Flussi Comprimibili
Corso di Aerodinamica e Gasdinamica
A.A. 2013/2014
Docente: Prof. Renato Ricci
Effetti di Comprimibilità
Fino a questo momento abbiamo sempre trascurato gli effetti della variazione di densità dovuti alla
pressione. In questo parte del corso saranno esaminati invece alcuni casi in cui le variazioni di densità
divengono rilevanti. Questa parte della dinamica dei fluidi viene chiamata Gasdinamica.

 u  0 
    u   0
t
f  p,  , T   0
Necessità di introduzione della Termodinamica
Equazione dell’Energia
M u a
Gli effetti della comprimibilità sono determinati dal valore del numero di Mach
i flussi comprimibili possono essere in funzione del numero di Mach secondo il seguente criterio:
• Flussi incomprimibili: M < 0.3
• Flussi subsonici: 0.3 < M < 1.0
• Flussi transonici: 0.8 < M < 1.2
• Flussi supersonici: 1.0 < M < 5.0
• Flussi ipersonici:
M > 5.0
2
Effetti di Comprimibilità
M2
M1
θ
Si consideri l’interazione fra una corrente fluida
supersonica uniforme ed un cuneo. Dato che la
velocità di propagazione dei disturbi di pressione
è inferiore a quella del fluido allora ogni disturbo
dovuto alla presenza dell’ostacolo non può far
risentire i suoi effetti a monte dell’ostacolo
stesso.
Il fluido si accorge della presenza dell’ostacolo
solo quando lo incontra a quel punto, poiché non
può attraversarlo devia bruscamente di un angolo
θ detto angolo di deviazione. Ne risulta la
formazione di un’onda d’urto obliqua.
Gli urti sono dei particolari fenomeni tipici dei
flussi comprimibili supersonici.
In fluidodinamica con il termine onda d’urto si intende un sottile strato di fortissima variazione delle proprietà
termofluidodinamiche. Gli urti possono avvenire solo nei moti supersonici e a valle dell’urto il campo di moto è
subsonico se l’urto è normale (superficie di discontinuità ortogonale alla direzione del flusso) mentre può essere
sia supersonico che sonico che subsonico negli urti obliqui in funzione dell’intensità dell’urto.
Nel tratto di campo di moto che interessa l’urto il moto è assolutamente non reversibile e, pertanto, non può
essere considerata valida l’ipotesi di moto isoentropico. L’urto può essere modellato matematicamente come una
superficie di discontinuità.
Effetti di Comprimibilità
Il boom sonico, chiamato anche bang supersonico, in
italiano boato sonico è il suono prodotto dall'onda
d'urto generata da un oggetto (ad esempio un aereo)
quando questo si muove, in un fluido, con velocità
superiore alla velocità del suono.
Lo schiocco prodotto da una frusta, quando viene usata
correttamente, in realtà è un bang sonico. L'estremità
della frusta si muove ad una velocità superiore a quella
del suono e crea il rumore caratteristico. La frusta è
stata quindi la prima invenzione dell'uomo in grado di
abbattere il muro del suono.
Le fruste sono realizzate con una struttura che si affina
partendo dalla impugnatura fino all'estremità.
La punta ha molto meno massa dell'impugnatura, di conseguenza, quando la frusta è fatta schioccare
correttamente, l'energia si trasferisce dall'impugnatura all'estremità. Se l’energia cinetica della frusta è
fissata allora la velocità della frusta aumenta via via che diminuisce la massa, fino ad arrivare a superare
la velocità del suono, creando il caratteristico bang sonico.
Effetti di Comprimibilità
Se si aumenta il Mach di free-stream esiste un
intervallo piuttosto ampio in cui si ha
indipendenza fra il coefficiente di resistenza ed M.
Nel tratto c-e la resistenza del profilo cresce in
maniera debole a causa della presenza
sull’estradosso di una zona supersonica (M=1.02 –
1.05).
A partire dal punto e, Mach drag-divercenge
point, la resistenza inizia a crescere
drasticamente, tipicamente di un fattore 10.
Questo forte incremento è legato alla presenza di
una zona supersonica molto estesa che termina
con un’onda d’urto che scolla lo strato limite ed
aumenta la resistenza della sezione alare.
In figura è mostrato un ingrandimento del punto f nel quale troviamo un urto sia sull’estradosso che sull’intradosso;
la zona di flusso supersonico termina esattamente in corrispondenza dell’urto. L’urto produce a valle di sè una
sovrappressione che produce il distacco dello strato limite dalla superficie del profilo alare a cui corrisponde un
forte incremento della resistenza aerodinamica.
La curva presenta un massimo in corrispondenza del punto g in cui M=1.0
Effetti di Comprimibilità
0
p0
T0
FLUSSO
Negli ugelli convergenti è possibile accelerare il flusso non oltre la velocità del
1 suono. Tale condizione di funzionamento è dovuta al fatto che, raggiunto
M=1 nella sezione di uscita dell’ugello, un ulteriore abbassamento della
p1 pressione statica non viene risentito all’interno del condotto in quanto la
T1 perturbazione di pressione ha una velocità relativa nulla rispetto alla velocità
convettiva del flusso. Tale fenomeno ha importanti implicazioni sulla portata
massica elaborabile da un ugello convergente. Un’ulteriore diminuzione della
pressione non ha alcun effetto sulle caratteristiche del moto. In tali condizioni
il moto si dice bloccato o in choking.
Per accelerare il flusso a numeri di Mach superiori all’unità è necessario
aggiungere un tratto di condotto divergente a valle della sezione sonica.
Ciò è dovuto al fatto che nei moti supersonici la diminuzione di densità
prevale sull’accelerazione del flusso quindi per garantire la conservazione della
massa è necessario aumentare la sezione del condotto non diminuirla come
nella comune esperienza che si ha con i flussi incomprimibili.
Tuttavia bisogna sempre tener presente che la parte convergente dell’uguello
è “bloccata” ed è quindi quella che determina la portata, l’introduzione del
tratto divergente permette esclusivamente l’incremento della velocità a M>1.
Concetti Generali
u
velocità del fluido
M 
a
velocità del suono locale
In figura è mostrato disturbo piano
infinitesimo di pressione che si propaga
verso destra con velocità a in un fluido
in quiete. Le proprietà davanti all’onda
sono p,θ,ρ mentre quelle dietro all’onda
sono p+dp,θ+dθ, ρ+dρ. La velocità del
fluido è diretta verso sinistra e vale du.
Per determinare la velocità di
propagazione del fronte d’onda
utilizziamo un sistema di riferimento
solidale al fronte d’onda stesso.
a
cuw
a
a-du
w c 0  a
w c  du  du  a
Concetti Generali
Applichiamo sul fronte d’onda il bilancio di massa e di quantità di moto e trascurando i termini del
secondo ordine si ottiene:
 a     d   a  du 
 du  ad 
 a  p     d   a  du   p  dp
2
2
0  2a  du  a 2 d   dp
Secondo la legge della varianza di Gibbs per fluidi monocomponente e monofase
lo stato termodinamico è completamente determinato da due grandezze di stato
(ad esempio entropia e densità).
In altre parole è possibile modficare 2 gdl termodinamici senza mutare l’equilibrio
termodinamico del sistema.
dp
a 
d
2
p  p  S,  
 p 
 p 
dp    dS  
 d
 S    k
   S  k
dS  0
dp  p 


d     S  k
Concetti Generali
 p 
dp  p 

 a 

d     S  k



S k
Introducendo l’ipotesi di gas perfetto, per una trasformazione isoentropica, si ha che:
p


 cost  a  cost  
 1

p


 
 1
 
p

a   RT
Per l’aria:
a  20.047 T
in condizioni standard (T = 15 °C = 288.15 K) risulta:
a = 340.294 m/s = 1225.06 km/h
  RT
Equazione dell’Energia
Al fine di calcolare le grandezze di ristagno per un fluido comprimibile è necessario derivare l’equazione dell’energia
nell’ipotesi di moto senza attrito ed adiabatico (reversibile).

 
1 2
    e  u  d  
t   
2




1 2

  e  u   u  dS     pu  dS  Wvisc 
2



 Φ  dS

Applicando il teorema di Gauss-Green agli integrali di superficie si ottiene:

 
 
1 2
1 2 
    e  u  d         u  e  u   d       pu  d   0
t   
2
2



   
 
 
1 2 
1 2 
   e  u        u  e  u       pu 
t  
2
2


 


1 2 
1 2  
1 2 
1 2

e

u

e

u


u

e

u

e

u      u      pu 

 


 
t 
2
2
2
2
 
 t

 

Equazione dell’Energia
 
1 2
1 2  
1 2  


   e  u   u   e  u     e  u       u       pu 
2
2
2


 
 t

 t 
D
1 2
e  u 
Dt 
2


D
1 2
e

u      pu 

Dt 
2

Tenendo presente la definizione di entalpia si ottiene:
h e
p



Dh De 1  Dp
D 

 2 
p

Dt Dt   Dt
Dt 
Dh
De Dp


 p u
Dt
Dt Dt
Forma alternativa dell’equazione di continuità

    u   0
t

 u     u  0
t
D
   u  0
Dt
Equazione dell’Energia
Dh
De Dp
D
1 2
D
1 2  Dp



 p  u  
 p  u
h u   
e u 
Dt
Dt Dt
Dt 
2
Dt 
2

 Dt

D
1 2
Dp
h

u


p


u

u

p

 p  u


Dt 
2
Dt


D
1 2  p
h

u 

Dt 
2
 t
Per flussi stazionari la somma dell’entalpia del fluido e della sua energia cinetica locale è invariante sulla singola
linea di corrente.
Se l’entalpia e la velocità della corrente imperturbata sono uniformi allora la somma dell’entalpia del fluido e della
sua energia cinetica locale non varia su tutto il campo di moto.
1 2
h  u  const
2
Grandezze di Ristagno e Critiche
Una generica variabile termofluidodinamica del campo di moto assume il suo valore di ristagno quando viene
arresta in modo isoentropico.
Visto il risultato precendete, ottenuto a partire dall’equazione dell’energia in forma differenziale, l’entalpia di
ristagno è calcolabile come:
2
cp 
0
1 2
1 u
T
0
c p T  u  c pT  1 

2
2 c pT T
1 2
h  u  h0
2
T
Temperatura, Pressione e Densità di Ristagno:
T0
 1 2
 1
M
T
2
 0   1 2 
 1 
M 
 
2


1
 1
p 0    1 2   1
 1 
M 
p 
2

p
 1

R
 1
 const
T
 const
  1
Una generica variabile termofluidodinamica del campo di moto assume il suo valore critico quando la velocità
convettiva locale coincide con quella sonica. Le grandezze critiche si ottengono banalemnte dalle precedenti
relazioni ponendo M=1.
*
T
2

T 0  1
*  2 

0
    1 
1
 1

p  2   1


0
p


1


*
Soglia di Comprimibilità
L’entità del numero di Mach entro cui è possibile considerare il flusso incomprimibile viene fatta considerando la
differenza fra la pressione di ristagno e la pressione locale sia nel caso comprimibile che in quello incomprimibile.
 p0 
p  p  p
 1
 p

0

p
   1 2   1
 1 
M 
p 
2




 1


1


p 0  p  p  1 
M 2   1


2














1


1
1
 2 p   1 2 
 1
 2    1 2 

p 0  p   u 2  2  1 
M   1    u 2 
1

M

1


2 




2

u
2
2

M
2

















2    1 2   1 

1
M  1
2 

 M 
2



0
Il termine Ф rappresenta lo scostamento fra il
comportamento comprimibile e quello
incomprimibile del fluido
Soglia di Comprimibilità
1

p0  p   u 2  
2




2    1 2   1 

1
M  1
2 

 M 
2



Il peso del l termine Ф può essere valutato sviluppandolo in serie binomiale

   1 2   1
M 
1 
2



   1 2   1
M 
1 
2


  
k


1


    1  
M2

 2

n 0 

n


1  x 
k
k  k
   x
n 0  n 


  
  
  
2
3


1


1


1






 1   1  
M 2     1  
M 2     1  
M 2   ...


 2
 2
 
 

 1  2


2
3






Utilizzando le espressioni per i coefficienti binomiali e riorganizzando i termini di si ottiene un’espressione
polinomiale per la differenza fra la pressione di ristagno e la pressione locale in fuzione del numero di Mach.
Soglia di Comprimibilità





1
2    1 2 
2   2  4  2    6 

1
M  1 
M  M 
M 
2 
2 
 M  2
 M 
2
8
48




1 2  M 2 2    4 
p  p   u 1 

M 
2
4
24


0
pcomp  pinc M 2  2    4


M
1 2
4
24
u
2
pcomp  pinc
M  0.2 
 0.01
1 2
u
2
Come si vede dalla figura a destra per M<0.2, utilizzando
l’approssimazione di fluido incomprimibile si comette un
errore inferiore all’1%.