Tra semplicità
e complessità
Un breve percorso
intorno al tema
della comprensibilità del mondo
Terza tappa
Luca Mari, Università Cattaneo - LIUC
[email protected]
Il punto della situazione
La “nuova complessità”:
sensibilità alle condizioni iniziali
non linearità nelle relazioni tra “cause” ed
“effetti”
dipendenza dalla struttura e non (solo)
dalla molteplicità
Un esempio:
dinamica delle popolazioni
Si studia la variazione del numero xi di individui della popolazione al
variare del tempo i
k
2
Prima ipotesi: xi+1 = k xi
(dinamica secondo Malthus)
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x 10
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
1200
1000
800
600
400
200
0
1 2 3 4
5 6 7
8 9 10 11
Dunque descriviamo la dinamica del sistema mediante
un’equazione “di transizione di stato” locale
Locale e globale
La capacità di descrizione e previsione possono essere
“locali”, cioè a breve termine
oppure “globali”, cioè complessive e quindi anche a lungo termine


Un esempio:


AdamoBrunoCarloDanieleEttore
la funzione padre_di è locale
padre_di(Bruno) = Adamo
la funzione antenato_di è globale
antenato_di(3,Ettore) = Bruno
La forma delle funzioni:


locali:
globali:
xi+1 = f(xi)
xi = F(i,x0)
oppure
oppure
x(t+Dt) = f(x(t))
x(t) = F(t,x(t0))
Da globale a locale: f(xi)=F(1,xi)
Da locale a globale: F(i,x0)=f(…f(f(xi))…) iterato i volte
Equazioni dinamiche locali e globali
Le equazioni della fisica sono tipicamente globali,
dunque della forma:
x(t) = F(t,x(t0))
6
per esempio:
x(t)= A e-Bt cos(2pCt)
l’equazione dell’oscillatore
armonico smorzato
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
Equazioni di questo genere forniscono una conoscenza
appunto globale sulla dinamica del sistema (e da esse sono
agevolmente ricavabili le corrispondenti equazioni locali)
Equazioni dinamiche:
da locali a globali?
Vale anche il viceversa?
dalla conoscenza della dinamica locale f si può ricavare la
dinamica globale F ?
cioè da x(t+Dt) = f(x(t)) si riesce a ottenere x(t) = F(t,x(t0)) ?
L’esempio (banale) della dinamica malthusiana:
xi+1 = f(xi) = k xi
 xi+2 = f(xi+1) = k xi+1 = f(f(xi)) = k 2xi
xi+n = k nxi
La trasformazione locale  globale è sempre possibile?
Un esempio:
dinamica delle popolazioni /2
Le risorse presenti nell’ambiente consentono il sostentamento di un numero
massimo di individui (per convenzione scelto uguale a 1);
quindi: xi+1 = k(1-xi)xi
k
3.8
0.1
(dinamica secondo Verhulst) x 0
1
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x 10
0.342
0.85514
0.47074
0.94675
0.19159
0.58856
0.9202
0.27904
0.76447
0.68421
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
13
25
37
49
61
73
85
97
In questo caso, per esempio:
xi+2 = f(xi+1) = k (xi+1 – x 2i+1) = f(f(xi)) = k (k (xi –x 2i) – k 2(xi –x 2i)2)
L’espressione analitica della dinamica globale F è talmente complessa che per
calcolare F(t,x0) occorre, di fatto, calcolare l’iterazione f(…f(f(f(x0)))…) t volte
“Caos deterministico”
La dinamica del sistema non può essere
prevista, e l’unico modo possibile per
conoscerla è di “seguirla”, cioè di calcolarla
passo-passo (e quindi iterativamente)
Si tratta di una imprevedibilità dovuta non
alla presenza del caso ma alla conoscenza
solo locale del sistema
Un nuovo paradigma
Tradizionalmente:

equazioni a variabili globali e continue
(conoscibilità ideale sia macro sia micro)
 equazioni differenziali
Alternativamente:

equazioni a variabili locali e discrete
(conoscibilità limitata sia macro sia micro)
 equazioni iterative
Iteratività: un esempio
Indicando z=(x,y) e z0=(x0,y0):
zi+1 = zi2 + z0
…