Presentazione di Chan Yi & Festa Andrea
• Data una funzione y=f(x) di dominio D
𝑠𝑜𝑡𝑡𝑜𝑖𝑛𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒 di R sia x0 ∈ D e sia ∆x tale che
x0+∆x ∈ D si definisce f’(x0) ( la derivata
prima nel punto x0 e si scrive:
lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
Il rapporto tra l’incremento della funzione e l’incremento corrispondente è detto
rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto 𝒙𝒐 e all’incremento
∆𝒙.
Si ottiene che la derivata di una funzione 𝑓 𝑥 in
un punto 𝑥0 è il limite, se esiste, del rapporto
incrementale, al tendere a zero dell’incremento
dato dalla variabile indipendente.
• Si può inoltre trovare
solamente la derivata
sinistra e derivata
destra.
In simboli si avrà:
lim
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0)
= 𝑓_′(𝑥0)
∆𝑥
lim
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0)
= 𝑓 + ′(𝑥0)
∆𝑥
∆𝑥→0−
∆𝑥→0+
N.B. :
Si noti che una funzione è derivabile in 𝑥0 se e solo se le due derivate,
sinistra e destra, esistono finite e uguali tra loro.
Supponiamo che f(x) sia derivabile nel punto 𝑥0 , cioè che in 𝑥0
esista finita la derivata.
Se facciamo tendere il valore di h a zero ( nel nostro caso ∆𝑥)
ovvero con valori di h sempre più piccoli, il punto Q si avvicinerà
sempre più a P e la posizione della retta secante PQ tenderà ad
avvicinarsi sempre più a quella della retta t tangente al grafico
y=f(x) nel punto P come mostrato nella figura sotto.
Si ha così che, se f(x) è derivabile in 𝑥0 , la derivata della funzione
in x0 è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di
f(x) nel suo punto d’ascissa x0.
Nel caso particolare in cui la derivata in x0
è nulla, cioè 𝑓’(𝑥0) = 0, la retta tangente
al grafico della funzione nel punto
𝑃 (𝑥0; 𝑓(𝑥0)) risulta parallela all’asse x.
Definizione:
si dice punto stazionario per la funzione f(x)
un punto x0 in cui la derivata
della funzione è nulla x=x0 punto stazionario
per 𝑦 = 𝑓(𝑥) ↔ 𝑓 ′ 𝑥0 = 0
N.B. :
Si dice punto a tangtente orizzontale, se la derivata della funzione 𝑓 𝑥
è uguale a 0 nel punto 𝑃(𝑥0; 𝑓(𝑥0))
1- Se la funzione non è
derivabile in x0 perché la sua
derivata in 𝑥0 è +∞ o −∞,
allora la tangente al grafico
nel punto esiste ed è parallela
all’asse y perché non è
definito il coefficiente
2-Se la funzione ha 𝑥0 un punto interno
angolare uguale a ∞.
all’intervallo in cui è definita, si avrà un
punto di flesso a tangente verticale.
3- Se la funzione, non derivabile in 𝑥0 ,
per la quale la derivata destra è +∞ la
derivata sinistra è −∞, la tangente
esiste ed è parallela all’asse y e avrà
quindi un equazione 𝑥 = 𝑥0 . Di
conseguenza nel punto (𝑥0; 𝑓(𝑥0)) è un
punto di cuspide.
4-Se la funzione, non derivabile
in 𝑥0 , perché ammette derivata
sinistra e derivata destra finite
diverse tra loro, si avrà una
semiretta, tangente a sinistra, di
coefficiente angolare 𝑓’_(𝑥0 ) e
una semiretta, tangente a
destra, di coefficiente angolare
𝑓’ + (𝑥0 ). Di conseguenza nel
punto (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0)) è un punto
angoloso.
Curiosità: Il punto di
cuspide è considerato un caso
particolare di punto angoloso.
Se una funzione è derivabile
in un intervallo I, il suo
grafico è dotato, in ogni
punto di I, di retta
tangente non parallela
all’asse y: è quindi intuitivo
che la funzione risulti
continua.
Definizione:
Se una funzione y=f(x) è derivabile in un punto
x0, cioè ammette derivata finita in x0, allora
la funzione è continua in x0
Sia 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥, dove c è una costante
Bisogna fare il rapporto incrementale relativo a un
generico valore della variabile x è zero
In formule:
∆𝑦 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥) 𝑐 − 𝑐
0
=
=
=
=0
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥
Si ha quindi y = c
y’=0
La derivata di una costante è zero.
Derivata della variabile indipendente:
𝑦 = 𝑥 → 𝑦′ = 1
Derivata di 𝑦 = 𝑥 𝑛 con 𝑛 ∈ 𝑁0
𝑦 = 𝑥 𝑛 → 𝑦 ′ = 𝑛𝑥 𝑥−1
Derivata di y=√𝑥
𝑦= 𝑥 → 𝑦 ′ =
Derivata di y=∛𝑥
3
𝑦= 𝑥 →
𝑦′
=
1
2 𝑥
1
3
Derivata di 𝑦 = 𝑎 𝑥
3 𝑥2
𝑦 = 𝑎 𝑥 → 𝑦 ′ = 𝑎 𝑥 log 𝑎
Derivata di 𝑦 = ℯ 𝑥
𝑦 = 𝑎𝑥 → 𝑦′ = 𝑒 𝑥
𝑦′
1
1
= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑒 =
𝑥
𝑥 ∗ log 𝑎
Derivata di 𝑦 = log(𝑥)
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥 →
Derivata di 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 → 𝑦 ′ = cos 𝑥
𝑦 = cos 𝑥 → 𝑦 ′ = − sin 𝑥
Derivata di 𝑦 = cos(𝑥)
Definizione:
La derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla
somma delle derivate delle funzioni stesse.
𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 → 𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑥 + 𝑔′ 𝑥
Per dimostrare che è veramente così bisogna fare il rapporto
incrementale della funzione da derivare, relativo
A un punto generico x del suo insieme di definizione.
N.B.:
Abbiamo evitato di fare la dimostrazione per la mancanza di
tempo e per il suo procedimento lungo.
Definizione:
La derivata della differenza
di due funzioni derivabili è
uguale alla differenza delle
derivate delle funzioni
stesse.
𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 → 𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥
Per la sua dimostrazione è
analoga a quella vista con la
somma.
N.B.
La derivata della somma/differenza algebrica
di più funzioni derivabili è la somma/differenza
algebrica delle derivate delle singole funzioni.
𝑦 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ± ℎ(𝑥) → 𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑥 ± 𝑔′ 𝑥 ± ℎ(𝑥)
Definizione:
La derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto della
derivata della prima funzione per la seconda, aumentato del prodotto
della prima funzioni per la derivata dalla seconda.
𝑦 = 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 → 𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔′ 𝑥
Per la dimostrazione bisognerà anch’essa fare il rapporto
incrementale relativo a un generico punto x del suo insieme di
definizione e a un generico incremento ∆𝑥
𝑦 = 𝑓 𝑥 ∗ 𝑐 → 𝑦′ = 𝑓 ′ 𝑥 ∗ 𝑐
N.B:
La derivata del prodotto di una costante
per una funzione è uguale al prodotto
della costante per la derivata della
funzione
La derivata del prodotto di più di due funzioni
derivabili è uguale alla somma dei prodotti della
derivata di ciascuna funzione per tutte le altre
non derivate.
𝑦 = 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 ∗ ℎ 𝑥 → 𝑦 ′ == 𝑓 ′ 𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 ∗ ℎ 𝑥 + 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔′ 𝑥 ∗ ℎ 𝑥 + 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 ∗ ℎ′(𝑥)
Definizione:
La derivata del quoziente di
due funzioni derivabili ( con la
funzione divisore
diversa da zero nei punti nei
quali si calcola la derivata), è
uguale a una frazione che ha
per
denominatore il quadrato
della funzione divisore e per
numeratore il prodotto tra la
derivata
del dividendo e il divisore
diminuito del prodotto del
dividendo per la derivata del
divisore.
′ 𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔′(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑓
𝑦=
→ 𝑦′ =
𝑔(𝑥)
[𝑔 𝑥 ]2
1
𝑔′(𝑥)
′
𝑦=
→𝑦 =−
𝑔(𝑥)
[𝑔 𝑥 ]2
Somma:
𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 + 7 → 𝑦 ′ = 3𝑥 2 + 1 + 0 = 3𝑥 2
Differenza:
𝜋
𝑦 = sin(𝑥) − cos( 𝑥) − cos( ) → 𝑦 ′ = cos( 𝑥) − −sin( 𝑥) − 0 = cos( 𝑥) + sin(𝑥)
8
Prodotto:
𝑦 = 𝑥 ∗ log 𝑥 → 𝑦 ′ = 1 ∗ log 𝑥 + 𝑥 ∗
1
𝑥
Quoziente:
2
2
2𝑥 − 1
2
𝑥
+
1
−
2𝑥
−
1
∗
2𝑥
−2𝑥
+ 2𝑥 + 2
′
𝑦= 2
→𝑦 =
=
𝑥 +1
(𝑥 2 + 1)2
(𝑥 2 +1)2
Risoluzione esercizi esempio: DERIVE
Grafico esercizi esempio: GEOGEBRA 4
Studio di funzione completo: DERIVE