Fisica dei biliardi e caos
Il battito d’ ali di una farfalla puo’
scatenare un uragano ?
Studio della dinamica caotica:
una storia recente (XX sec - oggi)
La meccanica classica e il
determinismo
•
a = F/m ; posizione e velocita’ iniziale
• "Noi dobbiamo riguardare il presente stato dell'universo come
l'effetto del suo stato precedente e come la causa di quello che
seguirà. Ammesso per un istante che una mente possa tener
conto di tutte le forze che animano la natura, assieme alla
rispettiva situazione degli esseri che la compongono, se tale
mente fosse sufficientemente vasta da poter sottoporre questi
dati ad analisi, essa abbraccerebbe nella stessa formula i moti
dei corpi più grandi dell'universo assieme a quelli degli atomi più
leggeri. Per essa niente sarebbe incerto ed il futuro, così come il
passato, sarebbe presente ai suoi occhi.”
• Pierre Simon de Laplace (1749-1827) "Essai
philosophique sur les probabilites",
Sistemi dinamici caotici
• L’ evoluzione temporale, anche se
governata da equazioni deterministiche,
dipende in modo sensibilissimo dalle
condizioni iniziali.
Semplificare la complessita’:
biliardi ideali come prototipo di sistemi caotici
• Dai biliardi reali…
… a quelli ideali
Il modello
• boccia puntiforme (nessuna rotazione)
• tavolo e bordi lisci (zero attrito)
• urti perfettamente elastici
Fisica degli urti
Urto elastico <=> conservazione dell’ energia
|v’| = |v|
Zero attriti <=> forze perpendicolari ai bordi
v’// = v //
=>
v’ = - v
Fisica degli urti
Fisica degli urti
L’ algoritmo
dati x,y,vx,vy al tempo t
calcolare :
– tempo per la prossima collisione
– punto di impatto
– velocita’ dopo l’urto (riflessione)
Iterare N volte (N collisioni)
Tempo per la prossima collisione
x(t) = x0 + vx t
y(t) = y0 + vy t
parete:
f(x,y)=0
al tempo di collisione tc:
f(x(tc),y(tc))=f(x0 + vx tc, y0 + vy tc)=0
Esempio (parete rettilinea)
x0=-0.5, y0=0.5, vx=2, vy=2
quando avverra’ l’ urto con l’ asse y=0 ?
equazione:
y0 + vy tc =0
da cui
tc = - y0/vy
=>
tc = - 0.25
Esempio (parete circolare)
equazione:
[x( tc) - xc]2 + [y ( tc) - yc]2 = 1
ovvero
(x0 + vx tc - xc)2 + (y0 + vy tc - yc)2 = 1
=> 0, 1 o 2 soluzioni:
• (0 sol.) non urta
• (1 sol.) urto tangente
• (2 sol.) urto (prendere tc maggiore)
i
Nuova velocita’ dopo l’ urto
Parete circolare
(x - xc )2 + y2 = 1
v’x = (y2 - (x-xc)2) vx - 2 (x - xc)y vy
v’y = - 2 (x-xc) y vx + ((x - xc)2 - y2) vy
(valida se vx2 + vy2 = 1 )