VI PRESENTO LE EQUAZIONI
FRATTE
Fornisco alcune diapositive introduttive a cui
farete seguire il vostro lavoro
Quali difficoltà pone
un’equazione fratta
Nella prima parte eravamo arrivati a dire che:
Un’equazione fratta pone due ordini di difficoltà:
1. Difficoltà di tipo teorico
2. Difficoltà di tipo operativo
Difficoltà teoriche:
denominatore nullo = assurdità
A questo proposito avevamo chiarito che le difficoltà di tipo
teorico sono quelle che riguardano la gestione dei
denominatori.
Siccome ci è ormai chiara l’idea che un denominatore nullo
rende priva di significato la sua stessa frazione (e con essa
l’equazione che la contiene), ci siamo allenati a riconoscere
quei valori di x che producono uno o più denominatori nulli e
li abbiamo sistematicamente esclusi dall’insieme delle
soluzioni che consideriamo accettabili.
Cercare i denominatori in
pericolo di assurdo
Ad esempio, quando ci capitano casi come il seguente:
3
x 4 5

2
x
13 3

2
x
Ci affanniamo a dire che, assolutamente, non
possiamo accettare che
2x 1 o 3  2x
siano uguali a zero.
N.B.: trascuriamo il denominatore 3 che non corre pericoli. In
effetti: come potrebbe il 3 diventare 0 se non per magia?
Discutere i denominatori
Escludere l’idea che i denominatori che contengono
l’incognita possano diventare zero non basta. Bisogna portare
il ragionamento fino alle sue ultime conseguenze risolvendo le
relative disequazioni e individuando i valori inaccettabili di x
(per farlo si sfruttando gli stessi principi di equivalenza che si
usano nelle equazioni):
21 1
2
x

1

0

2
x

1

x


x

22 2

2

3 3
3

2
x

0


2
x


3

x


x


2

2 2
Evidenziare le condizioni
Così la nostra equazione fratta:
3
x 4 5

2
x
13 3

2
x
Diventa un’equazione condizionata:
3
x 4 5
  con
2
x
13 3

2
x
1
3
x ;x
2
2
Difficoltà di tipo operativo
A questo punto cominciano le difficoltà operative: è raro
infatti che un’equazione fratta sia composta di frazioni che
abbiano tutte lo stesso denominatore. La nostra equazione, ad
esempio, consiste di tre termini, ognuno con un denominatore
diverso.
3
x 4 5

2
x
13 3

2
x
Ma la diversità tra i denominatori inibisce sia la somma
algebrica sia il confronto fra frazioni.
La prossima mossa in questi casi è quella di individuare un
denominatore comune per trasformare le frazioni date nelle
loro equivalenti che abbiano tutte, come denominatore, il
denominatore comune selezionato.
Individuare il denominatore
comune
Il denominatore comune si calcola trovando il minimo comune
multiplo (m.c.m.) dei denominatori da omogeneizzare.
Ciò si ottiene scomponendo in fattori i denominatori
dell’equazione ed effettuando la moltiplicazione tra tutti i
diversi fattori trovati (presi una volta sola, ma con il massimo
esponente disponibile)
I fattori di una scomposizione
Occorre una precisazione: i fattori sono termini di una
moltiplicazione, perciò scomporre in fattori significa trovare
quei fattori che moltiplicati fra loro danno come risultato
l’oggetto matematico che si sta cercando di scomporre,
numero, monomio o polinomio che sia.
Ad esempio:
Al contrario:
prodotto di
3 x si può scomporre nel prodotto di 3  x
non si può scomporre nel
2x 1
2 x  1 perché questo farebbe 2x2x1
Insomma, scomporre un polinomio (binomio, trinomio,
eccetera) non è affatto una faccenda banale: meglio
procedere con i piedi di piombo.
Se non si riesce a scomporre
Se dunque non si sanno o non si riescono a scomporre i
denominatori polinomiali, il denominatore comune si
individua moltiplicando fra loro i diversi denominatori:
dopotutto è facile.
Nel nostro caso:
3
x 4 5

2
x
13 3

2
x
Sceglieremo come denominatore comune il seguente prodotto
(che gode della proprietà commutativa e dunque posso scrivere
nell’ordine che preferisco):


3
2
x
1
3

2
x
Denominatore comune
dappertutto
Così possiamo riscrivere la nostra vecchia equazione:
3
x 4 5

2
x
13 3

2
x
usando dappertutto il denominatore comune.
Ma che fare dei numeratori? Lasciarli come stanno o adattarli?
E se sì, come?
?
?
?









3

2
x

1

3

2
x
3

2
x

1

3

2
x
3

2
x

1

3

2
x
Frazioni equivalenti
Scavando nei meandri delle possibilità che abbiamo, ci
sovviene che la proprietà invariantiva della divisione
garantisce che, se moltiplichiamo il numeratore e il
denominatore di una frazione per lo stesso valore, la nostra
frazione cambierà aspetto ma non valore.
Dunque questa è la proprietà che dobbiamo sfruttare per
omogeneizzare i denominatori senza che ciò faccia cambiare il
valore delle frazioni date.
Mettiamoci dunque all’opera.
Ricalcolare i numeratori 1
Confrontiamo la versione originale dell’equazione con quella
in cui i denominatori sono tutti uguali :
3
x 4 5

2
x
13 3

2
x
Per trasformare ciascun denominatore nel denominatore comune
è stato necessario eseguire una moltiplicazione. Segnaliamo qui
sotto i fattori utilizzati:
?
?
?









3

2
x

1

3

2
x
3

2
x

1

3

2
x
3

2
x

1

3

2
x
Ricalcolare i numeratori 2
Per i numeratori sarà sufficiente che ciascuno di loro affronti
la stessa moltiplicazione del suo denominatore: avremo
prodotto le frazioni equivalenti che cercavamo.
3
x 4 5

2
x
13 3

2
x
3
x

?
4

?
5

?









3

2
x

1

3

2
x
3

2
x

1

3

2
x
3

2
x

1

3

2
x
Ricalcolare i numeratori 3
Ecco come:
3
x 4 5

2
x
13 3

2
x






3
x

3

3

2
x
4

2
x

1

3

2
x
5

3

2
x

1











3

2
x

1

3

2
x
3

2
x

1

3

2
x
3

2
x

1

3

2
x
Ricalcolare i numeratori 4
Tutto questo si potrebbe subito scrivere anche così:







3
x

3

3

2
x

4

2
x

1

3

2
x
5

3

2
x

1









3

2
x

1

3

2
x
3

2
x

1

3

2
x
Infatti la somma di frazioni con lo stesso denominatore è una
frazione che ha come denominatore lo stesso denominatore…


3
2
x
1
3

2
x
… e come numeratore la somma dei numeratori






3
x

3

3

2
x

4

2
x

1

3

2
x
Eliminare i denominatori
Inoltre, applicando il secondo principio di equivalenza delle
equazioni, è possibile moltiplicare primo e secondo membro
dell’equazione per la stessa quantità (pari al denominatore
comune) ottenendo come risultato la possibilità di eliminare i
denominatori tramite semplificazione delle frazioni prodotto.








3
x

3

3

2
x

4

2
x

1

3

2
x
5

3

2
x

1








3

2
x

1

3

2
x



3

2
x

1

3

2
x



 3




3

2
x

1

3

2
x

2
x

1

3

2
x
N.B. Questa possibilità di semplificare è un’altra conseguenza
benefica della proprietà invariantiva della divisione che in effetti
garantisce che, se moltiplichiamo o dividiamo il numeratore e il
denominatore di una frazione per lo stesso valore, la nostra
frazione cambierà aspetto ma non valore.
Eseguire le operazioni richieste 1
Quel che resta ora della nostra equazione fratta è una
“domestica” equazione intera, di facile risoluzione (per noi: gli
antichi greci, con tutta la loro astuzia e cultura, non se la
cavavano altrettanto bene)







3
x

3

3

2
x

4

2
x

1

3

2
x

5

3

2
x

1
Cominciamo con l’eseguire le moltiplicazioni richieste. Siccome
si tratta di calcolare tre prodotti di tre termini, saremo tenuti ad
applicare la proprietà associativa della moltiplicazione. Cioè
dovremo eseguire il prodotto di due dei tre fattori e poi
moltiplicare tale risultato parziale per il terzo fattore.
Eseguire le operazioni richieste 2
Quindi la nostra:







3
x

3

3

2
x

4

2
x

1

3

2
x

5

3

2
x

1
Diventa dapprima:








9
x

3

2
x

8
x

4

3

2
x

15

2
x

1
E poi:
27
x

18
x

24
x

16
x

12

8
x

30
x

15
2
2
Trasportare i termini simili
Siccome il nostro obiettivo è quello di isolare la x per scoprirne
il valore, portiamo tutti i termini che la contengono al primo
membro e tutti quelli che non la contengono (termini noti) al
secondo membro. Quindi sommiamo ad ogni membro
l’opposto dei termini che vogliamo spostare all’altro membro
(regola del trasporto). Quindi la nostra:
27
x

18
x

24
x

16
x

12

8
x

30
x

15
2
2
Diventa:
27
x

18
x

24
x

16
x

30
x

8
x

12

15
2
2
Sommare i termini simili
E sempre perché vogliamo isolare la x, sommiamo ora i termini
fra loro simili. Quindi la nostra:
27
x

18
x

24
x

16
x

30
x

8
x

12

15
2
2
Diventa:
34
x 29
x
3
2
Accidenti! Questa è un’equazione di secondo grado che non
siamo capaci di risolvere. Per noi questo problema è, al
momento, impossibile.
Proviamo con un’altra equazione.
Nuovo caso proposto
Ecco qui un’equazione interessante:
1x 2x

3x3 2x2
Ma, alt un attimo: questi denominatori sappiamo scomporli con il
raccoglimento a fattor comune!
Nei termini del primo è sempre presente il 3, mentre in quelli del
secondo è sempre presente il 2!
Consegna
Allora adesso continuate voi: prendete questa equazione e
scomponete i polinomi al denominatore, dite quali valori di x
sono da scartare, calcolate i denominatori comuni, ricalcolate
i numeratori, eliminate i denominatori e risolvete l’equazione
intera verificando l’accettabilità del risultato trovato.
1x 2x

3x3 2x2
Fate una diapositiva diversa per ogni cosa che vi ho chiesto di fare
(sfruttando la funzione “duplica diapositiva”). E scrivete quello
che fate, oltre a farlo. Buon lavoro!