Meccanica 12
11 aprile 2011
Urti
Conservazione della quantita` di moto e teorema dell’impulso
Energia cinetica
Urti elastici e anelastici
Urto con corpi vincolati
Urto
• È un’interazione tra due (o più) corpi che
avviene in un intervallo di tempo “piccolo”
• Abbastanza piccolo affinché l’azione di
eventuali forze esterne al sistema dei due
corpi sia trascurabile rispetto all’azione delle
forze interne
• Durante l’urto si sviluppano forze interne di
durata Dt molto breve ma che possono
assumere intensità molto elevate
• Queste sono dette forze impulsive
2
Tipologia
•
•
•
•
Urti in una, due, tre dimensioni
Urti fra punti materiali
Urti fra punti materiali e corpi estesi
Urti fra corpi estesi
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Definizioni
• Distinguiamo due stati: quello iniziale
prima dell’urto e quello finale dopo l’urto
• Ci interessa correlare i valori che le
grandezze assumono negli stati iniziale
e finale
• Non ci occuperemo invece di quel che
accade durante l’urto
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Definizioni
• Diciamo m1 e m2 le masse dei due corpi
• Diciamo v1i , v2i le velocità dei due corpi nello
stato iniziale e v1f , v2f nello stato finale
Stato iniziale
m1
v1i
v2i
m2
Urto
v1f
tempo
Stato finale
5
v2f
Conservazione della QM
• In assenza di forze esterne, la QM del
sistema dei due corpi si deve
conservare
pi  p f
m1v1i  m2v 2i  m1v1 f  m2v 2 f
• Riarrangiando, troviamo la variazione di
QM di ciascun corpo


m1 v1f  v1i  m2 v 2 f  v 2i



Dp1  Dp2

6
Teorema dell’impulso
• Cioè la variazione di QM del primo corpo è
uguale e contraria a quella del secondo
• Ciò si può anche esprimere col th.
dell’impulso tenuto conto che le forze di
interazione sono uguali e contrarie
Dt 




m1 v1 f  v1i  Dp1   F1( 2) dt  J1( 2)


0
Dt





m2 v2 f  v2i  Dp2   F2(1) dt  J 2(1)


0
7
Sistema del CM
• Fintanto che si possono trascurare le
forze esterne agenti sul sistema dei due
corpi, la velocità del CM è costante
• Mediante una trasformazione di Galileo
possiamo metterci in un sistema
inerziale in cui la velocità del CM è nulla
• Tale sistema è, ovviamente, il sistema

del CM
• La relazione tra le velocità espresse nel
sistema iniziale e nel sistema del CM è
• In questo sistema la QM di moto è
sempre nulla
VCMi  VCMf
v *  v VCM
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Conservazione della QM
• Si può assumere che la QM si conservi anche
in presenza di forze esterne, a patto che
queste non siano impulsive e quindi siano
abbastanza deboli per non cambiare
sostanzialmente la QM del sistema
nell’intervallo di tempo in cui avviene l’urto
• Nel limite ideale di durata infinitesima dell’urto
qualunque forza non impulsiva dà contributo
nullo alla QM
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Conservazione della QM
• Questo si può vedere usando il teorema del
valor medio applicato alle forze esterne
Dt 


J ex   Fex dt  Fex Dt
0
• Se Fex (e quindi <Fex>) rimane limitata, per Dt
infinitesimo l’impulso diventa infinitesimo
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Riassunto
• Nell’urto avviene uno scambio di QM tra
i due corpi che costituiscono il sistema,
dovuto alle forze interne che agiscono
fra loro
• La QM del sistema si conserva, cioè la
QM dello stato iniziale è uguale alla QM
dello stato finale
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Energia meccanica, cinetica
• Generalmente l’energia meccanica non si
conserva in un urto
• Tutto dipende dal fatto se le forze interne
sono conservative oppure no
• Lo stesso vale per l’energia cinetica, che in
generale non si conserva in un urto
• Useremo il th. di König dell’energia cinetica
K  KCM
1
1
1
2
*2
*2 
 K  m1  m2 VCM   m1v1  m2v 2 
2

2
2
*
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Urti anelastici
• Un urto è più o meno anelastico a misura di
quanta energia cinetica K viene persa
• Un urto è elastico se K si conserva
• È totalmente anelastico se la perdita di K è
massima
• Per sapere quando questo accade ci si pone
nel sistema del CM e si richiede che l’energia
cinetica dopo l’urto sia nulla (i due corpi
rimangono attaccati formando un unico
corpo)
*
urto totalmente
Kf  0
anelastico
13
Urti anelastici
• Nei casi intermedi possiamo definire il
coefficiente di restituzione
K *f
e
K i*
• Il caso elastico corrisponde a e=1
• Il caso totalmente anelastico a e=0

14
Urto totalmente anelastico fra
due corpi
m1v1i  m2v2i  pi
• Stato iniziale
• Dalla definizione di CM possiamo anche
scrivere
m1  m2 VCMi  pi
• Stato finale: i due corpi si attaccano insieme
m1  m2 v f  p f  m1  m2 VCMf
• Quindi v f  VCMf
 agiscono solo forze interne, la QM si
• Poiché


conserva, ne segue
v f  VCMf
m1v1i  m2v 2i
 VCMi 
m1  m2
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Urto totalmente anelastico fra
due corpi
• Confrontiamo l’energia cinetica nello stato
iniziale:
1
2
K i  KCMi  K  m1  m2 VCM
 K i*
2
*
i
• e nello stato finale
K f  KCMf
1
2
 K  m1  m2 VCM
0
2
*
f
 • La perdita di energia cinetica è pari a K *
i

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Urto elastico in 1-D
• Consideriamo il semplice caso di urto in 1-D,
cioè tale per cui le velocità, iniziali e finali,
sono tutte lungo una sola direzione (urto
centrale)
• Applichiamo la conservazione della QM
m1v1i  m2v 2i  m1v1 f  m2v 2 f
• e la conservazione dell’energia cinetica

1
1
1
1
2
2
2
m1v1i  m2v 2i  m1v1 f  m2v 22 f
2
2
2
2
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Urto elastico in 1-D
• Le due eqq. costituiscono un sistema in due
incognite, che è possibile risolvere con i
metodi noti; otteniamo
m1  m2
2m2
v1 f 
v1i 
v 2i
m1  m2
m1  m2
v2 f

2m1
m1  m2

v1i 
v 2i
m1  m2
m1  m2
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Urto elastico in 2-D
• Se l’urto non e` centrale i principi di conservazione
non bastano a risolvere il problema




m1v1i  m2 v2i  m1v1 f  m2 v2 f
1
1
1
1
2
2
2
m1v1i  m2v 2i  m1v1 f  m2v 22 f
2
2
2
2
• Abbiamo tre eqq. ma quattro incognite: p1 f , p2 f ,q , f
p1i
i

p2f
f
f
p2i
pi
pf
q
p1f
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Urto con corpi vincolati
• Se c’è un vincolo che tiene fermo un punto
del corpo, durante l’urto si genera una forza
vincolare impulsiva (esterna) e quindi la QM
non si conserva
• Il vincolo agirà con una risultante di forze F e
di momenti , i cui effetti, nell’intervallo di
tempo dell’urto, sono l’impulso e l’impulso
angolare
 Dt 
 Dt
J   Fdt
0

H    dt
0
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Urto con corpi vincolati
• L’impulso è uguale alla variazione di quantità
Dt 

di moto

J   Fdt  Dp
0
• L’impulso angolare è uguale alla variazione di
momento angolare
 Dt 

H    dt  DL
0
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Momento angolare
• Se agiscono solo forze interne al
sistema dei due corpi, il MA si conserva
• Il MA si conserva anche rispetto ad un
polo fisso in un sistema inerziale o
rispetto al CM se il momento delle forze
esterne rispetto a quel polo è nullo
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