LE FRAZIONI
Si chiama frazione una scrittura del tipo
con d
diverso da 0. Essa rappresenta il quoziente n : d
n,d
n
d
N, d ≠ 0
=n:d
numeratore
linea di frazione
denominatore
LA FRAZIONE E I SUOI SIGNIFICATI
La frazione può essere interpretata
come operatore o come numero.
LA FRAZIONE COME OPERATORE
Se consideriamo i
del rettangolo in figura, stiamo operando
con la frazione sul intero rettangolo. Per farlo dobbiamo:
- dividere il rettangolo in 3 parti uguali (quante indicate dal denominatore)
- prenderne in considerazione 2 (quante indicate dal numeratore)
Operiamo su rettangolo con la frazione
Disegniamo un rettangolo Dividiamolo in tre parti uguali Prendiamo due di queste parti
1
LA FRAZIONE COME OPERATORE
Operiamo con la frazione
segmento lungo a
sul
a
a
1
a
2
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
Dividiamo il segmento in 5 parti
uguali
a
3
Prendiamone
3
di queste parti
LA FRAZIONE COME OPERATORE
Operiamo con la frazione
su 8 mele.
Dividiamo le 8 mele in 4 gruppi uguali, tanti quanti indicati dal
denominatore e ne consideriamo 3 parti, tante quante indicate
dal numeratore. Prenderemo 6 mele.
di 8 mele = 8 : 4 · 3 = 6 mele
Quale frazione rappresentano
le mele verdi, rispetto al totale?
Questa frazione ha come
il numero di mele verdi .
DENOMINATORE il totale delle mele e come NUMERATORE
Operando con la frazione
sulle 8 mele otteniamo proprio il numero delle mele verdi.
LA FRAZIONE COME NUMERO
La scrittura simbolica
-4
-3
La frazione
-2
rappresenta il quoziente della dvisione
3 : 4 = 0,75
-1
0
1
2
3
possiamo considerare a tutti gli effetti come se
fosse un numero.
LA FRAZIONE COME NUMERO
Frazioni con denominatore o numeratore uguale a 0 e 1
- Se il numeratore è uguale a 1, abbiamo l’unità frazionaria:
1
2
- Se il denominatore
1
3
è uguale a 1, abbiamo un numero naturale
pari al numeratore:
= n
= 3
- Se il numeratore è uguale a 0, abbiamo la frazione nulla:
- Se il denominatore è uguale a 0, le scritture
e
non hanno significato
=0
LA CLASSIFICAZIONE DELLE FRAZIONI
Come operatore è una parte più piccola di unità.
Come quoziente 5 : 8 è un numero minore di 1.
Una frazione è propria se il numeratore è
minore del denominatore.
Se a < b
< 1
è propria
INTERO
Come operatore è una parte più grande di unità.
Come quoziente 8 : 5 è una parte più grande di unità.
Una frazione è impropria se il numeratore è maggiore del denominatore.
Se a > b
> 1
è impropria
LA CLASSIFICAZIONE DELLE FRAZIONI
La frazione rapresenta 2 interi e il quoziente 10 : 5 = 2 è un
numero intero.
Una frazione è apparente se il numeratore è il multiplo del denominatore
Se a è multiplo di b
è apparente
La frazione complementare di una frazione propia è la frazione che
rappresenta la parte rimanente del intero.
+
=
=1
+
=
= 1
+
=
= 1
LE FRAZIONI EQUIVALENTI
Consideriamo le due frazioni che operano
sui due quadrati uguali.
Due o più frazioni sono equivalenti se
rappresentano parti uguali di una stessa quantità
Due frazioni equivalenti rappresentano lo stesso quoziente.
Due frazioni sono equivalenti se il prodotto del numeratore della
prima per il denominatore della seconda è uguale al prodotto del
denominatore della prima per il numeratore della seconda
=
=
a· d = c·b
a· d= c·b
IN SIMBOLI
LE FRAZIONI EQUIVALENTI
= 15 : 4 = 3,75
=
è infatti 16 · 15 = 240 e 4 · 60 = 240
= 60 : 16 = 3,75
Proprieta invariantiva : moltiplicando o dividendo entrambi i termini di una divisione
per uno stesso numero, diverso da 0, il risultato non cambia.
= 3 : 12
Applichiamo la proprieta invariantiva della divisione, moltiplicando o dividendo
per uno stesso numero (diverso da 0) sia il dividendo sia il divisore:
3 : 12 = (3 : 3) : (12 : 3) = (3· 2 ) : ( 12 · 2)
=
=
infatti
= 0.25 e
= 0,25
=
=
infatti
= 0,25 e
= 0,25
LE FRAZIONI EQUIVALENTI
Proprietà fondamentale delle frazioni :
moltiplicando o dividendo entrambi i termini di una frazione per uno stesso
numero, diverso da 0, otteniamo una frazione equivalente a quella data.
IN SIMBOLI
=
=
Data una frazione è possibile costruirne infinite a questa equivalenti ( , ,
Ma solo la frazione è l’unica con numeratore e denominatore primi fra loro.
)
Una frazione è ridotta ai minimi termini se il numeratore e il denominatore
sono numeri primi fra loro.
IN SIMBOLI:
Se M.C.D. (a,b) = 1
è ridotta ai minimi termini
Una frazione ridotta ai minimi termini si dice anche irriducibile.
Tutte le altre si dicono riducibili.
RIDUZIONE DI UNA FRAZIONE AI MINIMI TERMINI
Per ridurre una frazione ai minimi termini o semplificare una
frazione possiamo seguire tre metodi:
• Riduzione mediante il M.C.D.
- Calcoliamo il M.C.D. fra il numeratore e il denominatore;
- dividiamo il numeratore e il denominatore per il M.C.D.
M.C.D.(30,84) = 6
=
=
• Riduzione mediante divisioni successive
- Dividiamo il numeratore e il denominatore per un divisore comune;
- dividiamo il nuovo numeratore e il nuovo denominatore per un eventuale altro
divisore comune;
- procediamo così fino a quando il numeratore e il denominatore sono primi fra loro
5
15
=
42
14
RIDUZIONE DI UNA FRAZIONE AI MINIMI TERMINI
__
• Riduzione mediante scmposizione in fattori primi
- Somponiamo il numeratore e il denominatore in fattori primi;
- eleminiamo i fattori che compaiono sia al numeratore sia al
denominatore;
- moltiplichiamo tra loro, al numeratore e al denominatore i
fattori rimasti
=
=
=
=
=