
2
−2
+ 2 + 2
′
= 2
→ =
=
 +1
( 2 + 1)2
( 2 +1)2
Risoluzione esercizi esempio: DERIVE
Grafico esercizi esempio: GEOGEBRA 4
Studio di funzione completo: DERIVE
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