differenziale,
gradiente,
matrice Jacobiana
y = f(x) non lineare
y
f(xo)
0
xo
x
k
differenziale di
f
in
Xo
df( XoL(h)
)
f(Xo+h)
Df( Xo)(h)
f(Xo)
Xo
h
Xo+h
h
Df ( X o ) (h)  f ( X o  h)  f ( X o )
funzione differenza di
f
in
Xo
L : Rn
lineare
Rm
DL( X )(h)  LL
L(((Xh
X)hL
)
(hL) (XL) ( X)
pj : Rn
R
p j ( x1 , ... , x n ) : x j
Dp D
Xj )(h)  p j (h)  h j
j (x
dx j (h)  h j
dx j (h)  h j
f : Rn
R
df ( X )(h)  a1h1  ...  a n h n
df ( X )(h)  a1 dx1 (h)  ...  a n dx n (h)
f : R (a1 dx1 R... (na=n 1dx
) n )(h)
f 'o( xdx
) dx
df ( X ) df
 a( x1 dx
a n dx n
o
o) 
1 a ...
f:R
R
df ( x o )  f ' ( x o ) dx
df ( x o )
f ' (x o ) 
dx
f : Rn
notazione di
Leibnitz
R
df ( X o )  a1 dx1  ...  a n dx n
f ( X o )
derivata parziale
aj 
rispetto ad xj
 xj
f : Rn
R
df ( X o )  a1 dx1  ...  a n dx n
f ( x o )
derivata parziale
aj 
rispetto ad xj
 xj
f ( X o )
f ( X o )
df ( X o ) 
dx1  ... 
dx n
o  x1
o  x1
df ( X )  f ( X )  dX
 f ( X o )
f ( X o )
f ( X o ) : 
, ... ,
x n
 x1
GRADIENTE di f in Xo



df(Xo)
Xo
f(Xo)
f(X ) := potenziale elettrico in X
f
2
R
R
campo scalare
Q
f(a1 , a2)
a1
a2
P
A
B
punto di minimo
0
0
punto di massimo
PUNTO DI SELLA
y
Xo
massimo

punto di  minimo
 sella


O
f ( Xo )  0
punto stazionario
x
f :R  R
n
campo scalare
df ( X o ) : R  R
n
M df ( X ) 
 f ( X o )

 x1
trasformazione lineare
f ( X o )

x 2
f ( X o ) 

x n 
n
R
n
R
M(
f
df(Xo)
campo vettoriale
m
R
m
R
f  ( f1 , f 2 , ..., f m )
matrice Jacobiana
di f in Xo
trasformazione lineare
 f ( X ) 



f
(
X
)

f
(
X )
o

x
 . . . . . . .... ... .

 f ( X )
 f ( X o x) 
  f1 ( X o )

1

x
1

 f (X )
df(X
Jf(Xoo)) ) ==  2 o2
  x1
 .....
 f (X )
 m o
  x1 m
 f1 ( X o )
o x
2
2
o
.....
.....
2
m
o
2
.....
.....
 f1 ( X o ) 

 xn

 f2 ( X o ) 

 xn

..... 
 fm ( X o ) 

 xn 
f
R
R
df(to)
campo vettoriale
m
R
m
R
f  ( f1 , f 2 , ..., f m )
trasformazione lineare
 f1 ' ( t o ) 


 f2 ' (t o ) 
M( df(to) ) = 




 fm ' (t o ) 
n=1
to
f :R R
3
f(R)
f (to)
f :R R
ttoo+ h
3
f(R)
f (to+ h)
Df (h )
f (to)
f :R R
ttoo+ h
3
f(R)
f (to+ h)
Df (h )
f (to)
to+ h
f :R R
3
f(R)
f (to+ h)
Df (h )
f (to)
to+ h
f :R R
3
f(R)
f (to+ h)
Df (h )
f (to)
to+ h
f :R R
3
f(R)
f (to+ h)
Df (h )
h
f (to)
to+ h
f :R R
3
f(R)
Df (h )
h
f (to+ h)
f (to)
to+ h
f :R R
3
f(R)
Df (h )
h
f (to+ h)
f (to)
to+ h
f :R R
3
f(R)
Df (h )
lim
h 0
h
f (to)
to+ h
f :R R
3
f ( t )  x ( t ) , y( t ) , z ( t ) 
f ' ( t )  x ' ( t ) , y ' ( t ) , z ' ( t ) 
f(R)
f ' (t o )
velocità
istantanea
f (to)
' ( t)
(Xt )
f (X )
D(f  )( t )   f ( X )   ' (t )
d(f  )(t ) f ( X ) d1 ( t )
f ( X ) d n ( t )




dt
x1
dt
x n
dt
regola della catena
R
n
R
f
R
integrali ed
equazioni differenziali
f ( X )  f ( x o )  df ( x o )  df (x1 )  df (x 2 )  df (x 3 )  
y
n
'x(ix)()x
dx
f (X ) 
 f (x o )  
)
 dff(df
X
x
i 0 o
integrale definito
di
f ' (x)
tra
xo
ed
X
f(xo)
0
xo
x1
x2
x3
x
n
'x(ix)()x
dx
f (X ) 
 f (x o )  
)
 dff(df
X
x
i 0 o
X
x
o
f ' (x) dx  f ( X )  fc(x o )
c R
insieme delle primitive di
 f ' ( x ) dx
integrale indefinito di
f'
f'
Un’applicazione:
oggetto in moto rettilineo
t:
spazio percorso dopo un tempo
velocità media tra gli istanti
to
s( t )
to+h
e
s( t o  h )  s( t o )
h
velocità istantanea nell’istante
to
:
:
s( t o  h )  s( t o )
 s ' (t o )
v( t o )  lim
h
h0
Un’applicazione:
oggetto in caduta libera con velocità iniziale nulla
g
velocità raggiunta dopo un tempo t :
v(t) = g t
spazio percorso dopo un tempo t : s(t) ?
accelerazione di gravità costante:
s ' (x)  g x
t
t
t
s( t )  0 s' ( x) dx   g x dx g  x dx
0
0
t
2
x 
t
 g   g
2
 2 0
2
1 2
s( t )  g t
2
Esercizio
Calcolare la derivata della funzione:
f ( x ) : log | x |
Per la regola della catena :
1
1 |x|
1
f ' (x) 
 D| x | 


|x|
|x| x
x
1
D log | x | 
x
x R  { 0}
1
D log | x | 
x

x R  { 0}
1
dx  log | x |  c
x
CRESCITA
DI UNA POPOLAZIONE ISOLATA
IN UN AMBIENTE CON RISORSE ILLIMITATE
( ad esempio: batteri in coltura )
x(t) =
numero di batteri vivi nell’istante
variazione
t
Dx nell’intervallo Dt :
Dx  r x Dt
tasso di crescita
tasso di natalità  tasso di mortalità
CRESCITA
DI UNA POPOLAZIONE ISOLATA
IN UN AMBIENTE CON RISORSE ILLIMITATE
( ad esempio: batteri in coltura )
x(t) =
numero di batteri vivi nell’istante
variazione
Dx nell’intervallo Dt :
lim Dxx'  r x
Dt  0
Dt
t
EQUAZIONE DIFFERENZIALE
dx
x  rx
dt

dx
 r dt
x
log| x |  r t  c
rrct t r ct
x|xx|
c1eee e
x  c1e
rt
G ( t)  c1e
rt
INTEGRALE GENERALE
condizione iniziale :
F(0)  c1e  c1
r0
F(t )  F(0) e
rt
INTEGRALE PARTICOLARE
DECADIMENTO
RADIOATTIVO
N(t) = nuclei radioattivi nell’istante t
variazione
DN nell’intervallo Dt :
DN   k N Dt
lim DNN'   k N
Dt  0
Dt
N ( t )  N ( 0) e
(k>0)
k t
 f ( x )  g( x )  dx   f ( x ) dx   g( x ) dx
 c f ( x ) dx  c  f ( x ) dx
d(f  g)  f  dg  g  df
 d(f  g)   f  dg
  g  df
f

dg

f

g

g

df


integrazione per parti
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pagina 387 a pagina 390
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y
F( b)  F(a ) 
n 1
 dF( t
i)
i 0
y = f(x)
rettangoloide
di
a
f
su
[a, b]
b
x
y
F( b)  F(a ) 
n 1
 dF( t
i)
i 0
y = f(x)
a
b
x
y
F( b)  F(a ) 

nb
1
dtF)(dt
t )
f
(

a
i
i 0
y = f(x)
a
b
x
y
b
a
f ( t ) dt 
c
a
b
c
f ( t ) dt  f ( t ) dt
additività
a
a
a
b
a
f ( t ) dt  0
c
a
b
f ( t ) dt   f ( t ) dt
b x
Teorema della media
Soluzioni degli
esercizi proposti
a pagina 404
Soluzioni degli esercizi
proposti a pagina 472
Polinomi di Taylor
f
"( xxo ) )
f
2
(
x
Tn f (x)  f ( x o )  f ' ( x o )(x  x o ) 
o( x  x o )   
n
infinitesimo di ordine
polinomio di Taylor di
Se
f
f
n2
per
di ordine
(n )
(x o )
n
(x  x o )
! x
x che tende nad
o
n
con punto iniziale
è una funzione differenziabile in
xo
xo
, allora :
f (x)  f (x o )  f ' (x o )(x  x o )
f (x)  f (x o )  f ' (x o )(x  x o )  a 2 ( x  x o )2   a n ( x  x o )n
infinitesimo
di ordine 1
derivata di ordine
infinitesimo
di ordine 2
k
ak 
f
(k )
(x o )
k!
infinitesimo
di ordine
n
Esempio
xo = 0
f ( k )( x o )
(x  x o )k
k!
f(x) = sin x
0
0
f ' ( x )  cos x
1
x
f " ( x )   sin x
0
0
x3

3!
f ' ' ' ( x )   cos x
1
f IV( x )  sin x
0
0
1
x5
5!


f ( x )  cos x
V

Esempio
f ( k )( x o )
(x  x o )k
k!
xo = 0
f(x) = sin x
0
Polinomi di Taylor
x
T1f (x)  x
T2f (x)  x
x3
T3f ( x )  x 
6
x3
T4f ( x )  x 
6
3
5
x
x
T5f ( x )  x 

6 120

0
x3

3!
0
x5
5!
