Numero razionale
Classe di equivalenza
Q+ e rappresentazione sulla semiretta
Operazione nell’insieme dei razionali positivi
Addizione
Sottrazione
Moltiplicazione
Divisione
Potenza
problemi
espressioni
Numero razionale
Classe di equivalenza
Q+ e rappresentazione sulla semiretta
Operazione nell’insieme dei razionali positivi
Addizione
Sottrazione
Moltiplicazione
Divisione
Potenza
problemi
espressioni
3
5
CLASSE DI EQUIVALENZA
6
10 12
4
7
NUMERO RAZIONALE
20
 3   3 6 9 12 24

, , , ,...
 5   
 5 10 15 20 40

CLASSE DI EQUIVALENZA
N
1
3
0
1
4:3=
2
1
1
1
3
4
Q+
1
2
4 5
4
4:3=
1
6 3
4
5
Q+ è un ampliamento di N, inoltre offre un importante vantaggio:
LA DIVISIONE DIVENTA SEMPRE POSSIBILE
1: 4 
3
1
1
1
0
1
2
1
5: 4 
3: 4 
5: 2 
1: 2 
u
1
4
0
1
1
2
1
2
2
4
4
8
8
16
16
32
3
4
5
4
5
2
1
1
2
1
3
1
1 punto sulla semiretta
Infinite frazioni equivalenti
1 numero razionale
CASO A
1 3
 
5 5
4
5
0
1
unità
1
5
3
5
1
5
3
5
4
=
5
CASO B
1
3 1
 
12 2
4
1 2 3
 
4 4 4
1. Ridurre
ai
minimi
termini;
2. Trasformare
le
frazioni in frazioni
equivalenti a quelle
date, ma con lo stesso
denominatore (m.c.d.).
PER ADDIZIONARE DUE O PIÚ FRAZIONI CON
DIVERSO DENOMINATORE, SI RIDUCONO AL
MINIMO COMUN DENOMINATORE, POI SI
ADDIZIONANO TRA LORO I RISPETTIVI
NUMERATORI.
CASO PARTICOLARE: somma di un numero naturale con una frazione propria.
2
3 
5
Frazione impropria
Numero misto
3 2 15  2 17
 

1 5
5
5
UN NUMERO MISTO PUÓ ESSERE SEMPRE TRASFORMATO
IN UNA FRAZIONE IMPROPRIA AVENTE:
•PER DENOMINATORE QUELLO DELLA FRAZIONE PROPRIA;
•PER NUMERATORE LA SOMMA TRA IL PRODOTTO DELLA
PARTE INTERA PER IL DENOMINATORE E IL NUMARATORE
DELLA FRAZIONE PROPRIA.
PROPRIETÀ
2 3
 
3 4
3 2
 
4 3
1 3 2
   
2 4 3
1 3 2
   
2 4 3
1 1
0 
2 2
CASO A
4 1
 
5 5
4
5
In Q+ è valida se a/b ≥ c/d
0
1
unità
3
5
1
5
4
5

3
5
1
5
CASO B
1
1 3
 
2 12 4
2 1 1
 
4 4 4
1. Ridurre
ai
minimi
termini;
2. Trasformare
le
frazioni in frazioni
equivalenti a quelle
date, ma con lo stesso
denominatore (m.c.d.).
PER SOTTRARRE DUE O PIÚ FRAZIONI CON DIVERSO
DENOMINATORE SI RIDUCONO AL MINIMO COMUN
DENOMINATORE, POI SI SOTTRAGGONO TRA LORO
I RISPETTIVI NUMERATORI.
CASO PARTICOLARE: differenza fra l’unità e una frazione propria.
3
1 
5
2
5
3
5
1
DATA UNA FRAZIONE PROPRIA, SI CHIAMA
FRAZIONE COMPLEMENTARE UNA
FRAZIONE CHE, ADDIZIONATA A QUELLA
DATA, DÀ L’INTERO.
PROPRIETÀ
5 3
 
6 4
 1
 
 4
5 1 3 1
     
6 4 4 4
 1
 
 4
5 1 3 1
     
6 4 4 4
2 3
 
3 4
2 3
di
3 4
3
4
2 3 23
6
1
 


3 4 3  4 12 2
CASO PARTICOLARE: frazione reciproca o inversa..
1
1
3 7
 
7
3
1
1
MOLTIPLICANDO UNA FRAZIONE PER LA SUA INVERSA IL
RISULTATO È L’UNITÀ
PROPRIETÀ
2 3
 
7 5
3 2
5 7
oppure  
2 4 1 4
  
3 5 6 45
 3 1 6
   
 4 3 5
2 4 1
   
3 5 6
2 4 1
   
3 5 6
3 6 1 6
4 5 3 5
oppure    
7
1 
11
9
0 
17
3
1:  x
4
3
x 1
4
Vale anche negli altri casi?
5 2
: x
7 3
5 3 15
x  
7 2 14
b, c, d  0
CASO PARTICOLARE.
a
 0 a  0, b  0
b
0
:0
4
a
:0 
b
a
 0 a  0, b  0
b
2
:0
3
CASO PARTICOLARE: in Q+ il quoziente è sempre minore o uguale al dividendo?
5 2 15
: 
7 3 14
10
14
15
14
UNITA’
5
7
15
14
PROPRIETÀ
2 1 7 1
  :   
3 6 5 6
2 7
: 
3 5
2 4 7 4
 : : :  
3 3 5 3
4 2 8
  : 
5 3 5
4 8 2 8
oppure  :   : 
 5 5 3 5
2
esponente
4 4
4
    
5 5
base  5 
4
5
4
5
Basta poco per avere significati differenti
4
 
5
2
16
25
4
5
2
16
5
4
2
5
4
25
m
n
mn
m
n
mn
a a
a
      
b b
b
a a
a
:

   
 
b
b
   
b
PROPRIETÀ
n
mn
 a  m 
a
     
b
 b  
n
n
a  c 
a c 
       
b d 
b d 
n
n
a  c 
a c 
  :    : 
b d 
b d 
n
n
 18 2   23 7   9 2 9    5 1 
        :    
    
5
3
6
10   2 3 10    2 6 





 54  10   115  21   135  20  27    15  1 
 
  

  : 

15
30
30
6












44
68
 44   136   88   16
    

     :
15
30
30
6
  15  15  
 44  68 44   16
      :

15
15
15
6



 44 24  16
 

:
 15 15  6
4
8
 20  16
  :

15
6
  3
3
4 8
 : 
3 3
1
1
1
4 3
 
3 8 2
1
2
SEMPLIFICARE RENDE PIÙ FACILI I CALCOLI