Onde d’Urto Corso di Aerodinamica e Gasdinamica A.A. 2013/2014 Docente: Prof. Renato Ricci Equazione Conservazione attraverso superfici di discontinuità n1 L’ipotesi di continuità del campo fluidodinamico fatta fin qui può non essere sempre valida. Nel volume considerato possono esistere discontinuità dr ε isolate; per convincersene basti pensare alla superficie di separazione fra un n mezzo ed un altro (aria ed acqua ad esempio): attraverso tale superficie la σ densità è discontinua. Esistono altri casi in cui non ci sono vere proprie discontinuità ma variazioni rapide in regioni di estensione limitata le quali possono essere trattate per ε comodità come discontinuità. In tutti e due i casi citati le equazioni di conservazione devono essere sempre soddisfatte. Nel seguito sarà trattata l’equazione di conservazione di n2 una generica grandezza “x” attraverso una superficie di discontinuità. Si consideri il caso in figura dove attraverso la superficie σ una o più grandezze siano discontinue ma siano continue sulle due “facce” di questa superficie. Sia dA l’area dell’intorno del punto P appartenente a σ. xd φ x nd xd t L’equazione di conservazione per la generica grandezza “x” viene applicata al cilindro retto di base dA= π(dr)2, con l’asse lungo la direzione del versore n, di altezza 2 ε. Il cilindro è simmetrico rispetto alla superficie σ. Flusso Convettivo Produzione + Flusso Diffusivo Equazione Conservazione attraverso superfici di discontinuità xd t φ x nd xd x dA dz φ x n 1 φ x n 2 xdz 2 dr φ x n dz 0 3 t Consideriamo il caso in cui ε → 0 Se il flusso totale sulla superficie laterale del cilindro retto è finito allora l’ultimo termine è nullo. Il secondo ed terzo termine tendono ai valori dei flussi normali calcolati sulle facce della superficie σ. Nei due integrali in dz si hanno due possibilità: • integrando finito che implica il limite tendente a zero; • integrando di opportuna “forma” tale che il limite sia finito (in questo caso l’integrando deve essere infinito). Il caso di “accelerazione” locale infinita viene escluso. La produzione della grandezza “x” può essere molto intensa in alcune regioni dello spazio di modo che per ε → 0 l’integrale della produzione possa essere finito: lim xdz xs 0 Equazione Conservazione attraverso superfici di discontinuità x dA dz φ x n 1 φ x n 2 xdz 2 dr φ x n dz 0 3 t φx 1 φx 2 n = = 0 0 In definitiva avremo che : φx 1 φx 2 n xs n φ φx 1 φx 2 n n φx xs Tale relazione è detta relazione di discontinuità e rappresenta le condizioni che devono essere necessariamente soddisfatte attraverso una superficie di discontinuità a patto che i flussi e le accelerazioni siano finite. Superfici di discontinuità fluidodinamica Tutte le possibili superfici di discontinuità per un gas a composizione costante e due gdl termodinamici devono necessariamente soddisfare la conservazione della massa, della quantità di moto e dell’energia totale nella loro forma discontinua. Si assuma l’ipotesi di trascurabilità degli effetti dissipativi. un comp. normale alla superficie di discontinuità n normale alla superficie di discontinuità f f 2 f1 discontinuità della grandezza f n φx xs φm u un 0 φu u u pI un u pn 0 2 u 0 φ E uH un h 2 Urti Normali In fluidodinamica con il termine onda d’urto si intende un sottile strato di fortissima variazione delle proprietà termofluidodinamiche. Si definisce onda d’urto normale l’urto che si forma in direzione ortogonale alla direzione del moto. Nel tratto di campo di moto che interessa l’urto normale il moto è assolutamente non reversibile e, pertanto, non può essere considerata valida l’ipotesi di moto isoentropico. L’urto può essere modellato matematicamente come una superficie di discontinuità alla quale applicheremo le relazioni di discontinuità appena ricavate. un 0 1u1 2u2 2 u 0 h10 h20 T10 T20 un h 2 A monte e a valle dell’urto il campo di moto è isoentropico quindi possono essere utilizzate le relazioni per tale categoria di flussi. T10 1 2 1 M1 T1 2 T20 1 2 1 M2 T2 2 1 1 2 M 12 T2 T1 1 1 2 M 2 2 Urti Normali p1 p2 T2 p2u2 p2 M 2 T2 u1 u2 RT1 RT2 T1 p1u1 p1M 1 T1 p2 M 1 T2 p1 M 2 T1 Introducendo il rapporto delle temperature fra monte e valle dell’urto è possibile ricavare a questo punto, in maniera banale, il rapporto delle pressioni il quale risultata funzione dei rispettivi numeri di Mach e del rapporto trai i calori specifici. M1 1 1 2 M12 p2 p1 M 2 1 1 2 M 2 2 E’ possibile ottenere il numero di Mach a valle dell’urto, noto esclusivamente quello di monte, a partire dalla relazione dei salto della quantità di moto. Tuttavia bisogna tener presente che: p p 2 u M RT M a RT RT 2 2 pkM 2 Urti Normali Dalla relazione di salto della quantità di moto si ottiene che: φu u u pI un u pn 0 p1 1u12 p2 2u22 u 2 pkM 2 p1 1 kM12 p2 1 kM 2 2 Utilizzando la relazione fra la pressione a monte e valle dell’urto si ottiene: M1 1 1 2 M12 p2 2 2 p1 1 kM 2 1 kM 2 M 2 1 1 2 M 2 2 1 kM12 1 kM 12 M2 1 M12 2 2 M 12 1 Urti Normali Le relazioni appena ricavate possono essere rappresentate su un grafico in funzione del solo numero di Mach a monte dell’urto. Il flusso a valle dell’urto è sempre subsonico; il numero di Mach a valle dell’urto diminuisce all’aumentare del Mach a monte dell’urto. Inoltre, il rapporto fra pressione, densità e temperatura a valle dell’onda d’urto e i rispettivi valori di monte sono maggiori di uno e sono crescono all’aumentare del numero di Mach di monte. La pressione di ristagno a cavallo di un’onda d’urto normale (contrariamente a quanto accade nei processi isoentropici non si conserva) diminuisce all’aumentare del numero di Mach a monte dell’urto. Relazione di Prandtl L’equazione dell’energia per flussi isoentropici può essere scritta in termini di velocità del suono 1 2 RT u 2 RT * a*2 h u const 2 1 2 1 2 a2 u2 1 *2 a 1 2 2 1 La relazione di salto per la q.d.m. può essere riscritta nel seguente modo: p1 p2 a12 a22 p1 u p2 u u1 u2 u1 u2 1u1 2 u2 u1 u2 2 1 1 2 2 2 Sostituendo l’equazione dell’energia scritta in velocità del suono nell’ultima relazione ricavata si ottiene: 1 a*2 1 1 a*2 1 u1 u1 u2 u2 2 u1 2 2 u2 2 Da cui: u2 u1 a u2 u1 u1 u2 *2 Relazione di Prandtl u u a 2 1 u2 u1 u1 u2 *2 u1 u2 *2 a u1 u2 Soluzione banale Relazione di Prandtl Una formulazione equivalente per la relazione Prandtl prevede l’introduzione del Mach critico: numero di Mach calcolato rispetto alla velocità sonica allo stato critico. M 1* M 2* 1 Un espressione per il Mach critico in funzione del Mach “classico” si può ricavare dall’equazione dell’energia in termini di velocità del suono. a2 u2 1 *2 1 1 1 1 1 *2 a M 1 2 2 1 2 M 2 1 1 M 2 2 2 1 M *2 Ricordando l’equazione di salto per la massa attraverso l’urto normale si può ricavare un’equazione per il salto di densità: 1 M1 2 u1 u12 *2 *2 M 1 1 u2 a 2 1 M 12 2 Urti Normali M1 1 1 2 M12 p2 p1 M 2 1 1 2 M 2 2 1 1 2 M 12 T2 T1 1 1 2 M 2 2 Dalla relazione di salto dell’entropia, sotto riportata, tenendo presente il postulato di produzione entropica, si ottiene che l’entropia a cavallo di un urto non può diminuire (essendo l’urto un processo adiabatico) . un s ss 0 s2 s1 0 La variazione di entropia per la trasformazione che il gas subisce nel passaggio attraverso l’onda d’urto può essere calcolata mediante la nota relazione: T2 p2 s c p ln R ln T1 p1 utilizzando le relazioni di salto appena ricavate si può “plottare” l’andamento della variazione di entropia in funzione del numero Mach a monte dell’urto. Si evince banalmente l’impossibilità di avere onde d’urto in regime subsonico. Onde d’Urto Oblique Onda d’urto Obliqua ut2=ut1 ut1 θ β u1>a1 u2 un2<a2 Angolo di Deviazione un1>a1 β La geometria del flusso atttaverso un urto obliquo è rappresentata a sinistra. Il flusso incidente forma un angolo β con la superficie dell’urto che sarà detto angolo di inclinazione. Il flusso a valle dell’urto verrà deviato un angolo θ detto angolo di deviazione. La velocità a monte e valle dell’urto può essere scomposta in una componente normale alla superficie dell’urto ed in una tangenziale. un1 M n1 M1 sin a1 M n2 Le relazioni di discontinuità per questo caso possono essere scritte come: un 0 1un1 2un 2 2 u 0 h10 h20 un h 2 un 2 M 2 sin a1 Onde d’Urto Oblique Per il salto della q.d.m. è opportuno considerare le componenti normali e tangenziali all’urto: un u pn 0 1un1 un1n ut1t p1n 2un 2 un 2n ut 2t p2n Moltiplicando scalarmente la relazione di salto della q.d.m. per il versore tangente alla superficie dell’urto e ricordando l’equazione della massa si ottiene l’importante risultato per cui la componente tangenziale di velocità viene trasportata attraverso l’urto obliquo. ut1 ut 2 Le relazioni di salto attraverso un urto obliquo possono essere quindi riscritte come: 1un1 2un 2 1un21 p1 2un22 p2 1 2 1 2 h1 un1 h2 un 2 2 2 Le quali sono del tutto analoghe a quelle dell’urto normale se si considera solo la componente di velocità normale all’urto. Perciò noto il Mach normale a monte dell’urto è possibile calcolare i salti di pressione densità e temperatura con le medesime relazioni che sono state ottenute per gli urti normali. Onde d’Urto Oblique Le relazioni caratteristiche per l’urto obliquo possono essere quindi riassunte come: M n2 1 1 2 M n12 T2 T1 1 1 2 M n 2 2 1 M n12 2 2 M n12 1 M n1 1 1 2 M n12 p2 p1 M n 2 1 1 2 M n 2 2 1 M n1 2 1 2 1 M n12 2 Il problema principale resta quello di determinare l’angolo di deviazione noto quello di inclinazione dell’urto ed il numero di Mach monte urto. un1 un 2 un 2 tan tan ; tan ut1 ut 2 un1 tan 2 2 un 2 tan 1 2 1 M 1 sin un1 tan 2 1 M12 sin 2 Dopo alcuni passaggi algebrici e l’utilizzo di qualche identità trigonometrica si giunge al risultato cercato. Onde d’Urto Oblique M 12 sin 2 1 tan 2 cot 2 2 M cos 2 1 • Per un dato valore del numero di Mach (M>1) l’angolo di deviazione ha un valore nullo in corrispondenza di un valore di beta β* compreso fra 0° e 90° tanto più piccolo quanto maggiore è il Mach. •Le onde d’urto oblique possono esistere per un dato valore del numero di Mach per β*< β<90°. •Se il semiangolo di apertura del cuneo su cui si forma l’urto obliquo δ è maggiore del massimo dell’angolo di deviazione allora l’onda d’urto diventa curva e si separa dal punto angoloso dell’ostacolo formando un’onda d’urto obliqua staccata. • Per θ< θmax si hanno due valori di β. Il più basso caratterizza le onde d’urto oblique deboli quello più le onde d’urto oblique forti. Le onde forti in natura sono piuttosto rare. Onde d’Urto Oblique •Per un dato M esiste un’unica coppia (β**,θ**) in corrispondenza di cui il Mach valle urto è unitario. Per β >β** il Mach valle urto è minore di uno; per β <β** il flusso a valle dell’urto è supersonico. •Gli urti forti sono sempre subsonici a valle dell’urto. •Gli urti deboli sono subsonici per β** <β < β(θ< θmax ) mentre sono supersonici per β*<β<β**. •Per un dato valore del numero di Mach l’angolo di deviazione si annulla in corrispondenza di due angoli di inclinazione β =β* e β =90°. Per β =90° si ha un urto forte che corrisponde ad un urto normale. Nel caso in cui β =β* si ha l’onda d’urto più debole possibile per quel dato numero di Mache e prende il nome di onda di Mach. •Le onde di Mach non hanno alcuna influenza sul moto in quanto sono estremamente deboli. L’angolo di inclinazione μ delle onde di Mach è funzione univoca del Mach e si calcola ponendo tan(θ)=0. 1 arcsin M 1