3200 a.C-1000 a.C.
1400 a.C- 600 a.C.
500 a.C.- 400 a.C.- 300 a.C.
300 a.C.-100 a.C.
100 a.C.- 300 d.C
300- 750
750- 850
850-1250
1400-1600
1600-1800
1800-1900
3200 a.C-1000 a.C.
In Egitto, Mesopotamia, India, Cina è già
noto il numero pi greco, per la risoluzione di
problemi pratici vengono già utilizzate le
quattro operazioni: addizione, sottrazione,
moltiplicazione e divisione tra numeri interi e
anche tra frazioni; sono conosciute le
equazioni quadratiche e si sa calcolare l'area
di quasi tutte le figure geometriche allora
conosciute dai matematici del tempo.
Tale abilità di calcolo consentiva di risolvere
molti problemi geometrici e aritmetici di
ordine pratico, legati alle necessità della vita
quotidiana.
Testimonianza di ciò è contenuta negli scritti
delle tavolozze di terracotta ritrovate negli
scavi archeologici, e negli antichi papiri, il più
famoso dei quali è il papiro di Rhind.
APPROFONDIAMO
APPROFONDIAMO
1400 a.C- 600 a.C.
Gli antichi Greci definiscono i due
processi mentali che stanno alla base
del processo matematico: l'astrazione,
cioè trarre un'idea generale dalla
percezione di una o più qualità comuni
a cose diverse, e la dimostrazione,
ovvero giungere da certe premesse a
una conclusione in modo che non si
possano trovare contraddizioni in
nessuna parte dell'argomentazione.
Il greco Talete stabilisce alcuni
importanti teoremi di geometria, misura
l'altezza della piramide di Cheope, in
Egitto applicando la similitudine dei
triangoli. Talete viene considerato
l'iniziatore dell'indagine scientifica, in
quanto ricerca le cause dei fenomeni
naturali proponendone però una
spiegazione razionale.
APPROFONDIAMO
LA LUNGA STORIA
DELLA GEOMETRIA
500 a.C.- 400 a.C.
Pitagora e la sua Scuola formulano e
dimostrano il teorema sui triangoli
rettangoli che porta il nome del
maestro. Ai pitagorici si deve anche lo
studio delle relazioni tra numeri, dei
quadrati e dei cubi; la scoperta dei
numeri irrazionali; la risoluzione delle
equazioni quadratiche miste; lo studio
dei poliedri regolari, e la scoperta delle
relazioni tra la lunghezza e il tono di
una corda vibrante.
APPROFONDIAMO
400 a.C.- 300 a.C.
Il greco Ippocrate (Coo 460-377) scrive il primo
trattato di geometria Elementi, in cui per primo
introduce le lettere dell'alfabeto per descrivere
le figure geometriche.
I greci Democrito (Abdera 460-370), Eudosso
(Cnido 408-353) e Archita (Taranto sec. IV)
risolvono importanti problemi di geometria e
aritmetica, quali la determinazione di volumi, il
teorema della sezione aurea, e il metodo della
esaustione.
300 a.C.-100 a.C.
Il greco Euclide espone negli Elementi di geometria, in
forma sistematica e con numerose intuizioni proprie, le
proporzioni geometriche e la teoria dei numeri, patrimonio
della cultura matematica ellenica dell'epoca. Nella sua opera
importa le conoscenze matematiche della cultura babilonese
e di quella egiziana, le riordina e sistema procedendo per
definizioni, postulati, assiomi, con una esposizione che è
rimasta classica per ogni tempo.
Il siciliano Archimede si occupa in maniera geniale di
aritmetica, algebra, geometria, fisica: tratta dei grandi
numeri, di equazioni cubiche, di potenze. Con il suo lavoro
anticipa la legge esponenziale e il calcolo logaritmico e pone
i primi fondamenti del calcolo integrale.
Il greco lpparco (Nicea 190-125) fonda la trigonometria
piana e sferica.
APPROFONDIAMO
100 a.C.- 300 d.C
Il greco Erone (Alessandria II-I sec. a.C.) compie importanti
studi di geometria e fisica.
Il greco Claudio Tolomeo nell'Almagesto tratta problemi di
trigonometria piana e sferica, introducendo gradi, minuti e
secondi nella misurazione degli angoli.
I Cinesi usano il sistema di numerazione decimale.
Il greco Diofanto usa per primo i simboli algebrici ed enuncia
le regole per risolvere equazioni di primo e di secondo grado.
È considerato il padre dell'algebra.
APPROFONDIAMO
300-550
Il latino Severino Boezio (Roma 480-524) compie ricerche di logica,
matematica, geometria, che avranno grande influenza durante tutto il
Medioevo.
550-750
Gli Indiani usano la numerazione posizionale e i
numerali indù: simboli per i numeri dall'1 al 9, più lo 0.
I Cinesi introducono l'estrazione della radice quadrata,
le equazioni cubiche, il sistema indù di nume
750- 850
Gli Arabi diffondono la numerazione posizionale
indiana, detta poi in Occidente 'arabica'. Compaiono
nella matematica e nell'astronomia numerosi termini di
origine araba: algebra, algoritmo, nadir, zenit, cifra, zero
ecc.
Il turkestano Muhammad ibn Mùsa al Khuwarizmi
compone il trattato Al-giabr wa'l mu kabala, ovvero Del
modo di assestare cose opposte, dalla cui parola iniziale
deriverà il termine 'algebra'.
850-1150
L'indiano Sridhara (nato nel 991) nel suo Compendio di calcolo dà una
chiara considerazione sull'uso dello zero, con le proposizioni a+0=a;
0xa=0; ax0=0.
Il persiano Omar Khayyam (morto a Nishapur circa nel 1123) sviluppa il
sistema di calcolo delle radici irrazionali, detta le regole per l'estrazione di
radici e indici arbitrari e
1150-1250
Leonardo Fibonacci nel suo trattato Liber Abaci
(1202) fa risaltare i vantaggi del sistema di
numerazione arabo, introducendolo in Europa.
1250-1400
Il francese Nicola di Oresme (Oresme 1325Lisieux 1382) espone la teoria delle quantità
irrazionali e la teoria delle funzioni, concetto
fondamentale della matematica in Occidente.
1400-1500
Luca Pacioli pubblica (1494) la Summa de arithmetica, geometria, proportioni e
proportionalità, primo trattato generale di aritmetica e algebra, con un accenno
al calcolo delle probabilità e ai logaritmi.
APPROFONDIAMO
1500-1600
Gerolamo Cardano studia le operazioni sui numeri interi, frazionari e
irrazionali, discute le radici delle frazioni, espone il sistema di soluzione
algebrica delle equazioni di terzo grado; è il primo a trattare le cosiddette
grandezze immaginarie.
Niccolò Fontana detto Tartaglia enuncia (1546) il sistema di soluzione delle
equazioni cubiche ridotte.
Il francese François Viéte (Fontenay-Le Comte 1540-Parigi 1603) dà la prima
esposizione di algebra simbolica (1591), che permette di scrivere lunghe
espressioni matematiche, secondo il metodo moderno.
1600-1700
Lo scozzese John Napier (Giovanni Nepero) (Edimburgo 1550-1617) e lo svizzero
Jost Bürgi (Licktensteig 1552-Kassel 1632) inventano i logaritmi, giungendo allo
stesso risultato indipendentemente l'uno dall'altro.
L'inglese Henry Briggs (Warleywood 1561-Oxford 1631) pubblica (1617-24) le
prime tavole di logaritmi a base 10.
Il francese Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne 1601-Castres 1665)
concepisce i principi essenziali della geometria analitica.
Bonaventura Cavalieri (Milano 1598-Bologna 1647) realizza notevoli progressi nel
campo della trigonometria sferica e del calcolo infinitesimale (1632-35).
Il francese René Descartes (Renato Cartesio) (La Haye 1596-Stoccolma
1650) pubblica (1637), come appendice al Discours de la méthode, la
Géometrie, contenente i fondamenti della geometria analitica.
Il francese Blaise Pascal (Clermont 1623-Parigi 1662) crea le basi della
geometria proiettiva e, insieme con Fermat, fonda il calcolo delle probabilità
(1639-47).
L'inglese Isaac Newton (Woolsthorpe 1642-Londra 1727) inventa (1665) il
calcolo delle flussioni, più tardi detto calcolo differenziale.
Il tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz (Lipsia 1646-Hannover 1716) giunge
(1684) per altra via, indipendentemente da Newton, a curare il calcolo
differenziale.
Lo svizzero Jakob Bernoulli (Basilea 1654-1705) inventa (1687) il calcolo
delle probabilità; suo fratello Johann Bernoulli (Basilea 1667-1748) pone i
fondamenti (1697) del calcolo esponenziale.
1700-1800
Lo svizzero Eulero, nome latinizzato di Leonhard Euler (Basilea 1707Pietroburgo 1783), introduce (1744) nella geometria analitica il calcolo delle
variazioni, che permette moltissimi nuovi impieghi del calcolo applicato alle
curve e alle superficie.
1800-1900
Il tedesco Karl Friedrich Gauss (Brunswick 1777-Gottinga 1855) dà la
dimostrazione rigorosa (1797) del teorema fondamentale dell'algebra: ogni
equazione ha tante soluzioni quanto è il suo grado. Nel campo della geometria, è il
primo a considerare il concetto di spazio curvo, mettendo in crisi la geometria
euclidea.
Il francese Pierre Simon de Laplace (Beaumont-en-Auge 1749-Parigi 1827)
espone (1809) i fondamenti del calcolo con funzioni generatrici (analisi
matematica) e utilizza il calcolo infinitesimale per sviluppare la teoria delle
probabilità.
Il francese Augustin Cauchy (Parigi 1789-Sceaux 1857) stabilisce (1821) su basi
rigorose il calcolo infinitesimale.
Il francese Jean-Victor Poncelet (Metz 1788-Parigi 1867) fonda la geometria
proiettiva (1822).
ll norvegese Niels Heinrich Abel (Finney 1802-Arendal 1829) fonda la teoria delle
equazioni algebriche (1824).
Il russo Nikolaj lvanovié Lobacévskij (Makar'ev 1793-Kazan' 1856) espone
(1926) e poi pubblica nei Nuovi fondamenti della geometria (1835-38) la sua
concezione della geometria non euclidea che verrà successivamente detta
iperbolica.
L'ungherese Janos Bolyai (Kolozsvar 1802-Marosvasarhely 1860) pubblica nel
1831 una teoria sulla geometria iperbolica.
Il tedesco Bernhard Riemann (Breselenz, Hannover, 1826-Selasca, Lago
Maggiore, 1866) elabora nuove teorie sulle funzioni, sugli integrali e sulla
costruzione di un sistema geometrico non euclideo (geometria ellittica di Riemann).
Postula, inoltre, spazi curvi a tre e più dimensioni.
Il tedesco August Ferdinand Mòbius (Schulpforta 1790-Lipsia 1868) getta le basi
(1863) della topologia, una branca della geometria che studia le proprietà degli enti
geometrici che non variano quando vengono sottoposti a una deformazione
continua.
L'irlandese George Boole (LincoIn 1815-Cork 1864) è uno dei fondatori
dell'algebra astratta, e il primo ad avere piena coscienza dell'inapplicabilità delle
nozioni e dei metodi algebrici a oggetti non materiali. È fondatore anche
dell'algebra della logica (logica o algebra booleana).
APPROFONDIAMO
Il tedesco Georg Cantor (Pietroburgo 1845-Halle 1918) espone la teoria dei
numeri irrazionali, definisce i numeri transfiniti, formula in modo compiuto e
rigoroso la teoria degli insiemi.
Il tedesco Felix Klein (Dùsseldorf 1849-Gottinga 1925) studia i rapporti tra le
geometrie non euclidee e la teoria dei gruppi, e definisce rigorosamente l'ambito
della topologia.
Il tedesco Friedrich Ludwig Gottlob Frege (Wismar 1848-Bad Kleinen 1925)
inizia l'opera di unificazione tra aritmetica e logica.
Giuseppe Peano (Cuneo 1858-Torino 1932) espone un completo e organico
sistema di calcolo geometrico ed elabora una simbologia che diverrà elemento
fondamentale della logica matematica.
Federigo Enriquez (Livorno 1871-Roma 1946) dà una sistemazione rigorosa
alla geometria proiettiva.
APPROFONDIAMO
Pitagora nacque a Samo nel 572 a.C. Il padre fu un bravo tagliatore
di pietre preziose, sufficientemente agiato per potere pagare al
figlio, ragazzo intelligente e studioso, eccellenti maestri, i migliori
cervelli del tempo.
Nel 548 a.C., dopo un' ultima visita a Delo, il suo maestro ed amico
morì. Pitagora riprese a viaggiare da solo, ininterrottamente per 12
anni, come rappresentante di commercio del padre. In Egitto,
offrendo belle coppe cesellate, si accattivò il favore dei sacerdoti
egiziani, i quali lo accolsero come uno di loro e gli aprirono i misteri
della loro scienza; fu così che il giovane imparò l'egiziano, la
geometria, i pesi, le misure, il calcolo con l'abaco, le qualità dei
minerali. Si recò, poi, in Fenicia ed in Siria, e nel 539 a.C. lo
troviamo a Babilonia , dove i sacerdoti caldei, anch'essi catturati
dalla generosità dello studioso Samio, gli insegnarono l'astronomia
e la matematica.
Tre anni dopo fu a Creta, dove prese moglie e conobbe Epimenide,
una sorta di mago, purificatore ed indovino, che si arrogava il
privilegio di un rapporto diretto ed esclusivo con la divinità, e si
vantava di avere vissuto molte vite. Ancora un breve soggiorno a
Sparta, per studiarvi le leggi ed il calendario; e nel 538 a.C., dopo
18 anni di assenza, eccolo di nuovo a Samo.
Forte delle conoscenze accumulate, Pitagora aprì nell'isola una scuola, che
funzionava anche come centro di consulenza scientifica. Con i suoi
concittadini, però, i rapporti furono tutt'altro che idilliaci. L'ambizione e la
superiorità intellettuale del giovane scienziato non piacevano a nessuno: né
ai ricchi arroganti aristocratici, i quali lo disprezzavano per le sue origini
borghesi, né agli invidiosi artigiani, i quali lo ignoravano, né allo spregiudicato
Policrate, il quale, divenuto il padrone dell'isola, lo snobbava e non gli
affidava nemmeno uno dei progetti delle tante opere pubbliche che stavano
sorgendo a Samo. L'isola natale cominciava ad andargli ormai troppo
stretta: di qui la decisione di trasferirsi a Crotone, da lui conosciuta
attraverso la descrizione che gli aveva fornito l'immigrato Democede,
diventato suo amico.
A Crotone, nella fiorente Magna Grecia, fondò la famosissima SCUOLA
PITAGORICA, che ebbe un notevole peso sullo sviluppo politico-sociale della
città. Le scoperte scientifico-matematiche alla Scuola Pitagorica furono
parecchie, ma il merito veniva sempre attribuito all’ illustre maestro
Pitagora.
A Crotone, nella fiorente Magna Grecia, fondò la famosissima SCUOLA
PITAGORICA, che ebbe un notevole peso sullo sviluppo politico-sociale della
città. Le scoperte scientifico-matematiche alla Scuola Pitagorica furono
parecchie, ma il merito veniva sempre attribuito all’ illustre maestro Pitagora.
Le sue più grandi scoperte sono:
•Il famoso TEOREMA;
•La risoluzione di alcuni problemi sulle aree:
•La costruzione dei poliedri regolari;
•Il teorema sulla somma degli angoli di un triangolo.
La scoperta più famosa è stata, senza ombra di dubbio, il teorema di Pitagora.
Esistono molti modi per raffigurarlo ma purtroppo non si hanno documenti
specifici originali del tempo. Oggi viene raffigurato così:
IIl teorema di Pitagora dice che:
il quadrato costruito sull’ ipotenusa di un triangolo
rettangolo è equivalente alla somma dei due quadrati
costruiti sui due cateti.
Una dimostrazione del teorema venne inventata nel 1876 da un deputato dell’
OHIO al Congresso degli Stati Uniti di nome James Abram Garfield, che
sarebbe diventato poi presidente degli USA.
x  y   2  z  z
2
2
L’area dei triangoliT1 ,T2 e T3 è
equivalente all’area del trapezio
ABED
x  y   x  y 

2
2 xy  z 2 x 2  y 2  2 xy

2
2
L’area dei triangoliT1 ,T2 e T3 è
equivalente all’area del trapezio
ABED
z 2  x2  y 2
B
E
T3
x
T1
A
y
z
y
z
T2
C
x
D
Come già detto Pitagora si occupò anche di geometria solida.
Infatti costruì i POLIEDRI REGOLARI (solidi che hanno per facce poligoni
regolari uguali fra loro) che sono 5:
L’icosaedro
Il dodecaedro
L’ottaedro
L’esaedro o cubo
Il tetraedro
1)Anni fa una navicella spaziale venne lanciata nello spazio, senza meta.
Doveva essere un messaggio per eventuali altri abitatori dell’universo, una
testimonianza dell’esistenza dell’umanità e del grado di civiltà da essa
raggiunta. Pensare che vi era raffigurata l’immagine dell’uomo e della donna
e…il teorema di Pitagora!
2)Ci sono molti minerali che assumono le forme
di poliedri regolari diventando così vere e
proprie bellezze del creato.
Ecco alcune immagini…
Esempi di cristalli ottaedrici
RITORNO AL
PERCORSO
Le frazioni nascono dal bisogno delle antiche civiltà di usare nel
loro commercio di sottomultipli delle unità di misura.
La prima testimonianza dell’uso delle frazioni risale agli antichi
Egizi nel XVII secolo a. C.
La leggenda narra che Seth aveva e glielo aveva ridotto
in pezzi, ma Thot riuscì a rimetterglielo insieme. Gli
antichi egizi usavano i pezzi di questo occhio per
descrivere le frazioni.
Il diagramma mostra quale parte dell'occhio indica quale
frazione. Sarebbe possibile avere altre frazioni
combinandole, così tre quarti corrisponde alla parte
dell'occhio che mostra metà più un quarto.
Evidentemente usavano solo alcune frazioni. Non
potevano descrivere la frazione 1/3 accuratamente,
evidentemente. Un occhio intero rappresenta uno.
Sommando tutti i pezzi, si ottengono 63/64, e non 64/64!
Gli egiziani dicevano che il 1/64 mancante sarebbe
venuto fuori grazie a una magia di Thot!
Indichiamo con una a un numero naturale qualsiasi e con b un
numero naturale diverso da o e consideriamo la frazione a/b; il
numero b scritto sotto la linea di frazione si dice denominatore e
indica in quante parti uguali si deve dividere la grandezza
considerata (detta unitaria o intero).
Il numero a scritto sopra la linea di frazione si dice numeratore e
indica quante parti si devono considerare.
Il numeratore e il denominatore si dicono i termini della frazione.
Una frazione è il quoziente della
divisione tra il suo numeratore e il
suo denominatore.
Ogni frazione avente denominatore 1 rappresenta un
numero uguale al numeratore.
Viceversa: ogni numero naturale può essere rappresentato
da una frazione avente per denominatore 1 e per
numeratore il numero stesso.
Frazione con numeratore uguale al denominatore
Ogni frazione avente il numeratore uguale al denominatore
è uguale all’ unità.
Viceversa:l’unità può essere rappresentata con una
frazione avente denominatore e numeratore uguali tra
loro.
Frazione con numeratore 0 e denominatore diverso da 0
Ogni frazione avente numeratore uguale a zero e il
numeratore diverso da zero è uguale a zero.
Frazioni con denominatore zero
Una frazione avente il denominatore zero è priva di
significato.
Frazione propria. Frazione impropria. Frazione apparente.
1 REGOLA
Una frazione si dice propria se il denominatore è minore del denominatore
Ogni frazione propria è minore di 1.
2 REGOLA
Una frazione si dice impropria se il numeratore è maggiore o uguale al denominatore.
Ogni frazione impropria è maggiore o uguale a 0.
3 REGOLA
Una frazione impropria si dice più precisamente frazione apparente se il numeratore è
multiplo del denominatore.
Ogni frazione apparente rappresenta un numero naturale diversi da 0.
Operando su una grandezza con una frazione apparente otteniamo una grandezza che è 1, 2,
3 volte la grandezza data.
Proprietà invariantiva delle frazioni. Frazioni equivalenti.
Due o più frazioni si dicono equivalenti se, applicate a una stessa grandezza o a grandezze
uguali, conducono allo stesso risultato.
Proprietà invariantiva delle frazioni o proprietà fondamentale:moltiplicando o dividendo il
numeratore e il denominatore di una frazione per uno stesso numero,diverso da zero,si
ottiene una frazione equivalente alla frazione data.
Applicazioni della proprietà invariantiva
Semplificare una frazione significa trovarne un’
altra equivalente a essa,ma con i termini più
piccoli.
Per semplificare una frazione si dividono
numeratore e denominatore per uno stesso
numero,loro divisore comune.
Una frazione semplificabile si dice anche
riducibile.
Una frazione si dice anche irriducibile o ridotta ai
minimi termini quando numeratore e denominatore
sono numeri primi tra loro.
Per ridurre una frazione i minimi termini si può
procedere in due modi:
1 REGOLA
Dividere successivamente il numeratore e il
denominatore per un loro divisore comune fino a
che i due termini della frazione cosi ottenuta
siano numeri primi tra loro.
2 REGOLA
Dividere numeratore e denominatore per il loro
M.C.D.
Trasformazione di una frazione in un’ altra
equivalente di assegnato denominatore.
Una frazione può essere trasformata in un’ altra
equivalente di assegnato denominatore solamente
se questo denominatore è multiplo del
denominatore della frazione data o di quello
ottenuto dopo aver ridotto la frazione data ai
minimi termini.
Per trasformare una frazione in un’ altra di assegnato denominatore:
1 REGOLA
Si riduce ai minimi termini la frazione data (se è necessario)
2 REGOLA
Si divide il denominatore assegnato per il denominatore della frazione data (o di quella
ridotta ai minimi termini)
3 REGOLA
Per ottenere il nuovo numeratore si moltiplica il numeratore della frazione data (o di quella
ridotta ai minimi termini) per il quoziente esatto ottenuto.
Riduzione di due o più frazioni allo stesso denominatore
Per ridurre una o più frazioni al minimo comun denominatore:
1 REGOLA
Si riducono le frazioni date ai minimi termini (se non lo sono gia)
2 REGOLA
Si calcola il m.c.m. dei denominatori delle frazioni ridotte
3 REGOLA
Si trasforma ciascuna delle frazioni ridotte nella frazione equivalente avente per
denominatore il m.c.m. prima calcolato.
Di due frazioni aventi uguale denominatore la maggiore è quella che
ha numeratore maggiore.
Di due frazioni avente uguale numeratore la maggiore è quella che ha
per denominatore minore.
Per confrontare due frazioni aventi numeratori diversi e
denominatori diversi si riducono al m.c.d.:
la frazione maggiore è quella che,dopo la riduzione, ha il numeratore
maggiore.
Classi di frazioni equivalenti. numeri razionali assoluti.
Una classe di frazioni equivalenti è un insieme di frazioni tutte
equivalenti tra loro;ogni classe di frazioni equivalenti è rappresentata
da una qualunque delle frazioni che vi appartengono:generalmente
come frazione rappresentante si assume la frazione ridotta ai minimi
termini;
una classe di frazioni equivalenti si dice numero razionale assoluto.
L insieme di tutte le classi di frazioni equivalenti costituisce l insieme
dei numeri razionali assoluti e si indica con il simbolo Qa.
Addizione
La somma di due o più frazioni aventi uguale denominatore è una frazione avente per denominatore
uguale e per numeratore la somma dei numeratori.
L addizione di frazioni gode di tutte le proprietà dell’ addizione di numeri naturali ed è sempre
possibile nell’ insieme Qa dei numeri razionali assoluti.
L insieme Qa dei numeri razionali assoluti è quindi chiuso rispetto all’ addizione e l elemento
neutro è lo zero.
Numero misto
Il numero misto è la somma indicata di un numero naturale e di una frazione propria.
Un numero misto qualsiasi può essere scritto sotto forma di frazione impropria.
Ogni frazione impropria può essere scritta sotto forma di numero misto nel quale la parte intera è
il numero naturale quoziente della divisione tra il numeratore e il denominatore della frazione;la
parte frazionaria ha come numeratore il resto della divisione e come denominatore, il
denominatore della frazione impropria.
Sottrazione
La differenza tra due frazioni,la prima delle quali maggiore o uguale alla seconda,è quella frazione che
addizionata alla seconda dà per somma la prima,
la differenza tra due frazioni aventi uguale denominatore è una frazione avente per denominatore uguale
denominatore e per numeratore la differenza tra i numeratori.
La sottrazione tra due frazioni gode di tutte le proprietà della sottrazione tra i numeri naturali ed è un’
operazione possibile nell’ insieme Qa dei numeri razionali solamente se il minuendo è maggiore o uguale al
sottraendo.
Quindi l’ insieme Qa dei numeri razionali assoluti non è chiuso rispetto alla sottrazione.
Moltiplicazione
Il prodotto di due frazioni è la frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore
il prodotto dei denominatori.
Il prodotto di più frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore
il prodotto dei denominatori.
In pratica si opera direttamente sui fattori della moltiplicazione dividendo il numeratore e il
denominatore,anche di frazioni diverse,per un loro divisore comune.
La moltiplicazione di frazioni gode di tutte le proprietà della moltiplicazione dei numeri naturali ed è un’
operazione sempre possibile nell’ insieme Qa dei numeri razionali assoluti.
L’ insieme Qa dei numeri razionali assoluti è quindi chiuso rispetto alla moltiplicazione e l’ elemento neutro è l’
unità
Inverso o reciproco di una frazione
La frazione inversa di una frazione data si ottiene scambiando il suo numeratore con il suo denominatore;il
prodotto di una frazione per la sua frazione inversa è uguale a uno.
RITORNO AL
PERCORSO
A partire dal XVI secolo la matematica cominciò a progredire e dopo la metà
dell’Ottocento sempre di più.
Nel Novecento ci si accorse che gli argomenti della matematica si erano ampliati e
divisi in diversi rami che si potevano ancora allargare e pian piano gli argomenti sono
aumentati sempre di più.
Per unificare tutti gli argomenti matematici (aritmetica, geometria, algebra,...)
Georg Cantor li raggruppò grazie alla teoria degli insiemi.
Georg Cantor (1845-1918) nacque a Pietroburgo,
studiò in Germania e in Svizzera, si laureò a Berlino e
fu docente di matematica all’università di Halle, dove
insegnò per quasi tutta la sua vita. Con la “teoria degli
insiemi” si è potuto scoprire la “matematica senza
numeri”. Fra il 1878 e il 1883 viene pubblicato il libro
del matematico Georg Cantor, “Mathematische
Annalen”, riguardante la teoria degli insiemi. La teoria
di Cantor suscitò fin dall’inizio vivaci discussioni tra i
matematici dell’epoca, alcuni dei quali riconobbero
subito l’importanza delle idee esposte, mentre altri
non diedero molta importanza a queste idee.
Bertrand Russell ( 1872-1970), matematico e
filosofo inglese, fu il primo a mettere in
discussione la teoria di Cantor detta “Teoria
ingenua degli insiemi”. Russell nel 1902 scrisse una
lettera al suo collega in cui descriveva la
cosiddetta “antinomia di Russell”:
“In un villaggio consideriamo l’insieme degli
uomini che non si fanno la barba da soli, ma se
la fanno fare dall’unico barbiere del villaggio. Il
barbiere apprtiene o no all’insieme?”
Se vi appartiene non si rade da solo, ma si fa
radere dal barbiere. Cioè da se stesso. Quindi in
realtà si rade da solo, cioè non appartiene
all’insieme. Se non vi appartiene, cioè si rade da
solo, essendo il barbiere, si fa radere dal
barbiere. Il barbiere insomma appartiene e non
appartiene contemporaneamente all’insieme. Una
palese contraddizione!
Russell e le sue antinomie diedero inizio al periodo della crisi dei fondamenti della
matematica, che fu superato grazie agli studi più precisi ed elaborati dei criteri di
comprensione di un elemento in un insieme
Ernst Zermelo nacque nel 1871 e morì nel 1953, nel XX
secolo grazie a lui fu sviluppata la teoria assiomatica
degli insiemi in contrasto alla teoria contraddittoria di
Cantor, Ernst Zermelo fu professore Gottinga ed è
considerato il fondatore della moderna teoria degli
insiemi.
La teoria di Cantor oggi è riconosciuta da tutti, è il
fondamento dei più importanti campi attuali della
matematica e sono molti i riconoscimenti della sua
grande opera.
Un insieme è un gruppo di elementi con una caratteristica in comune.
Si può rappresentare in diversi modi:
la rappresentazione per elencazione o tabulazione,
A = { do, re, mi, fa, sol, la, si }
la rappresentazione per caratteristica,
A = { a/a è un nota musicale }
la rappresentazione con il diagramma di Eulero Venn.
.re
. fa
. la
. do
.mi
. sol
.si
A
Un insieme è finito o limitato quando ha cardinalità.
Un insieme è infinito quando non ha cardinalità.
Può avere dei sottoinsiemi che si dividono in propri e impropri.
Operazione
Unione
Dati due insiemi A e B si calcola A unito con B prendendo tutti gli elementi di A e di B
(una sola volta per quelli comuni)
A = { 1, 3, 5, 7 }
B = { 2, 4, 6 }
AUB
B
.2
A
.5
.7
.4
.6
.1
.3
AUB = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
Intersezione
Dati due insiemi A e B si calcola AUB prendendo solo gli elementi comuni ai due insiemi.
A ={ 1,2,3,4,5 }
B ={ 1, 3, 5, 7, 8 }
AпB ={ 1, 3, 5 }
A
.8
.7
AЛB
.1
.3
.5
.2 B
.4
Sottinsieme
Dato un insieme A e un suo sottoinsieme proprio B si chiama complementare=B;CBi quel
sottoinsieme che unito a B dà l’insieme A.
A={a/a un numero pari minore di 20}
B={b/b un numero pari minore di 10}
.10
.12
.14
.16
.18
.0 .2
.4 .6
.8
Partizione
Operare una Partizione significa dividere l’insieme da ripartire in sottoinsiemi propri e
disgiunti tali che la loro unione dia l’insieme iniziale.
A={a; e; i; o; u}
P1={a; u}
P2={o}
P3={e; i}
Insieme delle parti
Dato un insieme A si calcola l’insieme delle sue parti scrivendo tutti i suoi sottoinsiemi
propri e impropri.
A={1; 2; 3}
RITORNO AL
IP={{1; 2; 3}; Ǿ; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1}; {2}; {3}}
PERCORSO
La lunga storia di p
L’importante scoperta che il rapporto tra una circonferenza e
il suo diametro è costante risale ad epoche molto lontane.
Il suo simbolo p, fu introdotto nel XVII secolo ed è l’iniziale della parole
greca “circonferenza”, ma alla ricerca del suo effettivo valore si erano
dedicati molti matematici già parecchi secoli prima.
Iniziamo con il…..PAPIRO DI RHIND
Il papiro di Rhind è il più esteso
papiro egizio di natura matematica
giunto fino a noi. Deve il suo nome
all'antiquario scozzese Henry Rhind
che lo acquistò nel 1858 a Luxor in
Egitto. È scritto in ieratico ed è largo
33 cm e lungo 3 m. Contiene tabelle
di frazioni e 84 problemi aritmetici,
algebrici e geometrici con le
relative soluzioni.
A = pr² = (8/9 d)²
p = A/r²=A:(d/2)² =(8/9 d)² : (d/2) = 64/81 d² · 4/d² = 256/81 = 3,16049…
Continuiamo con
Un’altra testimonianza si trova nella Bibbia dove, a proposito della costruzione di un tempio a Gerusalemme nel 968 a.C. , si parla di bacino
di rame destinato a contenere l’acqua per l’abluzione dei sacerdoti.
Tale bacino misurava 10 cubiti da un bordo all’altro e con una corda
di 30 cubiti se ne faceva il giro; per gli Ebrei dunque il valore di p era 3,
valore confermato ancora in epoca posteriore come si legge nel Talmud, un complesso di insegnamenti ebraici, parlando della circonferenza come di “ciò che ha tre palmi di giro ed è largo un palmo”.
PERSONAGGI:
Archimede fu matematico, fisico,
inventore di grandissima genialità. I
suoi studi e le sue scoperte ebbero
enorme importanza nella storia della
scienza. Nacque a Siracusa, in Sicilia,
nel 287 avanti Cristo, ma compì i suoi
studi ad Alessandria, con i seguaci di
Euclide. La sua fama è legata
soprattutto alle sue scoperte nel
campo della geometria e
dell'idrostatica, una scienza che
studia l'equilibrio dei fluidi.
Verso il 150 d. C. il grande astronomo Tolomeo,
studiando il comportamento dei pianeti, ebbe
bisogno di particolari strumenti matematici che lo
portarono ad imbattersi in p di cui calcolò il
valore 3,1416, ottenuto considerando un poligono
inscritto di 360 lati. Nei secoli successivi, progressi
nel calcolo di p si registrarono in Oriente. Finora
abbiamo usato la notazione decimale per
indicare i valori di p , per avere un più immediato
confronto delle diverse approssimazioni, ma fu
solo quando l’Europa si risvegliò dal lungo sonno
matematico del Medioevo, che venne introdotto
il moderno sistema di scrittura decimale delle
frazioni.
Questo permise un calcolo più spedito e un più
alto grado di precisione.
Il francese François Viète non era un matematico
professionista: giurista e polito, divenne conseguire
del Re Enrico IV al parlamento di Bretagna. François
Viète matematico e uomo politico francese. Come
matematico è noto soprattutto per l'introduzione di
notazioni algebriche sintetiche capaci di rendere gli
sviluppi deduttivi più compatti e più stringenti; egli si
può ritenere la figura centrale ed eminente del
periodo rinascimentale. È conosciuto anche con il
suo nome latinizzato, Franciscus Vieta. Le sua attività
si dividono tra una intensa vita politica e una serie di
ricerche matematiche.
Viète dedica alla matematica soltanto il tempo che gli
rimane libero dagli impegni politici, ma ciò nonostante
riesce a dare notevoli contributi all'aritmetica,
all'algebra, alla trigonometria e alla geometria.
All’inizio del 1600 il matematico olandese Van Ceulen, che
aveva dedicato anni a calcolare p , ne trovò una sua
approssimazione fino alla 35esima cifra esatta.
Nel 1670, il grande Isaac Newton affronta il calcolo di p
con il suo metodo delle flussioni e con il suo teorema
dello sviluppo del binomio.
Nel 1674, il suo grande rivale Leibniz scopre che si può calcolare p/4 con una
discreta approssimazione sommando i termini della serie.
Gottfried Wilhelm Leibniz nacque a Lipsia il primo luglio
del 1646. Dopo aver studiato filosofia, diritto e
matematica a Lipsia ottenne il diritto di tenere lezioni
nell'università di Lipsia.
Carl Lindemann nacque il 12 Aprile 1853 e morì il 6 Marzo
1939. Egli era un matematico tedesco celebre e noto per la
sua dimostrazione della trascendenza di p (1882). Lindemann
naque in Germania. La famiglia si trasferì successivamente e
Ferdinand iniziò i suoi studi. Studiò matematica A Erlangen
rivette il dottorato, con la supervisione di Felix Klein, sulle
geometrie non Euclidee. Nel 1882, pubblicò il risultato per cui
è più noto, la dimostrazione della trascendenza di pi greco e
che l'antico problema della quadratura del cerchio con riga
e compasso era irrisolvibile.
p/4= 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 ..............
Il matematico indiano, Srinivasa Ramanujan (1887-1920), elaborò
teorie per approssimazione rapide e accurate di p. Nato in India
da una famiglia povera, non possedeva i mezzi per seguire regolari
corsi di studi. Fu quindi un autodidatta e si concentrò
essenzialmente sullo studio della matematica. Per mantenere se
stesso e la famiglia, accettò un impiego a Madras con un salario
da fame. Preso dalle disperazione, spedì i risultati delle sue ricerche
ad alcuni dei più famosi matematici inglesi del tempo.
Godfrey Hardy si degnò di rispondere ai risultati delle
ricerche di Srinivasa Ramanujan, dopo che fu convinto,
dalla lettura del resoconto del giovane indiano, di
avere di fronte “un diamante allo stato grezzo”.
Superando mille difficoltà fece venire Srinivasa
Ramanujan da lui a Cambridge e per cinque anni
lavorarono insieme in piena sintonia e ottenendo
brillanti risultati. La tubercolosi, e forse anche la grande
nostalgia della sua terra, minarono il fisico e il morale di
Srinivasa.
Anche il matematico inglese Shanks nel 1873 si
occupò di p e calcolò 707 cifre decimali. Dopo di lui,
Nel 1946 il connazionale Ferguson si accorse che Shanks, dopo la 527ˆ cifra, aveva
commesso un errore, e quindi tutte le cifre che seguivano erano sbagliate. Le
ricalcolò esattamente fino alla 710ˆ.
Ecco dal 1579 ad oggi le tappe del lungo cammino di questa ricerca:
Anno della scoperta
Autore del calcolo
Numero di cifre decimali
1579
Viète
9
1593
Romanus
16
1610
Ludolph van Ceulen
25
1621
Snell
35
1699
Sharp
72
1706
Machin
101
1790
Vega
137
1844
John Dase
201
1853
Rutherford
441
1873
William Shanks
527
1949
Calcolatore ENIAC
2 036
1959
Calcolatore IBM 704
10 000
1997
Yasumasa Kanada
5 540 000 000
1999
Percival
40 000 000 000 000
di p
NOI E ….. p
Nel triennio della scuola secondaria di 1°
grado, abbiamo incontrato p nelle seguenti
formule:
1) misura della circonferenza
c= 2  p  r
2) area del cerchio
Ac= p r ²
3) area totale e laterale del cono e
cilindro e loro volumi
Al cilindro= 2 pr  h
At cilindro= 2 p r  h + 2 pr²
Al cono= 2 pr  a : 2
At cono= 2 pr  a : 2 + 2pr²
V cilindro= pr²  h
V cono= pr²  h : 3
4) superficie
della sfera
As= 4 pr²
e
volume
Vs= 4/3 pr ³
RITORNO AL
PERCORSO
È come scrivere la terna
pitagorica: 32+42=52
L’uso delle lettere al posto dei numeri è abbastanza
recante nella storia della matematica.
Bisogna infatti arrivare intorno al XVI secolo con i grandi
matematici, quali tedeschi Adamo Riese (1492-1559) e
Michele Stiefel (1486-1567) e gli italiani Gerolamo
Cardano (1501-1576), Nicolò Tartaglia (1506-1557) e
soprattutto Raffaele Bombelli, autore di un’ opera,
L’algebra, pubblicata nel 1572.
Gerolamo Cardano
Nicolò Tartaglia
Il padre moderno calcolo letterale è però considerato il
matematico francese Franosi Viète (1540-1603), che
introdusse l’uso sistematico delle lettere e, in particolare, i
simboli delle operazioni tuttora in uso.
Viète fece proprio una netta distinzione fra il calcolo
numerico e il calcolo letterale; chiamò il primo “logistica
numerosa” e il secondo “logistica speciosa”, cioè “arte
del calcolo con le species” (dal latino species= simboli), e i
simboli erano proprio le lettere dell’alfabeto.
Molti altri matematici successivamente diedero una
grandissima importanza all’uso delle lettere quale sistema
impareggiabile per descrivere e generalizzare proprietà e
procedimenti.
Fra questi ricordiamo Cartesio, Newton, Leibniz,
Eulero,Abel,e Galois .
Cartesio
Eulero
Newton
L’introduzione del calcolo letterale segnò una svolta
decisiva negli studi matematici, al punto che i grandi
algebristi del rinascimento chiamarono l’algebra “ars
magna” (arte grande).
Fare algebra, infatti, significa non occuparsi più di
questo o quel particolare numero, ma interessarsi ai
numeri in generale e quindi alle relazioni che si
possono stabilire tra di essi, relazioni che valgono
per interi insiemi di numeri.
Abel
RITORNO AL
PERCORSO
Leibniz
Galois
“A Diofanto Dio concesse di rimanere fanciullo un sesto della sua vita, dopo un
altro dodicesimo le sue guance si ricoprirono di barba, dopo un settimo egli si
sposò e dopo cinque anni gli nacque un figlio.
Ma questi, giovane sventurato, aveva appena raggiunto la metà dell’età a cui
doveva arrivare suo padre, quando morì.
Diofanto visse nel dolore per la scomparsa dell’ amato figlio quattro anni
ancora, mitigando il proprio dolore con la scienza dei numeri, indi giunse al
termine della sua esistenza”.
Se indichiamo con x l’età alla quale Diofanto morì, avremmo:
x=1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4
da cui:
x – 1/6x – 1/12x – 1/7x – 1/2x=5+4
(84-14-7-12-42) /84x =9
9/84x =9
x=9·84/9=84
Diofanto morì dunque all’età di 84 anni.
RITORNO AL
PERCORSO
La “geometria” si sviluppò ai tempi
dei nostri antenati e molto più tardi
dell’abilità di “contare”.
Nacque come scienza nel 13°
secolo a.C. grazie alla civiltà egizia.
Per via delle inondazioni del Nilo,
gli egiziani dovevano misurare
periodicamente i confini dei terreni
agricoli: si sviluppò così una
primitiva geometria grazie alla
quale poterono successivamente
costruire le piramidi ovvero le
tombe degli antichi faraoni.
La costruzione della piramide
richiedeva moltissime conoscenze
geometriche per poterle prima
progettare, tagliare i blocchi per la
costruzione e per la disposizione
di questi ultimi.
Tuttavia la geometria era incompleta e mischiata a credenze religiose.
Fu in Grecia che, nel 5° secolo nacque la geometria come disciplina,
studiata nelle scuole.
Le scuole in cui si studiava la matematica erano:
1- La scuola ionica fondata da Talete di Mileto
2- La scuola eleatica fondata da Parmenide
3- La scuola pitagorica, fondata da Pitagora
PARMENIDE: Parmenide nacque ad
Elea, in Magna Grecia (nell'Italia
meridionale),
presso
l'odierna
Ascea-Velia (SA), da una famiglia
aristocratica. Della sua vita si
hanno poche notizie. Forse fu
discepolo di Senofane.
Dai suoi concittadini sarebbe stato
chiamato a redigere le leggi della
sua città. Ad Elea fondò inoltre
una
scuola,
insieme
al
suo
discepolo prediletto Zenone.
PITAGORA: Alcuni storici
mettono
in
dubbio
la
veridicità storica di tale
personaggio.
I
biografi
antichi
gli
attribuirono
una
natura
semidivina, che anche gli
permetteva
di
compiere
prodigi tra i quali guarire
dalle
peggiori
malattie.
Fondò
l'omonima
scuola
filosofica ma, convinto della
superiorità della tradizione
orale rispetto alla scrittura,
non lasciò scritti.
Inoltre, siccome vietò a
seguaci di scrivere e di
parlare con estranei delle
proprie
teorie,
risulta
impossibile accertare quali
idee furono sue e quali dei
seguaci.
Ma fra tutti questi filosofi greci, il più
importante è sicuramente Euclide. Egli
ha raccolto insieme gli studi di tutti i
filosofi matematici, rielaborandole e
sistemandole, raccogliendo tutto lo
scibile matematico disponibile nella sua
epoca.
La
sua
opera
è
stata
considerata per oltre 20 secoli un
testo esemplare per chiarezza e rigore
espositivo, e può considerarsi il testo
per l'insegnamento della matematica e
della
precisione
argomentativa
di
maggior successo della storia, ovvero il
testo più letto dopo la Bibbia.
Raffaello Sanzio
Scuola di Atene
Euclide
Talete
da
una
svolta
alla
geometria, infatti è suo il primo
trattato
di
geometria
che
permette la trasformazione di
questa
disciplina
da
scienza
nozionistica a scienza logica e
coerente.
Talete può essere considerato il
padre fondatore della geometria
deduttiva ed è certo il primo
matematico a cui si devono
importanti scoperte.
Si devono a Talete, ad esempio,
le dimostrazioni dei tre seguenti
teoremi:
Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti
Gli angoli opposti al vertice sono congruenti
Due triangoli aventi rispettivamente
congruenti un lato e i due angoli ad
esso adiacenti sono congruenti
Il trattato di geometria di
Talete è il primo libro di
geometria che la storia ci
tramanda, ma è anche il più
importante e attuale libro di
matematica della storia ci
tramanda.
EUCLIDE: Euclide di Alessandria è un
matematico greco, che visse molto
probabilmente durante il regno di
Tolomeo I (367 a.C. ca. - 283 a.C.).
Euclide è noto soprattutto come autore
degli "Elementi", la più importante
opera di geometria dell'antichità;
tuttavia di lui si sa pochissimo. Euclide
è menzionato in un brano di Pappo, ma
la testimonianza più importante su cui
si basa la storiografia che lo riguarda
viene da Proclo, che lo colloca tra i più
giovani discepoli di Platone. Dopo la
morte
di
Alessandro
Magno,
Alessandria d’Egitto diventa
un’
importante centro culturale in cui
nasce, grazie ad Euclide, la “Scuola
matematica di Alessandria”.
L’ opera principale di Euclide è
formata
da
tredici
libri
e
rappresenta il primo trattato della
matematica, raccoglie tutto il
lavoro compiuto in secoli di ricerca.
Euclide ha posto le basi di studio al
metodo assiomatico- deduttivo.
Nell’
ottocento
Karl
Friedrich
Gauss
si
interesso di geometria,
le sue opere furono
pubblicate dopo la sua
morte, esse aprirono la
strada
alla
moderna
matematica.
Gauss iniziò a interessarsi
di matematica quando era
ancora uno studente e
giunse alla conclusione che
era possibile costruire
una
nuova
geometria
fondata su un concetto di
parallelismo diverso da
quello di Euclide.
Gauss non pubblico mai i suoi
studi
perché
sapeva
che
avrebbero suscitato scandalo
tra i filosofi del tempo; le sue
teorie furono pubblicate nel
XIX secolo.
Gli studi di Gauss, quelli di
Nikolaj Ivanoviĉ Lobacevskijĉ
e di Janos Bollai segnarono la
nascita delle geometrie non
euclidee anche se questi
scritti vennero accolti con
difficoltà dai matematici del
tempo.
Nikolaj Ivanovič Lobačevskij
Da una di queste critiche nasce il quinto
postulato che aveva suscitato perplessità
tra gli studiosi dell’epoca e lo stesso
Euclide.
Il quinto postulato è famoso “Per un punto
P non appartenente a una retta A, passa
una e una sola parallela alla retta A”.
Gauss, Lobačevskij e Bolyai negarono il
quinto postulato correggendolo in questo
modo:”Per un punto P non appartenente a
una retta A, passa più di una retta
parallela alla retta A”.
Da questa affermazione
nacque
la
geometria
iperbolica, non più sul
piano euclideo, ma su un
formato dall’insieme dei
punti interni a un cerchio.
Un altro studioso George Friedrich Riemann
allievo di Gauss,negò il quinto postulato nel
seguente modo:
“ Per un punto P non appartenente a una retta
A non passa alcuna retta parallela ad A ”.
Nacque così la geometria ellittica, il cui piano e
formato dall’insieme dei punti di una sfera.
GEORGE FRIEDRICH
RITORNO AL
PERCORSO
Archimede,il più geniale scienziato dell’antichità
classica, nacque a Siracusa, in Sicilia, nel 287 a.C. e
morì nel 212 a.C.
Già da ragazzo dimostrava una sfrenata passione per la
matematica, infatti le sue giornate passavano avvolte
negli studi matematici o nelle figure geometriche. Molto
più tardi Galileo lo chiamò “il massimo genio
sovrumano”.
Tra le notizie certe vi è inoltre quella, tramandata da Diodoro Siculo, che
abbia trascorso un soggiorno in Egitto, e che ad Alessandria strinse
amicizia con il matematico e astronomo Conone di Samo (come capiamo
dal rimpianto per la sua morte espresso in alcune opere).
Coclea o vite di Archimede
Tornato a Siracusa, tenne corrispondenza con vari
scienziati di Alessandria,tra i quali Dositeo
edEratostene, al quale dedicò il trattato Il metodo e
rivolse il problema dei buoi del sole. Polibio, Tito Livio
e Plutarco riferiscono che durante la seconda guerra
punica, su richiesta di Gerone II, si dedicò (a detta di
Plutarco con minore entusiasmo ma secondo tutti gli
autori con non minori successi) alla realizzazione di
macchine belliche che potessero aiutare la sua città a
difendersi dall'attacco di Roma. Infatti, appena Gerone
re di Siracusa, che dopo una precedente alleanza con
Cartagine preferì l’amicizia di Roma malvista dai suoi
concittadini, morì(214 a.C.), la città si schierò con
Annibale capo dell’esercito cartaginese.
I romani si sentirono offesi da
questa voltata di spalle e non ci
pensarono due volte prima di
assaltare la città. Plutarco racconta
che, contro le legioni e la potente
flotta di Roma,
Siracusa non disponeva che di poche migliaia
di uomini e del genio di un vecchio; le macchine
di Archimede avrebbero scagliato massi
ciclopici e una tempesta di ferro contro le
sessanta imponenti quinquereme di Marco
Claudio
Marcello.
Sfortunatamente
il
matematico, nel 212 a.C. fu ucciso durante il
sacco della città
Fu matematico,geometra,astronomo,ingegnere,fisico e inventore e si dedicò
costantemente alla ricerca e alla realizzazione delle sue invenzioni.
Ideò una quarantina di invenzioni
fra le quali la COCLEA, o VITE
DI ARCHIMEDE utilizzata per
trasportare le acque del Nilo
verso le zone non raggiunte dalle
inondazioni e ancora oggi viene
usato per irrigare in molte regioni
del Medio Oriente.
Inoltre formulò il PRINCIPIO TEORICO DELLA LEVA; pare che, durante la
costruzione e il varo di una grossa nave, fosse riuscito a moltiplicare le forze
grazie ad una combinazione di leve e di carrucole e che, in quella occasione
pronunciò la sua celebre frase:
“Datemi un punto d’appoggio e vi solleverò il mondo”
P : R = br : bp
Inoltre,Archimede, seppe applicare i principi della leva
anche alle pulegge che sono sistemi di carrucole fisse e
mobili.
Ma, in realtà, il campo in cui preferiva lavorare e al quale
dedicòla maggior parte della sua attenzione, fu la matematica.
Nel 225 a.C. circa scrisse un libretto di pochissime pagine, dal
titolo: “Misura del cerchio”:questo contiene solo tre proposizioni
dove fornisce un’ottima approssimazione del p e l’area del
cerchio.
Inoltre scoprì i poliedri semiregolari,oggi chiamati archimedei, cioè poliedri
aventi come facce poligoni regolari, non tutti dello stesso tipo, ma con vertici
nei quali occorre lo stesso numero di spigoli. In totale sono tredici e si possono
pensare ottenuti dai poliedri regolari nei quali vengono “smussati” i vertici con
opportuni piani paralleli alle varie facce e tali da formare altre facce che siano
poligoni regolari.
Poliedri archimedei
Grazie agli studi condotti, Archimede è diventato il padre anche
dei principi dell’idrostatica, fra cui quello famoso detto principio
di Archimede.
Qualsiasi solido collocato in un fluido si immergerà in
misura tale che il peso del solido sarà uguale al peso
del fluido spostato.
Si dice che Archimede “scoprì” il principio
dell’idrostatica durante uno dei suoi rari
bagni. Bisogna sapere che il re di
Siracusa, Ierone, temendo che l’orefice
che aveva incaricato di forgiare la corona
avesse utilizzato una lega poco preziosa
invece che l’oro, chiese al matematico di
trovare un metodo per capire che cosa
aveva usato. Archimede lavorò a lungo su
questo nuovo problema e, come ho già
detto, durante uno dei suoi bagni trovò la
soluzione, saltò fuori dalla vasca e corse
per le strade di Siracusa urlando di gioia.
Ovviamente non si accorse di non essersi
rivestito, comunque, che sia una diceria o
no, Archimede divenne il padre dei principi
dell’idrostatica oltre alle altre innumerevoli
scoperte.
IL genio matematico studiò la sfera, su
cui scrisse un altro dei suoi tanti trattati:
“Sulla sfera e sul cilindro”, dove
specifica volumi e superfici di sfere e dei
solidi a cui sono collegate. Con il metodo
di esaustione il grande matematico
dimostra che l’area della superficie
laterale della sfera è quattro volte il suo
cerchio massimo,(un cerchio passante
per il centro della sfera); Dopo la
superficie, Archimede considera nel
trattato il volume della sfera e svela che
anche in questo caso il rapporto costante
fra il volume e il cubo del diametro è
nuovamente legato a p.
Tomba di Archimede
RITORNO AL
PERCORSO
Le
costanti
relative
alla
circonferenza, all’area del cerchio
e al volume della sfera si possono
ricondurre a una sola. Per finire,
nel trattato, il nostro matematico
considera il cilindro circoscritto a
una sfera e dimostra che esso è
grande una volta e mezzo la
sfera, sia per superficie che per
volume. Ed è proprio lo stesso
Archimede ad affermare che
queste ultime scoperte siano i
suoi più grandi capolavori, infatti,
l’importanza che gli attribuiva è
testimoniata dalla sua epigrafe
tombale.
-5
2
p
3
-2/7
La scoperta dei “numeri irrazionali” avvenne più
di 2500 anni fa ad opera dei pitagorici,studiosi
greci della famosa scuola pitagorica e fu una
scoperta che suscitò fra gli studiosi sorpresa e
sgomento. Quella dei Pitagorici (seconda metà
del VI secolo a.C. inizi del III secolo d.C.)
costituisce indubbiamente una delle sette più
numerose che vanti la filosofia antica, con una
storia che si protrae per più di otto secoli con un
totale di ben 218 uomini e 17 donne che hanno
partecipato alla setta. Per loro ogni misura si
poteva esprimere solo con un numero naturale o
con il rapporto tra 2 numeri naturali, cioè un
numero razionale.
Fu il pitagorico Ippaso che, mentre risolveva un
problema (dato un quadrato di lato 2 piedi
trovare il lato di quello di area doppia), si accorse
dei numeri irrazionali.
Infatti si trovò a combattere con il numero 21/2: un numero irrazionale
in quanto decimale illimitato non periodico.
Questi strani enti geometrici furono quindi chiamati alogas, ovvero
indicibili, inesprimibili.
Questa scoperta spazzò via tutte le dimostrazioni pitagoriche che si
basavano sulla supposta commensurabilità di tutti I segmenti, fece
vacillare la supremazia dei numeri interi, stabilì una superiorità della
geometria sull’aritmetica. Infine, I pitagorici, irritati e confusi, per la
sua scoperta gettarono Ippaso nel Mar Mediterraneo.
2
3
Il calcolo con i numeri irrazionali si deve ai matematici:
Nacque il 6 ottobre 1831 e morì
a Braunschweig il 12 febbraio 1916.
Ha dato importanti contributi alla
teoria dei numeri, lavorando in
stretto contatto con Ernst Eduard
Kummer.
Nel 1848, entra al Collegium
Carolinum a Braunschweig e nel
1850, dopo aver conseguito una
robusta
conoscenza
della
Matematica, entra all’Università di
Göttingen. Qui Gauss insegna
Matematica ad un livello abbastanza
elementare e Dedekind apprende la
teoria dei numeri presso il
Dipartimento di Matematica e Fisica
Nacque a San Pietroburgo il 3 marzo
1845 e morì ad Halle il 6 gennaio 1918.
Cantor riconobbe che gli insiemi
infiniti
possono
avere
differenti
cardinalità, separò gli insiemi in
numerabili e più che numerabili e provò
che l'insieme di tutti i numeri razionali Q
è numerabile mentre l'insieme di tutti i
numeri reali R è più che numerabile,
dimostrando in questo modo che
esistono almeno due ordini di infinità.
Egli inventò anche il simbolo che oggi
viene usato per indicare i numeri reali.
Nacque il 12 Aprile 1853 e morì il 6
Marzo 1939 in Germania. Era un
matematico tedesco celebre e noto
per la sua dimostrazione della
trascendenza di p (1882). La famiglia
si
trasferì
successivamente
e
Ferdinand iniziò i suoi studi di
matematica. A Erlangen ricevette il
dottorato, con la supervisione di Felix
Klein, sulle geometrie non Euclidee.
Nel 1882, pubblicò il risultato per cui
è più noto, la dimostrazione della
trascendenza di p e che l'antico
problema della quadratura del cerchio
con riga e compasso era irrisolvibile.
L’ introduzione dei numeri negativi negli studi matematici non è stata
affatto facile. I matematici furono per lungo tempo diffidenti perchè
togliere da una quantità una quantità più grande era un’operazione
quantitativamente impossibile.
Diofanto utilizzò i numeri sottrattivi nel terzo secolo D.C. per indicare i
debiti finanziari.
Nel 600 d.C. Brahmagupta, matematico indiano, e nel nono secolo il
matematico arabo Al-Khuwarizmi accennarono nelle loro opere i
numeri negativi
Gerolamo Cardano, ne “La grande opera “ definisce i numeri positivi
“veri “ e i numeri negativi “finti”. Invece Michael Stiefel li definisce
numeri assurdi.
Li studiarono i grandi matematici del Seicento come gli italiani Ga ileo,
Cavalieri, Viviani, i francesi Cartesio, Fermat, Pascal, l’olandese
Huygens, gli inglesi Wallis , Newton e il tedesco Leibniz.
Diofanto di
Alessandria è noto
come il padre dell’algebra. Della sua
vita si sa ben poco; non sappiamo
neppure il secolo in cui è vissuto.
Alcuni ritengono che sia stato l'ultimo
dei grandi matematici greco-ellenistici.
Diofanto scrisse un trattato sui numeri
poligonali e sulle frazioni, ma la sua
opera principale è l'Arithmetica,
trattato in tredici volumi dei quali
soltanto sei sono giunti fino a noi. La
sua fama è principalmente legata a
due
argomenti:
le
equazioni
indeterminate
ed
il
simbolismo
matematico.
Nato nel 598 e morto nel 668. È stato
un matematico e astronomo indiano.
Gestì
l'osservatorio
astronomico
d’Ujjain, e durante la sua permanenza
scrisse due opere di matematica ed
astronomia:
il Brahmasphutasiddhanta nel 628,
ed il Khandakhadyaka nel 665. Il
Brahmasphutasiddhanta costituisce la
fonte più antica conosciuta, eccettuato il
sistema di numerazione ma ya, a
trattare lo zero come un numero a tutti
gli
effetti,
enuncia
le
regole
dell'aritmetica sui numeri negativi e
sullo zero che sono piuttosto vicini al
modo di ragionare moderno.
PRECEDUTI
DAL SEGNO +
PRECEDUTI DAL
SEGNO
-
NUMERI
INTERI
RELATIVI (Z)
SE
SE
NUMERI
POSITIVI
NUMERI
NEGATIVI
CHE CONTENGONO
ZERO
NUMERI
RAZIONALI RELATIVI
(Q)
SI DIVIDONO IN
NUMERI
REALI
RELATIVI
(R)
SI SUDDIVIDONO IN
CON ESSI
NUMERI
IRRAZIONALI
RELATIVI (I)
È SEMPRE
POSSIBILE
EFFETTUARE
LE OPERAZIONI DI
DIVISIONE
ADDIZIONE
ALGEBRICA
MOLTIPLICAZIONE
ELEVAMENTO
A POTENZA
Con Cartesio, in particolare, i numeri negativi diventano addirittura indispensabili
nella rappresentazione dei punti nel piano.
SI POSSONO
RAPPRESENTARE
PUNTI
POLIGONI
SI
CALCOLA
SEGMENTI
FUNZIONI
EMPERICHE
PIANO
CARTESIANO
FUNZIONI
MATEMATICHE
AREA
FUNZIONI DI
PROPORZIONALITÁ
DIRETTA
PERIMETRO
POSSONO
ESSERE
FUNZIONI DI
PROPORZIONALITÁ
INVERSA
ALTRE
FUNZIONI
RITORNO AL
PERCORSO