Comunicazioni da 30 minuti relative alle
varie sezioni
L. Aceto, Matrice di Pascal e metodi numerici per equazioni differenziali
R. Adami, Una derivazione rigorosa dell’equazione di Schrodinger non lineare da una
dinamica quantistica a molti corpi
C. Arezzo, Symmetries, Quotients and Kähler - Einstein metrics
L. Barletti, Trasporto quantistico multibanda in semiconduttori
M. Berti, Risultati di esistenza e unicità per un’equazione
integro-differenziale con nucleo di memoria singolare
S. Bianchini, Approssimazioni singolari ai sistemi di leggi di conservazione
S. Borghesi, Le formule del grado
F. Bracci, Dinamica locale di diffeomorfismi olomorfi in C2
T. Carletti, Sulla stabilità di un punto fisso per iterazione di funzioni di n variabili
complesse
C. Casagrande, Una proprietà numerica delle varietà di Fano
A. D’Andrea, Teoria di de Rham formale
E. D’Aniello, Studio di funzioni regolari e di insiemi analitici attraverso dimensioni
frattali
M. De Falco, Modularità in Teoria dei Gruppi
N. Del Buono, Calcolo della funzione esponenziale di matrici sparse antissimetriche
G. Falcone, Su certe classi di gruppi unipotenti
E. Fiorani, Liouville-Arnold-Nekhoroshev type theorems
I. Fragalà, Concentrazione di energie di Ginzburg-Landau con crescita “supercritica”
G. Iovane, Hypersingular Integral Equations and Applications to Porous Elastic Materials with periodic cracks
A. Malchiodi, Costruzione di spike-layers multidimensionali
A. Musesti, Equazioni di bilancio della Meccanica dei Continui nell’ambito della Teoria Geometrica della Misura
S. Perotto, Adattività anisotropa di griglia: applicazioni alla fluidodinamica computazionale
O. Polverino, Fibrazioni di traslazione di H(q) a la cubica sghemba di P G(3, q)
A. Porretta, Effetti locali e globali in equazioni ellittiche con assorbimento
G. Sangalli, Costruzione della norma naturale per l’operatore di diffusione-trasportoreazione
U. Stefanelli, Alcuni Problemi Quasivariazionali con Memoria
C. Trombetti, Su una classe di equazioni tipo Monge-Ampère con termini di ordine
inferiore
L. Zambotti, Sull’evoluzione di interfacce aleatorie
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XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Una derivazione rigorosa
dell’Equazione di Schrödinger nonlineare
da una dinamica quantistica a molti corpi.
Riccardo Adami
Département de Mathématiques et Applications
École Normale Supérieure
PARIS
Si considera un sistema di N particelle quantistiche interagenti a coppie tramite un
potenziale di tipo delta di Dirac. Tale sistema è rappresentato da una funzione d’onda la
cui evoluzione nel tempo è descritta da un’equazione di Schrödinger a molte particelle.
Assumiamo che all’istante iniziale il sistema sia in uno stato “fattorizzato”, ossia, tale
che le misure su una particella non influenzino lo stato delle altre: a causa delle interazioni
tale condizione non sarà, in generale, preservata nell’evoluzione temporale.
La nostra idea è che si verifichi la “propagazione del caos”: la condizione di fattorizzazione viene recuperata nel limite in cui il numero N di particelle va all’infinito. In questo
modo ci si riconduce a un problema a una sola particella.
Si trova allora che la funzione d’onda che descrive lo stato quantico di singola particella
risolve l’equazione di Schrödinger con nonlinearità cubica.
La strategia della dimostrazione è ispirata ai lavori di H.Spohn e di C.Bardos, F.Golse
e N.Mauser in cui si derivano le equazioni di Hartree e di Schrödinger-Poisson a partire
da un sistema di N particelle quantistiche. Le tecniche e la stessa interpretazione dello
scaling sono però differenti, a causa della particolare forma del potenziale a delta.
Si riscala dunque la costante di accoppiamento del potenziale moltiplicandola per un
fattore N −1 . Si passa poi a studiare il formalismo della matrice densità e si mostra che per
N che va all’infinito le matrici densità ridotta per i sottosistemi di n particelle {ρN,n }1≤n≤N
risolvono una certa gerarchia.
Il risultato si ottiene dimostrando che tale gerarchia ammette al più una soluzione e
controllando che, per un dato iniziale fattorizzato, essa preserva la fattorizzazione e inoltre
i singoli fattori soddisfano l’equazione di Schrödinger con nonlinearità cubica.
Tale derivazione, sviluppata in collaborazione con C.Bardos, F.Golse e A.Teta, può
essere considerata come il primo passo per la deduzione rigorosa dell’equazione di GrossPitaevskii, che descrive lo stato fondamentale di un condensato di Bose-Einstein.
1991 Mathematics Subject Classification. 82C10, 35J10.
Per la presente ricerca l’autore ha beneficiato di una Marie Curie Individual Fellowship promossa dalla
Commissione Europea. proposta n.MCFI-2000-001934, contratto n.HPMF-CT-2000-01102
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XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Symmetries, Quotients and Kähler - Einstein metrics
Claudio Arezzo
Università di Parma
I will discuss some joint work with A. Ghigi and G.P. Pirola.
I will show how descrete subgroups of the automorphisms group of a Fano manifold can be
used to study the properness of the K-energy and related functionals, in order to produce
many new examples (not homogeneous nor toric) of Kähler - Einstein manifolds of positive
scalar curvature. For some of these examples we get the complete deformation family, so
on these moduli a Weil-Petersson metric is well defined.
Via M. D’Azeglio 85, 43100 Parma
E-mail address: [email protected]
1991 Mathematics Subject Classification. 53C25, 32Q20.
XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Trasporto quantistico multi-banda
in semiconduttori
Luigi Barletti
Dipartimento di Matematica “U. Dini”, Università di Firenze
I modelli di trasporto quantistico utilizzati nella simulazione dei dispositivi nano-elettronici sono solitamente sviluppati a partire dall’approssimazione di singola banda e massa
efficace. Tuttavia, dispositivi di recente elaborazione, come il diodo risonante interbanda
(RITD), sono basati su effetti di tunneling conduzione-valenza che non possono essere
descritti nell’approssimazione suddetta. In questi casi si deve quindi ricorrere a modelli di
trasporto quantistico “a più bande”.
Nella presente relazione sarà discusso un modello di trasporto basato su un’Hamiltoniana
di Kane a due bande, della forma
H=
2
~
∆ + E1
− 2m
~2
K·∇
m
2
− ~m K · ∇
~2
− 2m
∆ + E2
,
dove E1 e E2 sono i cosiddetti potenziali di profilo e K è il vettore delle costanti interbanda.
In particolare ci occuperemo degli aspetti matematici legati alla formulazione cinetica e a
quella idrodinamica.
Viale Morgagni 67/A, 50134 Firenze
E-mail address: [email protected]
1991 Mathematics Subject Classification. 76Y05, 81S30, 82C10, 82D37.
Ricerca finanziata nell’ambito del Progetto MIUR-COFIN2002 “Problemi Matematici delle Teorie Cinetiche” e del Progetto Junior GNFM-INDAM “Problemi fisico-matematici nella teoria del trasporto
quantistico”
XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Soluzioni periodiche di PDEs Hamiltoniane
Massimiliano Berti
S.I.S.S.A. - I.S.A.S.
L’esistenza di soluzioni periodiche di sistemi Hamiltoniani finito dimensionali vicino a
punti di equilibrio ellittici è stata provata da Lyapunov, nel caso non risonante (i.e. quando
le frequenze delle piccole oscillazioni soddisfano infinite relazioni di non risonanza), e da
Weinstein-Moser e Fadell-Rabinowitz, nel caso risonante. L’estensione del teorema di Lyapunov (e di altri casi parzialmente risonanti) per sistemi infinito dimensionali deve superare
la difficoltà dei “piccoli denominatori” ed è stata ottenuta usando tecniche di teoria KAM
(Kuksin, Pöeschel, Wayne) o di funzione implicita alla Nash-Moser (Craig-Wayne, Bourgain). Recentemente Bambusi ne ha fornito una semplice dimostrazione per equazioni del
secondo ordine usando il teorema delle contrazioni grazie a una forte condizione di non risonanza. Tutti questi risultati richiedono anche opportune condizioni di non-degenerazione
sulla nonlinearità.
L’ulteriore difficoltà che si incontra nei sistemi infinito dimensionali è la possibile presenza di infinite frequenze lineari risonanti: equazioni completamente risonanti.
In questa comunicazione vogliamo presentare nuovi risultati di esistenza e molteplicità di
soluzioni periodiche per equazioni alle derivate parziali completamente risonanti, ottenuti
assieme a P. Bolle, mediante un principio variazionale mai utilizzato precedentemente per le
PDEs. Questo approccio è molto naturale per superare la difficoltà delle risonanze e permette di ottenere l’esistenza delle soluzioni da argomenti variazionali di min-max puramente
topologici (senza ipotesi di non-degenerazione sulla nonlinearità). Al fine di concentrarci
su questo aspetto usiamo la condizione di non risonanza di Bambusi per semplificare il
problema dei piccoli divisori (da indebolire in seguito mediante un teorema di funzione implicita alla Nash-Moser). Il nostro approccio migliora anche i risultati precedenti ottenuti
per le equazioni non-risonanti (Lyapunov) o parzialmente risonanti rimuovendo le ipotesi
di non-degenerazione sulla non-linearità.
Le nostre applicazioni riguardano l’equazione delle onde e delle piastre
utt + ∆2 u + au = f (x, u).
utt − uxx + V (x)u = f (x, u),
Le frequenze di queste soluzioni sono vicine a frequenze lineari. Discutiamo inoltre l’ esistenza di soluzioni periodiche di periodo lungo (teoremi di tipo Birkhoff-Lewis per PDEs).
Via Beirut, 2-4, 34014 Trieste, Italy.
E-mail address: [email protected]
1991 Mathematics Subject Classification. 35L05, 37K50, 58E05.
Finanziato da M.I.U.R, progetto, “Metodi Variazionali ed Equazioni Differenziali Nonlineari”.
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XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Approssimazioni singolari ai
sistemi di leggi di conservazione
Stefano Bianchini
Istituto per la Applicazioni del Calcolo “M. Picone”
In questa comunicazione si vogliono presentare i risultati più recenti ottenuti sui limiti
di approssimazioni singolari ai sistemi iperbolici: approssimazione parabolica, schemi numerici semidiscreti e schemi di rilassamento. L’approccio ai tre schemi considerati è infatti
molto simile, e strettamente legato alla struttura nonlineare del sistema iperbolico limite. L’uso di questo approccio generalizza i risultati ottenuti tramite tecniche iperboliche,
wave-front tracking e schema di Glimm.
Si accennerà all’utilità di questi schemi nel selezionare soluzioni nei casi in cui non si
conosca in maniera univoca la soluzione entropica del sistema iperbolico, per esempio nei
problemi con dati iniziali e al bordo.
Consiglio Nazionale delle Ricerche, viale del Policlinico 137, I-00161 ROMA (ITALY)
E-mail address: [email protected]
Le formule del grado
Simone Borghesi
Scuola Normale Superiore, Pisa
Le categorie create da F. Morel e V. Voevodsky (versione instabile) e da Jardine e P. Hu (versione
stabile) attorno agli anni 2000 permettono ora l’utilizzo di tecnologie della teoria dell’omotopia
classica in geometria algebrica. Se si vogliono studiare funtori come la coomologia motivica o
i gruppi di Chow, che sotto appropriate ipotesi sono rappresentabili in queste categorie, si ha
la liberta’ di rimpiazzare gli schemi algebrici con certe loro generalizzazioni che possono essere
”deformate”, come e’ d’uso in topologia algebrica. Questi tipi di tecniche sono state alla base
della dimostrazione di Voevodsky della congettura di Milnor in K-teoria algebrica. Nel 1998 M.
Rost completo’ un programma per la dimostrazione della congettura di Bloch-Kato, che e’ la
generalizzazione ai primi dispari della congettura di Milnor. Egli riprende gran parte del lavoro
effettuato da Voevodsky per la congettura di Milnor, e utilizza in modo cruciale delle formule che ha
denominato formule superiori del grado da me dimostrate nel 2000 ([1], [2]) mediante un consistente
uso di teoria dell’omotopia in campo algebrico. Queste formule, il cui interesse prescinde dalla
applicazione specifica riguardante la congettura di Bloch-Kato, mettono in relazione dei numeri
caratteristici di varieta’ liscie e proiettive Y e X assumendo l’esistenza di un qualsiasi morfismo
f : Y → X. Nella comunicazione si enunceranno esempi di formule del grado e si discutera’ di
quella piu’ semplice che da sola implica risultati profondi sulla teoria delle quadriche:
Teorema. Sia f : Y → X un morfismo (anche solo razionale) tra due varieta’ liscie e proiettive
di dimensione pt − 1 su un campo base k, per un numero primo p ed intero non negativo t. Allora
si ha la sequente uguaglianza in Z/p
spt −1 (Y )/p ∼
= deg(f )spt −1 (X)/p
mod I(X)
dove deg(f ) e’ il grado di f , I(X) e’ l’ideale di Z/p generato da {[k(x) : x] mod p} x∈X . Il numero
sn (X) e’ definito come segue: sia sn (TX ) l’n-esimo polinomio di Newton nelle classi di Chern del
fibrato tangente di X; se X ha dimensione n, allora s n (TX ) e’ un ciclo algebrico di dimensione
zero e si definisce sn (X) come il grado di questo ciclo.
Un risultato classico afferma che, s n (X) e’ sempre divisibile per p se n = p t − 1. Le quadriche
anisotropiche costituiscono esempi di varieta’ con I(X) = 0 per p = 2. Inoltre, l’ideale si annulla
per varieta’ che spezzano simboli in K-teoria algebrica modulo p.
[1] S. Borghesi. Algebraic Morava K-theories and the higher degree formula. Ph.D. thesis. Northwestern University, Evanston Il. 2000. http://www.math.uiuc.edu/k-theory/0412/
[2] S. Borghesi. Algebraic Morava K-theories. Invent. Math. 151, 381-413 (2003).
Scuola Normale Superiore, Piazza dei Cavalieri 7, 56126 Pisa
Posta elettronica: [email protected]
Mathematics subject classification: 19D45, 57R20
Dinamica locale di diffeomorfismi
olomorfi in C2
Filippo Bracci
June 25, 2003
Lo studio della dinamica vicino ad un punto fisso di un diffeomorfismo olomorfo
in cui il differenziale abbia spettro contenuto nella circonferenza unitaria è considerato uno dei maggiori attuali problemi aperti in dinamica olomorfa. Il ben noto
teorema dei petali di Leau-Fatou descrive la dinamica di un germe di funzione olomorfa unidimensionale vicino ad un suo punto fisso dove la sua derivata vale 1.
Tale risultato è stato generalizzato in due dimensioni al caso di un diffeomorfismo
tangente all’identità da Écalle, Hakim e Abate. Mentre i primi due autori hanno
provato l’esistenza di curve invarianti (dette “paraboliche”) contenenti sul bordo il
punto fisso in oggetto in casi ”generici”, Abate ha dato una dimostrazione del risultato per ogni diffeomorfismo. La dimostrazione si basa fortemente sull’introduzione
di un teorema dell’indice che lega le proprietà dinamiche del diffeomorfismo lungo
una curva nonsingolare compatta di punti fissi con alcune proprietà topologiche di
tale curva. Tale teorema è stato esteso dall’autore e F. Tovena [3] al caso di curve
singolari e applicato allo studio della dinamica in varie situazioni di singolarità e
varie dimensioni (in alcuni lavori con collaborazione con T. Suwa [2] e con M.Abate
e F. Tovena [1]). D’altra parte, nel caso di un punto fisso in cui il differenziale del
diffeomorfismo abbia un autovalore uguale a 1 e l’altro di modulo uno ma diverso
da 1 (il caso “quasi-parabolico”) in un lavoro in collaborazione con L. Molino [4] si
prova l’esistenza di curve paraboliche tangenti all’autospazio relativo all’autovalore
1 in casi “generici” e a prescindere dall’altro autovalore. Questo viene fatto introducendo opportuni invarianti e forme normali che riconducono sostanzialmente lo
studio al caso parabolico.
[1] M. Abate, F. Bracci, F. Tovena, Index theorems for holomorphic self-maps. Ann.
of Math., in stampa
[2] F. Bracci, T. Suwa Residues for singular pairs and dynamics of biholomorphic
maps of singular surfaces. Preprint, Hokkaido University, Sapporo, Giappone, Gennaio 2002.
[3] F. Bracci, F. Tovena, Residual Indices of holomorphic maps relative to singular
curves of fixed points on surfaces, Math. Z., 242, 3 (2002), 481-490.
[4] F. Bracci, L. Molino, The dynamics near quasi-parabolic fixed points of holomorphic diffeomorphisms in C2 . Amer. J. Math., in stampa.
1
XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Sulla stabilità di un punto fisso per iterazione
di funzioni di n variabili complesse.
Timoteo Carletti
Scuola Normale Superiore, Pisa
Si consideri un biolomorfismo f : D → C, univalente sul disco1 e sia 0 un suo punto fisso. L’origine
è Stabile se esiste un intorno, U0 , dell’origine tale che f ◦n è ben definito in U0 per ogni n ∈ Z e risulta
|f ◦n (z)| < 1 per ogni z ∈ U0 .
La stabilità del punto fisso è equivalente, nel caso di funzioni analitiche di una variabile complessa,
all’esistenza di un biolomorfismo h : D → D, h(0) = 0 (unico se imponiamo h0 (0) = 1), tale che localmente sia verificata:
f ◦ h(z) = h ◦ Rλ (z) ,
dove Rλ (z) = λz e λ = f 0 (0) è detto moltiplicatore del punto fisso. In tal caso si dirà che f è analiticamente
linearizzabile e la funzione h è detta linearizzante.
Nel caso |λ| < 1, l’origine è stabile, mentre se |λ| > 1 è instabile (risulta stabile per f ◦(−1) (z)). Se λ =
2πip/q
e
, l’origine è stabile se e solo se f ◦q è la funzione identità. Sia Y l’insieme degli ω ∈ (R \ Q)∩(−1/2, 1/2)
per cui ogni biolomorfismo f : D → C, univalente in D, f (0) = 0 e f 0 (0) = e2πiω , sia analiticamente
linearizzabile.
J.–C. Yoccoz (Asterisque 231, 1995) ha dimostrato che Y coincide con l’insieme dei numeri di Bruno,
un insieme definito tramite una funzione aritmetica universale. Tale dimostrazione si basa su un metodo di
rinormalizzazione geometrica valido per funzioni analitiche di una variabile complessa; tuttavia le questioni
di stabilità e di linearizzabilità, possono essere chiaramente formulate in casi più generali.
Il nostro primo risultato (Carletti–Marmi, Bull. Soc. Math. France, 128, 2000) sarà di mostrare che
parte dei risultati di Yoccoz possono essere ottenuti con metodi diretti (stime sulla crescita dei coefficienti di
Taylor della linearizzante). Questi metodi possono essere adattati (Carletti, DCDS Series A, 9, N.4, 2003)
al caso di funzioni di n variabili complesse, e coprire casi in cui le funzioni non sono analitiche. Un caso
particolarmente interessante, incluso nella nostra trattazione, sarà quello della regolarità Gevrey–s, s > 0:
funzioni olomorfe in settori con vertice all’origine, le cui derivate di ordine k all’origine crescono come (k!) s .
Proveremo che la condizione di Bruno è ancora sufficiente per linearizzare all’interno della stessa classe
di regolarità Gevrey–s, mentre condizioni più deboli della condizione di Bruno, dette condizioni di Bruno–s,
saranno introdotte per linearizzare funzioni in classi Gevrey distinte, parametri s diversi.
Discuteremo un’applicazione del precedente risultato nel caso di una variabile complessa e funzioni olomorfe, per cui il moltiplicatore sia λ = e2πiω , ω non sia un numero di Bruno ma verifichi una condizione
Bruno–s. Per i risultati precedentemente esposti di Yoccoz e la relazione fra stabilità e linearizzabilità,
l’origine non sarà stabile, tuttavia la possibilità di dare una linearizzazione Gevrey–s, ci permetterà di dimostrare una Stabilità effettiva, per ”tempi” esponenzialmente lunghi. Dove l’esponente di stabilità effettiva
dipende solo dalla regolarità Gevrey.
Piazza dei Cavalieri 7, 56126 Pisa, Italia
E-mail address: [email protected]
1991 Mathematics Subject Classification. Primary 05C38, 15A15; Secondary 05A15, 15A18.
1 Poichè il problema risulta invariante per omotetie, questa condizione produce una normalizzazione delle distanze.
XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Una proprietà numerica delle varietà di Fano
Cinzia Casagrande
Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tre
Una varietà di Fano X è una varietà proiettiva complessa, liscia, il cui fibrato anticanonico −KX è ampio. La geometria delle varietà di Fano in dimensione bassa è stata oggetto
di molti studi, che hanno portato alla classificazione esplicita fino alla dimensione 3, e ad
alcune classificazioni parziali in dimensione 4.
A una varietà di Fano X possiamo associare diversi invarianti interi: il suo numero di
Picard ρX , il suo indice rX e il suo pseudo-indice iX . Ricordiamo che
rX = max{m ∈ Z | esiste L ∈ Pic X tale che − KX = mL},
iX = min{−KX · C | C curva razionale in X}.
Si vede facilmente che rX divide iX . Intuitivamente, si può dire che la geometria di X è
tanto più semplice tanto più sono grandi rX o iX .
In [BCDD02] proponiamo la seguente la relazione tra ρX , iX e la dimensione n di X:
Congettura. Si ha ρX (iX − 1) ≤ n, con uguaglianza se e solo se X ' (PiX −1 )ρX .
Questa congettura generalizza una congettura precedente dovuta a S. Mukai, in cui al
posto dello pseudo-indice compare l’indice.
La motivazione per la congettura viene da risultati di teoria di Mori. Innanzi tutto,
si ha sempre iX ≤ n + 1, e vale uguaglianza se e solo se X ' Pn (K. Cho, Y. Miyaoka,
N. Shepherd-Barron). Inoltre se iX > n/2 + 1, si ha ρX = 1 (J. Wiśniewski).
Il risultato ottenuto in [BCDD02] è il seguente:
Teorema. La congettura è vera nei seguenti casi: X ha dimensione al più 4, oppure X è
torica e ha dimensione al più 7, oppure X è torica e iX ≥ n/3 + 1.
L’approccio al problema si basa ancora sulla teoria di Mori e sullo studio delle famiglie di
curve razionali su X.
BIBLIOGRAFIA
[BCDD02] Laurent Bonavero, Cinzia Casagrande, Olivier Debarre e Stéphane Druel. Sur
une conjecture de Mukai. Prépublication 566, Institut Fourier, 2002. Apparirà in Commentarii Mathematici Helvetici.
Largo San L. Murialdo, 1 - 00146 Roma
E-mail address: [email protected]
1991 Mathematics Subject Classification. Classificazione AMS: 14J45, 14E30.
XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Teoria di de Rham formale
Alessandro D’Andrea
Università degli Studi di Roma “La Sapienza”
Le teoria della rappresentazione di certe strutture algebriche, dette pseudoalgebre di Lie,
è strettamente legata ad alcune generalizzazioni del complesso di de Rham. Introdurrò il
concetto di pseudoalgebra di Lie, e presenterò i principali risultati di classificazione delle
rappresentazioni irriducibili delle pseudoalgebre di Lie semplici.
Dipartimento di Matematica
Istituto “Guido Castelnuovo”
Università di Roma “La Sapienza”
P.le Aldo Moro, 2
Roma
E-mail address: [email protected]
1991 Mathematics Subject Classification. 17B35 (16W30, 17B81).
La ricerca è stata finanziata, in parte, dai fondi del CNR 203.01.71 e dal Clay Mathematics Institute.
STUDIO DI FUNZIONI REGOLARI E DI INSIEMI ANALITICI
ATTRAVERSO DIMENSIONI FRATTALI
EMMA D’ANIELLO
Si parte dal seguente problema: data una funzione f : [0, 1] → [0, 1], cosa si
può dire riguardo l’insieme dei punti nel codominio in cui gli insiemi di livello sono
grandi secondo una opportuna definizione.
Ciò porta alla necessità di analizzare la struttura degli insiemi di livello per funzioni
di classe C n .
Analogo problema viene affrontato per le funzioni di classe C n,α che sono in un
certo senso intermedie fra quelle di classe C n e quelle di classe C n+1 .
I risultati coinvolgono strumenti di analisi reale, teoria geometrica della misura e
teoria descrittiva classica degli insiemi.
Dipartimento di Matematica, Seconda Università degli Studi di Napoli, Via Vivaldi
43, 81100 Caserta, ITALIA
E-mail address: [email protected]
Date: 16 aprile 2003.
1991 Mathematics Subject Classification. Primary 26A30.
1
XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Modularità in Teoria dei Gruppi
Maria De Falco
Università degli Studi di Napoli Federico II
Un sottogruppo H di un gruppo G si dice modulare in G se è un elemento modulare del
reticolo di tutti i sottogruppi di G; si dice poi che un sottogruppo H di G è quasinormale in
G se HK = KH per ogni sottogruppo K di G. È ben noto che un sottogruppo è quasinormale se e solo se è modulare e ascendente, e che in un p-gruppo localmente finito (p primo)
i sottogruppi quasinormali sono tutti e soli i sottogruppi modulari. Alcuni famosi risultati
di B.H. Neumann assicurano che il normalizzante di ogni sottogruppo di un gruppo G ha
indice finito in G se e solo se il centro ha indice finito, mentre ogni sottogruppo di un
gruppo G ha indice finito nella sua chiusura normale se e solo se il derivato di G è finito.
Un teorema di R. Schmidt fornisce una caratterizzazione reticolare dei sottogruppi di indice finito di un gruppo; alla luce di tale risultato, M. De Falco, F. de Giovanni, C. Musella
e Y.P. Sysak, utilizzando la modularità come traduzione della normalità, hanno mostrato
che i teoremi di Neumann hanno sostanzialmente natura reticolare. I sottogruppi quasinormali svolgono un ruolo cruciale nello studio dei sottogruppi modulari; nell’affrontare la
traduzione reticolare dei teoremi di Neumann è stato quindi necessario considerare situazioni analoghe sostituendo alla normalità la quasinormalità e si sono cos ì ottenuti risultati
corrispondenti a quelli di Neumann, che rivestono peraltro un interesse autonomo (si noti
che i sottogruppi quasinormali sono stati studiati in letteratura da molti autori indipendentemente dal loro ruolo nell’ambito della modularità). B.H. Neumann (con J.T. Buckley,
J.C. Lennox, H. Smith e J. Wiegold) ha provato che se in un gruppo localmente graduato
G l’indice in ogni sottogruppo H del nocciolo di H è limitato da un fissato numero intero
positivo, allora G è abeliano-per-finito. Recentemente M. De Falco, F. de Giovanni e C.
Musella hanno dimostrato un analogo risultato riguardante i gruppi localmente graduati e
periodici G in cui ogni sottogruppo contiene un sottogruppo quasinormale di G di indice
limitato da un fissato numero intero positivo. Al fine di interpretare reticolarmente tale
risultato, va osservato che l’indice di un sottogruppo non è riconoscibile reticolarmente
(basti pensare che due gruppi di ordine primo sono reticolarmente isomorfi); d’altra parte
M. De Falco, F. de Giovanni, C. Musella e R. Schmidt hanno fornito un procedimento
per individuare reticolarmente il numero di fattori primi (contando le ripetizioni) coinvolti
nell’indice di un sottogruppo di indice finito di un gruppo.
Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Complesso universitario di Monte S. Angelo, Via Cintia, 80126
Napoli
E-mail address: [email protected]
1991 Mathematics Subject Classification. Classificazione AMS: 20F24.
XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Calcolo della funzione esponenziale
di matrici sparse antissimetriche
Nicoletta Del Buono
Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Bari
In questo lavoro, consideriamo un metodo per il calcolo di exp(A) e exp(τ A)y, con A
matrice a coefficienti reali, sparsa, ed antisimmetrica (A = −AT ), di grandi dimensioni n,
y è un vettore di norma Euclidea unitaria e τ è un fattore di scaling, associabile al passo di
integrazione di un metodo per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie. Esempi di
questo problema si riscontarno nell’integrazione geometrica di equazioni differenziali con
invarianti di tipo quadratico o nella risoluzione di equazioni di reazione-diffuzione. Formule esatte per il calcolo dell’esponenziale di una matrice antisimmetrica esistono solo per
matrici di piccole dimensioni. Altri tecniche di approssimazione usate sono gli approssimanti di Padé e Chebyshev, che però hanno lo svantaggio di non conservare l’ortogonalità
di exp(τ A) o i metodi di Arnoldi basati sui sottospazi di Krylov di dimensione m < n, che
però richiedono alti costi computazionali. Nell’ambito dell’integrazione geometrica sono
stati proposti in letteratura metodi basati su tecniche di splitting o sulla decomposizione
polare generalizzata della matrice A.
Il metodo presentato in questo lavoro è composto di due passi: il primo passo consiste
nella fattorizzazione della matrice A in forma di Hessenberg H utilizzando il processo iterativo di Arnoldi, seguentemente la matrice H viene decomposta in forma di Schur mediante
la decomposizione a valori singolari (SVD) di una opportuna matrice B, derivante da H
ma avente dimensioni dimezzate. La SVD di tale matrice può essere calcolata utilizzando
algoritmi a basso costo computazionale, come ad esempio l’algoritmo di Golub e Kahan
o l’algoritmo differenziale qd di Demmel e Kahan. La procedura proposta conserva (in
aritmetica esatta) l’ortogonalità della matrice exp(A) e richiede un costo computazionale
di 35
n3 flops.
8
Via E. Orabona 4, 70125 Bari, Italy
E-mail address: delbuono@ dm.uniba.it
1991 Mathematics Subject Classification. 65F.
XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Su certe classi di gruppi unipotenti.
Giovanni Falcone
Dipartimento di Matematica e Applicazioni
Università degli studi di Palermo.
In un lavoro del 1958, I. BARSOTTI determina la struttura dei gruppi algebrici unipotenti commutativi connessi di dimensione finita, definiti su un campo perfetto di caratteristica p > 0: ogni tal gruppo è isogeno ad una somma diretta di gruppi di Witt. (Un
teorema analogo era stato stabilito nel 1957 da J. DIEUDONNÉ per i gruppi formali).
Tali gruppi sono stati introdotti da WITT attraverso un ingegnoso algoritmo e rappresentano l’equivalente dei gruppi ciclici pel caso finito: infatti, sul sottocampo fondamentale,
un gruppo di Witt di dimensione n altro non è che un gruppo ciclico di ordine pn . In particolare, un gruppo di Witt possiede un unico sottogruppo connesso di data dimensione.
È significativo che il monumentale volume di M. DEMAZURE e P. GABRIEL ”Groupes
Algébriques” (1969) si concluda con l’esposizione della struttura dei gruppi algebrici commutativi: la mole di calcolo che si intravede per il caso non commutativo ha scoraggiato
fin’oggi ogni investigazione in tale direzione.
I risultati che presento, ottenuti in collaborazione con K. STRAMBACH, P. PLAUMANN e A. DI BARTOLO, riguardano alcune classi di gruppi algebrici unipotenti connessi non commutativi di dimensione finita, a partire da quelli che posseggono un unico
sottogruppo connesso di data dimensione. In contraddizione con il caso finito, tali gruppi
esistono e vengono da noi classificati e caratterizzati. Tale analisi consente di rispondere
a numerose questioni che sorgono quando si considerano restrizioni sul reticolo dei sottogruppi connessi. Viene ad esempio dimostrato che ogni gruppo algebrico Hamiltoniano
(definito come un gruppo algebrico connesso in cui ogni sottogruppo connesso è normale)
ha classe di nilpotenza al più 2. Vengono classificati i gruppi algebrici connessi aventi
centro massimale. Vengono dati inoltre alcuni risultati su quei gruppi algebrici aventi un
unico sottogruppo massimale e/o un unico sottogruppo minimale.
Viale delle Scienze, I-90128 Palermo, Italy
E-mail address: [email protected]
1991 Mathematics Subject Classification. Primary Classification 14L15 Secondary Classification 20G35.
Ricerca finanziata da M.I.U.R., D.F.G., Università di Palermo.
XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Liouville-Arnold-Nekhoroshev type theorems
E. Fiorani
Università di Milano
We study completely and partially integrable Hamiltonian systems. Under certain conditions we introduce generalized action-angle coordinates around an invariant manifold not
necessarily compact.
Dipartimento di Matematica “F. Enriques”, Via C. Saldini 50, 20133 Milano
E-mail address: emanuele.fiorani@ unicam.it
1991 Mathematics Subject Classification. 37J35, 70H06.
Research supported, in part, by the Universities of Milano and Camerino
XVII C on gr esso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Concentrazione di energie di Ginzburg-Landau
con crescita “supercritica”
Ilaria Fragalà
Politecnico di Milano
Lo studio di fenomeni di concentrazione da un punto di vista variazionale induce a
considerare funzionali del tipo
Z h
i
1
(∗)
Fε (u) :=
|∇u|p + p W (u) dx ,
u ∈ W 1,p (Ω; Rk ) ,
ε
Ω
dove n ≥ 0 e k ≥ 1 sono interi, Ω è un dominio limitato in Rn+k , p ≥ 1 è un esponente
reale, e W è un potenziale non negativo su Rk , nullo solo sulla sfera unitaria S k−1 .
Nel caso scalare k = 1 (in cui W si annulla solo in −1 e +1), il comportamento asintotico
dei funzionali Fε per ε → 0 è ben noto: negli anni ’70, Modica e Mortola dimostrarono
tramite Gamma-convergenza che i minimi di Fε nella classe di funzioni con media assegnata
convergono a un multiplo dell’area di una n-superficie minima. La costante moltiplicativa
è determinata da un problema di “profilo ottimale”, che seleziona la transizione di minimo
costo tra i due pozzi del potenziale.
Nel caso vettoriale k ≥ 2 la situazione è molto più delicata. Negli anni ’90 Bethuel, Brezis e
Hélein hanno ottenuto numerosi risultati studiando l’equazione di Eulero dei funzionali di
Ginzburg-Landau che si ottengono prendendo n = 0 e p = k = 2 in (∗). Solo recentemente,
Alberti, Baldo e Orlandi (e indipendentemente Jerrard e Soner per k = 2) sono riusciti
tramite un approccio variazionale a descrivere il comportamento asintotico di Fε per n ≥ 0
e k ≥ 2 arbitrari, e p = k. Quando il dato al bordo è singolare, l’energia si concentra vicino
a una “n-superficie minima generalizzata”(nel senso delle correnti). Tale concentrazione
invece non avviene per p < k: pertanto, il caso p = k finora trattato in letteratura può
definirsi “critico”.
In questa comunicazione verranno presentati dei nuovi risultati relativi al caso “supercritico” p > k(≥ 2), illustrando in particolare come nel funzionale limite intervenga una
famiglia di costanti di “profilo ottimale”, ottenute come soluzioni di certi problemi di minimo su classi di funzioni di grado assegnato. La comparsa di problemi di profilo ottimale in
ambito vettoriale sembra essere un fatto originale, e costituisce una differenza sostanziale
rispetto al caso p = k. Di conseguenza, ciò apre una serie di problemi e questioni, collegate
ad esempio al tipo di dipendenza delle costanti di profilo dal grado, oppure al comportamento asintotico delle singolarità.
Piazza Leonardo da Vinci, 32 – 20133 Milano – [email protected]
MSC2000: 49J45, 49Q20, 49Q15.
1
XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Hypersingular Integral Equations and Applications
to Porous Elastic Materials with periodic cracks
Michele Ciarletta, Gerardo Iovane
2Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione e
Matematica Applicata, Universita’ di Salerno, Italy
In questo lavoro viene presentato lo studio di equazioni integrali con nucleo ipersingolare, che hanno rilevanti applicazioni in molti problemi di dinamica ondulatoria, elasticita’
e meccanica dei fluidi, con condizioni al contorno miste. Il primo obiettivo del presente
lavoro e’ l’individuazione delle soluzioni quando il nucleo e’ caratteristico ed il successivo sviluppo di un medoto numerico orientato al trattamento di tali equazioni nel caso
di nuclei non caratteristici. In particolare, a partire dalle soluzioni analitiche per equazioni ipersingolari con nucleo caratteristico, si effettua l’ottimizzazione dei parametri del
metodo numerico che verra’ poi utilizzato nel caso di nucleo non caratteristico. Il secondo
obiettivo e’ lo studio di tali problemi nel contesto dei continui porosi quando al loro interno e’ presente una struttura periodica di cracks. In tale ambito a partire dalla teoria di
Cowin e Nunziato ed applicando la trasformata di Fourier alle equazioni rappresentative
del problema, tale analisi comporta lo studio di equazioni integrali ipersingolari. Nel caso
specifico di deformazione piana operiamo con il metodo numerico diretto per il trattamento di equazioni integrali a nucleo ipersingolare non caratteristico. Infine, studiamo il
fattore di concentrazione dello stress ed investighiamo il suo comportamento rispetto alla
porosita’.
Indirizzo
E-mail address: [email protected]
1991 Mathematics Subject Classification. Classificazione AMS: 74L10, 65T50.
Riconoscimenti ad enti finanziatori
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Milano, 8-13 settembre 2003
Costruzione di spike-layers multidimensionali
Andrea Malchiodi
School of Mathematics – Institute for Advanced Studies
Alcuni sistemi di reazione-diffusione, qunado le diffusività dei reagenti sono diverse tra
loro, possono produrre soluzioni fortemente concentrate su punti (spike-layers), linee o
insiemi di vari tipi. Questo fenomeno è noto come instabilità di Turing. Nel caso del
sistema di Gierer-Meinhardt, usato per descrivere la rigenerazione dell’Hydra, il problema
si può ricondurre allo studio della singola equazione

2
p
n

 − ∆u + u = u , in Ω ⊆ R ;
∂u
(P )
su ∂Ω;
∂ν = 0,


u > 0,
in Ω.
L’eponenete p è maggiore di 1, ν è la normale esterna a Ω, e è un parametro convergente
a zero. La funzione u rappresenta la densità di un attivatore chimico, e quindi si cercano
soluzioni positive.
La concentrazione di soluzioni di (P ) è stata studiata in dettaglio negli ultimi quindici
anni, a partire dai lavori di C.S. Lin, W.M. Ni e I. Takagi. Grazie a numerosi contributi,
la struttura delle spike-layers è ora essenzialmente nota.
Si è però da principio concetturato che il problema (P ) ammetta anche soluzioni che
si concentrano su varietà k-dimensionali, per k = 1, . . . , n − 1. Si discutono nuovi risultati
in questa direzione e alcune prospettive legate a questo tipo di problemi.
1 Einstein Drive Princeton, New Jersey 08540 US
E-mail address: [email protected]
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Milano, 8-13 settembre 2003
Equazioni di bilancio della Meccanica dei Continui
nell’ambito della Teoria Geometrica della Misura
Alessandro Musesti
Università Cattolica del Sacro Cuore
In una introduzione convenzionale alla Meccanica dei Continui, le cosiddette leggi di
bilancio sono uno strumento basilare. Infatti, è proprio tramite il bilancio della quantità
di moto che si dimostra il Teorema degli sforzi di Cauchy, ovvero la linearità dello sforzo
specifico rispetto alla normale. Moltiplicando poi scalarmente per un campo di velocità v,
si può dedurre il Teorema delle potenze virtuali. Viceversa, partendo dal Principio delle
potenze virtuali è possibile dedurre le equazioni di bilancio e il Teorema degli sforzi.
Tutto questo viene fatto sotto opportune ipotesi di regolarità, tipicamente la continuità
e la limitatezza dello sforzo specifico rispetto alla posizione e la sua dipendenza solo dalla
posizione e dalla normale.
Tuttavia, una volta giunti alla formulazione differenziale del problema grazie a opportune prescrizioni costitutive, è spesso conveniente indebolire la regolarità della funzione
incognita, ad esempio mediante la ricerca di soluzioni fondamentali o la formulazione debole. In questo caso, le ipotesi sullo sforzo specifico possono risultare limitanti.
Ecco perché a partire dagli anni ’50 si è tentato di inserire tutta la materia in un quadro
più generale, che tocchi direttamente la struttura delle equazioni di bilancio piuttosto che
la formulazione differenziale del problema.
Daremo qui una presentazione comparata delle formulazioni delle equazioni di bilancio
tramite l’approccio insiemistico (flussi e interazioni di Cauchy) e quello distribuzionale
(potenze virtuali), illustrando i progressi ottenuti nell’indebolimento delle ipotesi, fino a
comprendere campi tensoriali a divergenza misura.
Mostreremo poi come l’approccio attraverso il Principio delle potenze virtuali permetta
di individuare il tensore degli sforzi anche nel caso di un corpo continuo dotato semplicemente di una struttura di varietà riemanniana e di studiare il caso dei cosiddetti materiali di
grado elevato. In particolare, verranno presentati i risultati raggiunti nel caso di materiali
di secondo gradiente, in cui si possono trattare anche forze di spigolo.
Infine faremo vedere l’opportunità di definire i suddetti concetti su particolari classi di
sottocorpi molto semplici quali i pluriintervalli, potendo sfruttare i teoremi e le tecniche
di estensione proprie della Teoria Geometrica della Misura per ottenere risultati validi per
ampie classi di sottocorpi, quali gli insiemi di perimetro finito.
Via Musei 41 - 25121 Brescia
E-mail address: [email protected]
Ricerca eseguita nell’ambito del progetto COFIN2002 “Modelli matematici per la scienza dei materiali”
XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Adattività anisotropa di griglia: applicazioni
alla Fluidodinamica Computazionale
Luca Formaggia, Stefano Micheletti, Simona Perotto
MOX - Modeling and Scientific Computing, Politecnico di Milano
È ormai pratica consolidata nell’ambito della Fluidodinamica Computazionale (CFD)
avvalersi di tecniche adattive di griglia al fine di ottenere approssimazioni accurate entro
una fissata tolleranza ma con un ridotto costo computazionale. A tecniche di tipo prevalentemente euristico basate su stime del gradiente e/o dell’Hessiana della soluzione numerica
(si pensi alla ben nota procedura proposta da Zienkiewicz-Zhu), si sono affiancate nel corso
degli anni tecniche con una più robusta base matematica incentrate su stimatori dell’errore
di discretizzazione a priori e a posteriori. Entrambi gli approcci sono stati impiegati per
generare griglie computazionali di tipo isotropo e, più di recente, anisotropo. L’interesse
per un’analisi anisotropa è motivato dalla presenza in Fluidodinamica di fenomeni fortemente direzionali caratterizzati da forti strati limite di bordo, interni o shocks.
Questa presentazione si focalizza su tecniche adattive di tipo anisotropo basate su un
approccio teorico. Punto fondamentale è stata la derivazione di stime d’interpolazione
anisotrope per elementi finiti lineari a partire dalle proprietà spettrali della mappa affine
standard dal triangolo di riferimento a quello generico. Tali stime d’interpolazione sono
state poi introdotte nell’ambito degli stimatori a posteriori dell’errore proposti da R. Rannacher e R. Becker e basati sulla risoluzione di un problema duale associato al problema
primale in esame. Tale tecnica consente il controllo non solo di opportune norme, ma
anche di funzionali lineari dell’errore di discretizzazione, rivelandosi particolarmente utile
per un’adattività di tipo goal-oriented, volta a controllare cioè quantità significative da un
punto di vista fisico quali, ad esempio, valori medi e locali, sforzi o concentrazioni puntuali,
il lift e il drag di un corpo investito da un fluido, ecc. Svantaggio principale di tale analisi
è ovviamente il costo computazionale superiore rispetto a quello richiesto da un metodo
standard residual-based. Nel corso di questa presentazione verranno presentate stime a
posteriori dell’errore di questo tipo per problemi di trasporto diffusione, Stokes e Oseen
assieme ad alcuni casi-test volti a validare l’affidabilità di tali stimatori.
MOX - Modeling and Scientific Computing, Dipartimento di Matematica “F. Brioschi” Politecnico di
Milano, via Bonardi 9, 20133 Milano - Italia
E-mail address: {luca.formaggia, stefano.micheletti, simona.perotto}@mate.polimi.it
1991 Mathematics Subject Classification. Classificazione AMS: 65N15, 65N30, 65N50.
Questo lavoro è stato supportato dal Progetto Cofinanziato 2001 ”Metodi numerici avanzati per equazioni alle derivate parziali di interesse applicativo”
XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Fibrazioni di traslazione di H(q)
a la cubica sghemba di P G(3, q)
Olga Polverino
Seconda Università degli Studi di Napoli
In questa comunicazione si presenteranno alcuni recenti risultati sulle fibrazioni di
traslazione dell’esagono classico. L’interesse per queste strutture nasce dal loro legame
con gli ovoidi di traslazione della quadrica parabolica Q(4, q), oggetti a loro volta collegati ai semicorpi commutativi di rango due ([1]). Rappresentando l’esagono classsico H(q)
come geometria dei laterali, una fibrazione di traslazione di H(q) definisce un sottoinsieme
lineare di P G(3, q) i cui punti appartengono a corde immaginarie di una cubica sghemba
([3]). Sfruttando tale relazione sono stati ottenuti in [2] e in [4] alcuni risultati di classificazione. In [4] è stato esteso il risultato di classificazione delle fibrazioni semiclassiche
di H(q) di Bloemen, Thas e Van Maldeghem ([1]) al caso di caratteristica pari e in [2]
sono stati ottenuti risultati di classificazione per fibrazioni di traslazione di H(q), sotto
particolari ipotesi per l’ordine q del campo.
BIBLIOGRAFIA
1. I. Bloemen, J.A.Thas, H. Van Maldeghem, Translation ovoids of generalized quadrangles and hexagons,
Geom. Dedicata 72 (1998), 19–62.
2. G. Bonoli, O. Polverino, Transaltion spreads of H(q) and the twisted cubic of P G(3, q), in preparation.
3. I. Cardinali, G. Lunardon, O. Polverino, R. Trombetti, Spreads in H(q) and 1−systems of Q(6, q),
European J. Combin. 23 (2002), 367–376.
4. G. Lunardon, O. Polverino, The twisted cubic of of P G(3, q),, Journal of Algebraic Combinatorics, to
appear.
Dipartimento di Matematica, Via Vivaldi N.43, 81100 Caserta
E-mail address: [email protected]
XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Effetti locali e globali
in equazioni ellittiche con assorbimento
Alessio Porretta
Università di Roma “Tor Vergata”
Consideriamo una classe di equazioni ellittiche nonlineari contenente termini di assorbimento a crescita naturale nel gradiente, il cui modello più semplice è il seguente:
−∆u + h(u) + g(u)|∇u|2 = f
con h(s)s ≥ 0 e g(s)s ≥ 0 per |s| grande.
Analizzeremo diversi effetti (di natura regolarizzante) dovuti all’ipotesi di assorbimento,
a cominciare da fenomeni locali di rimozione di singolarità, che hanno conseguenze sull’esistenza o meno, e sulla stabilità, di soluzioni con dati singolari.
Motivati da questi risultati, tratteremo più diffusamente la possibilità di avere stime
locali, indipendenti dal bordo, per simili equazioni, estendendo classici risultati di J. B.
Keller e R. Osserman del caso semilineare. Come conseguenza, si hanno esistenza, unicità,
in un dominio limitato, di soluzioni di barriera, ovvero esplosive al bordo. Applicazioni si
hanno anche a risultati di tipo Liouville per soluzioni globali e principi di confronto senza
condizioni all’infinito.
Dipartimento di Matematica, Università di Roma “Tor Vergata”, Via della Ricerca scientifica 1- 00133
Roma
E-mail address: [email protected]
1991 Mathematics Subject Classification. Classificazione AMS: 35J25, 35J60, 35R05..
XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Costruzione della norma naturale per
l’operatore di diffusione-trasporto-reazione
Giancarlo Sangalli
Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche del C.N.R.
Sia Ω un aperto di R2 (oppure R3 ); si consideri l’operatore di diffusione-trasportoreazione lineare L:
w 7→ Lw := −ε∆w + β · ∇w + σw,
dove ε > 0 rappresenta la diffusività costante, β : Ω → R2 il campo di velocità ed infine
σ : Ω → R la costante di reazione. Quando σ − 12 div(β) ≥ 0, l’operatore risulta coercivo
su H01 (Ω) e, data f ∈ L2 (Ω), il problema
Lu = f in Ω, u = 0 su ∂Ω
(1)
ammette un’unica soluzione.
Si costruisce, utilizzando la teoria dell’interpolazione tra spazi funzionali, una norma
k · kV tale che l’operatore L risulti continuo
hLw, vi ≤ C1 kwkV kvkV , ∀w, v ∈ H01 (Ω)
(2)
e verifichi una condizione di inf-sup
inf w∈H01 (Ω) supv∈H01 (Ω)
hLw, vi
≥ C2 > 0,
kwkV kvkV
(3)
dove le costanti C1 e C2 sono indipendenti dai parametri ε, β e σ dell’operatore stesso.
Si dimostra pertanto la stabilità per il problema (1) uniformemente rispetto ai parametri;
il risultato è di interesse particolarmente nel caso di trasporto dominante (cioè quando
ε β/diam(Ω)).
Le stime (2) e (3) sono utili nello studio teorico di metodi ad elementi finiti per la
approssimazione numerica di (1).
Via Ferrata 1, 27100 Pavia
E-mail address: [email protected]
1991 Mathematics Subject Classification. 65G99, 65N30, 76R99.
Alcuni Problemi Quasivariazionali con Memoria
Ulisse Stefanelli
Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche – CNR
Si intendono presentare alcuni risultati circa una classe di equazioni quasivariazionali
d’evoluzione che contengano termini non locali rispetto al tempo. Queste equazioni sono
spesso ottenute come formulazioni variazionali di problemi differenziali ordinari o alle derivate
parziali di tipo parabolico in presenza di termini di memoria. La trattazione include,
tra l’altro, alcune classi di disequazioni quasivariazionali paraboliche non locali, equazioni
d’evoluzione con nonlinearità T-monotone (nel senso di H. Brezis) e cosiddetti state dependent sweeping processes (nel senso di J.-J. Moreau).
Si mostra l’esistenza di soluzioni generalizzate per opportuni problemi ai valori iniziali.
In particolare, si utilizza un metodo di tipo ordine sfruttando sia un risultato di punto fisso
per applicazioni multivoche in spazi ordinati, sia un argomento di confronto. In relazione a
quest’ultimo, l’impianto dimostrativo suggerisce un’analogia con il classico metodo di Perron
in teoria della risolubilità di equazioni in senso viscoso. Infine, si generalizzano alcuni risultati
presenti in letteratura (F. Mignot, J.-P. Puel, Inéquations d’évolution paraboliques avec convexes dépendant du temps. Applications aux inéquations quasi variationnelles d’évolution.
Arch. Rational Mech. Anal. 64 (1977), 1:59–91) al caso non locale rispetto al tempo.
La dipendenza non locale nel problema astratto è regolata da un’ipotesi strutturale di
tipo monotonia. Al fine di giustificare questa assunzione, si presentano due modelli nei
quali questa monotonia appaia naturalmente soddisfatta. In primo luogo, si considera un
problema differenziale ordinario che descrive l’evoluzione meccanica di un materiale elastoplastico soggetto a fenomeni di incrudimaneto generalizzato. Quindi si studia un problema
alle derivate parziali di tipo parabolico collegato alla questione del pricing di alcuni prodotti
finanziari derivati tra i quali figurano le cosiddette compound American options.
via Ferrata 1, I-27100 Pavia, Italy
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XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Su una classe di equazioni tipo
Monge-Ampère con termini di ordine inferiore
Cristina Trombetti
Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”
Università degli studi di Napoli “Federico II ”
Sia Ω un aperto convesso di R2 , f una funzione “regolare” e positiva. Si considera il
problema
detD 2 u = f + σ uα ,
(1)
u concava
in Ω, u = 0 su ∂Ω
dove σ > 0 e 0 < α ≤ 2. Problemi del tipo appena descritto sono ampiamente studiati
in letteratura e, ad esempio, risultati di esistenza e unicità si trovano in [2]. Saranno discussi risultati (contenuti in [1]) relativi all’unicità della soluzione di (1) e alla possibilità
di ottenere stime ottimali per la soluzione stessa. Per quanto riguarda le stime ottimali,
esse sono ottenute confrontando la soluzione di (1) con quella del seguente problema “simmetrizzato”
(2)
detD 2 v = f + σ v α ,
v concava
in ΩF , v = 0
su ∂ΩF
dove f # è il riordimento sferico decrescente di f e ΩF è il cerchio centrato nell’origine avente
lo stesso perimetro di Ω. Risultati del tipo descritto sono stati ottenuti, per esempio, in
[3] e [4] nel caso σ = 0.
BIBLIOGRAFIA
[1] B. Brandolini - C. Trombetti, “A symmetrization result for Monge-Ampère type equations”, in preparazione.
[2] P. L. Lions, “Two remarks on Monge-Ampère equations”, Ann. Mat. Pura Appl., 142
(1985), pp. 263-275.
[3] G. Talenti, “Some estimates of solutions to Monge-Ampère type equations in dimension
two”, Ann. scula Norm. sup. Pisa, (2) VII (1981), pp. 183-230.
[4] N. S. Trudinger, “On new isoperimetric inequalities and symmetrization”, J. Reine
Angew. Math., 488 (1997), pp. 203-220.
Complesso M.S. Angelo Via Cintia 80126 Napoli
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1991 Mathematics Subject Classification. 35J60.
Parzialmente finanziato da G.N.A.M.P.A. - I.N.d.A.M. Progetto “Proprietà analitico-geometriche di
soluzioni di equazioni ellittiche e paraboliche” (2002/03).
XVII C o n g r e s s o U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Sull’evoluzione di interfacce aleatorie.
Lorenzo Zambotti
Scuola Normale Superiore, Pisa
Lo studio del moto di interfacce separanti diversi stati di un sistema, ad esempio liquido/solido, è un problema interessante in vari settori della Matematica. La Meccanica
Statistica affronta lo stesso problema allo scopo di dedurre le leggi macroscopiche che
governano l’evoluzione di un sistema di particelle dalle proprietà microscopiche. Per ridurre
la complessità del sistema, si suppone spesso che a livello microscopico le particelle seguano
un’evoluzione aleatoria con opportune proprietà ergodiche.
Il passaggio dal microscopico al macroscopico avviene mediante un cambiamento di
scala nel tempo e nello spazio: il limite, detto idrodinamico, risulta deterministico, ciò che
corrisponde ad una Legge dei Grandi Numeri infinito-dimensionale. Un livello di studio
ulteriore riguarda le fluttuazioni del sistema intorno al limite idrodinamico, ovvero una
sorta di Teorema del Limite Centrale: il risultato è un processo stocastico, tipicamente
gaussiano.
In questo seminario desideriamo presentare alcuni risultati di convergenza di fluttuazioni
attorno al limite idrodinamico per dinamiche di sistemi di particelle in una dimensione
spaziale in presenza di un muro rigido. L’evoluzione delle fluttuazioni è governata da una
Equazione alle Derivate Parziali Stocastica con il vincolo dato dalla presenza del muro e
in particolare il processo stocastico risultante non è gaussiano.
Piazza dei Cavalieri 7, 56126 Pisa
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1991 Mathematics Subject Classification. 60H15.