Progetto
“Una Scuola per Tutti,
Tutti per la Scuola”
CTS Ferrara
Dirigente: prof. M. Urbinati
Responsabile: prof. A. Difonzo
Laboratori di riflessione/ricerca in
Didattica della Matematica
per alunni con DSA
Laboratorio
“Le equazioni
per alunni con DSA”
SUGGERIMENTI PER
L’INTERVENTO DIDATTICO
scuola secondaria
primo e secondo grado
Coordinatore di gruppo:
prof.ssa Fornasiero Marianna
IT “V.Bachelet”-Ferrara
Differenti tipologie di discalculia
• Discalculia per i fatti aritmetici
• Discalculia procedurale
Problem Solving
• Dislessia per le cifre
Metodo didattico consigliato
• Basato su una comprensione ragionata
-apprendimento mnemonico e meccanico di
procedimenti aritmetici non aiuta
-numeri e operazioni risultano più comprensibili quando se
ne capisce meglio il senso
-apprendimento concreto: utilizzo di disegni o semplici
diagrammi/grafici come rappresentazioni schematiche, di
strumenti cognitivi concreti
-linguaggio trasparente: descrivere concetti e procedure in
termini semplici, tradurre i simboli matematici in
linguaggio semplice
• Insegnamento strutturato
-non precedere con troppa rapidità ed offrire la
possibilità di fare molta pratica
-insegnare le basi: impadronirsi di strategie per il
calcolo a mente
-programma didattico strutturato a lungo termine
-porre molti quesiti durante l’introduzione/spiegazione
di argomenti nuovi: “qual è l’incognita del problema?
Quale passaggio devo eseguire ora? Perchè?”
-privilegiare anche il lavoro con linguaggio simbolico
e/o schemi (se l’alunno non ha problemi visuospaziali o di disprassia)
• Dedicare parte del tempo ai lavori di coppia e/o
gruppo, secondo la logica del “cooperative learning”
• Somministrare verifiche sommative più brevi e più
frequenti
• Introdurre molti esempi durante le spiegazioni e
invitare gli alunni a produrne in modo autonomo
• Dedicare alcune ore agli approfondimenti (relazioni
di gruppo/attività di laboratorio) stimolare
capacità critica, di sintesi, curiosità matematica
• Accompagnare gli alunni nella risoluzione dei
problemi più complessi (dimostrazioni guidate)
Diverse strategie didattiche
per i diversi tipi di discalculia:
Discalculia per i fatti aritmetici
• Suggerimenti didatticiutilizzo della
calcolatrice scientifica se necessario,
tavola pitagorica, formulari, utilizzo di
disegni e/o schemi/simboli, utilizzo colori
nelle formule, mappe concettuali…
Discalculia procedurale:
• Suggerimenti didatticiutilizzo di schemi
•
•
•
•
•
•
riassuntivi nelle parti teoriche, formulario
(www.math.it/formulario/index.htm,
www.elvenkids.com/tools/)
diagrammi di flusso per schematizzazione di problemi
algebrici (come per algoritmi), organigrammi in .ppt,
“Guida SPM test” (Erickson): suddivisione del problema
in comprensione, rappresentazione, categorizzazione,
piano di soluzione, svolgimento, autovalutazione,
“Mate+, Vol. 2” A. Demattè,
verifiche scritte con linguaggio semplificato
software Aplusix (vedi guida),
LIM o materiale video (vedi materiale didattico Zanichelli
per LIM)
Dislessia per le cifre
Suggerimenti didattici
• utilizzo dei colori per le diverse cifre, per gli
esponenti, per numeratore/denominatore di
frazioni, per le lettere nel calcolo letterale,
per le quattro operazioni; calcolatrici
parlanti
• Software Aplusix/Excel
• Utilizzo di linguaggio simbolico
• Utilizzo di schemi/mappe concettuali
Esempio di U.D.
Equazioni di primo grado
1.
Introduzione: concetti di identità e equazione
significato di incognita
”giochetti” sul valore da assegnare all’incognita
tempi: circa un’ora
2.
Primo principio di equivalenza, principio di cancellazione,
principio del trasporto
Secondo principio di equivalenza:
esemplificazione tramite immagini (esempio della bilancia,
utilizzo di colori/frecce,…)
video-tutorial in aula video o visione materiale per LIM
tempi: circa due o tre ore
Introduzione alla classe del software Aplusix (attività in
Laboratorio di informatica)
tempi: circa due ore
Risoluzione guidata di semplici equazioni col software
Aplusix (con utilizzo della figura tutor)
tempi: circa due ore
Risoluzione autonoma di semplici equazioni con
Aplusix
tempi: circa due ore
3. Equazioni determinate/indeterminate/impossibili
trattazione in classe mediante esempi
risoluzione guidata di semplici equazioni con Aplusix
tempi: circa due ore
4.
Creazione di mappe concettuali (attività in classe o
in Laboratorio di informatica, con utilizzo di software
opportuni)/ Schemi riassuntivi/esemplificativi
sull’argomento
tempi: circa due ore
5.
Risoluzione di equazioni di primo grado più complesse
(con richiami ai prodotti notevoli, se trattati in
precedenza…)
Utilizzo del software Aplusix per risoluzione guidata o
risoluzione con aiuto della figura tutor
Utilizzo di colori nelle equazioni intere con
denominatori numerici o nelle equazioni fratte
Semplici tecniche risolutive per equazioni intere e fratte
6. Risoluzione autonoma di equazioni con Aplusix
(attraverso l’opzione “aiuto” se necessario)
tempi: circa 8 ore
Modalità di verifica:
Somministrazione di un Test (verifica formativa) sulle
equazioni con Aplusix, con autocorrezione
Somministrazione di verifica sommativa finale o in
classe o in laboratorio
tempi: circa 2 ore
Introduzione: concetti di identità e equazione
Esempi:
dall’identità all’equazione:
2+3 +6 =9–4+6
2+3 +x =9–4+6 x=…
3 + 4 + 2 = 20 – 6 – 5
x + 4 + 2 = 20 – 6 – 5 x = …
3 + x + 2 = 20 – 6 – 5 x = …
Concetto di incognita:
x+3=5
? +
?
=
x=2
=
2x+3=5
2x = 2
?
?
?
?
?
?
?
+
=
?
?
+
=
=
x =1
3x + 1= 7
?
+
?
+
=
=
x =2
Esempi da:
“L’intelligenza numerica”, Lucangeli-Bertolli-Molin-Poli, ed. Erickson
Concetto di EQUAZIONI EQUIVALENTI…
Introduzione al concetto di equivalenza mediante uno o
piu’ esempi significativi
Esempi:
Principi di equivalenza
Primo:
3x = 6
+2
3x +2
Principio di
cancellazione
3x
+2
6
-2
= 6 +2
-2
3x +2 -2 = 6 +2 -2
2
3x
2
6
Bilancia è
sempre in
equilibrio
Principio del trasporto
3x +2 = 6
2
3x
6
Tolgo il pesetto 2
Bilancia è
sempre in
equilibrio
3x +2 - 2 = 6 - 2
2
3x
= 4
Quindi:
3x +2 = 6 - 2
3x
Trasporto
6-2
Principio di equivalenza
Secondo:
3 x
=
6
x+x+x =
x
=
Quindi:
3 x : 3 =
x x x
222
Ciascuno dei
tre pesetti è 6:3=2
6
6 : 3
6
: 3
= 2
x
2
Generalizzando…
3
x
=
x+x+x =
x
=
Ora : 3 =
7
x x x
Ciascuno dei
tre pesetti è ….
7
7 : 3
1
. __
3
7
7
= __
3
1/3 di 7=
7 · 1/3
x
Generalizzando…
3
__
2
x
2 . __
3
__
3
=
x
=
2
x
=
7
2
__ . 7
3
14
__
3
7
Ciascuno dei
tre pesetti è x/2
2/3 di 7=
7 · 2/3
x
Siti internet-video tutorial-software sulle equazioni
• http://www.youtube.com/watch?v=sIASjMln8aU
• Video tutorial del prof. Antonino Giardina
video sui due principi di equivalenza
Scopo: consolidare i concetti dopo la trattazione in classe…
• http://www.math.it schemi e riassunti
• Software free “Vue” o non free “Supermappe” o “Cmap”
Scopo: sollecitare gli alunni a produrre schemi o mappe concettuali
•
•
•
•
MathApp: Mathematics 4.0 (software free della Microsoft)
Aplusix
Programma free di Adriano Agostini
http://www.matematicamente.it/esercizi-svolti/28-equazioni
Scopo: risoluzione guidata di esercizi
Equazioni determinate/indeterminate/impossibili:
Lezione di tipo dialogico:
1.
Lavorare per esempi significativi:
Eq. determinata:
Posso dividere entrambi i membri per 3,
3 · x= 5
Perchè 3 è DIVERSO da ZERO….
E se fosse ZERO?
5
x = __
3
2.
Eq. impossibile:
0·x=5
Posso dividere entrambi i
membri per ZERO? NO…
Cosa significa 0 · x ?
significa 0 volte x (viceversa: x volte 0) cioè ZERO
0=5
Ma 0 non puo’ essere uguale a 5
impossibile
• Eq. indeterminata:
Cosa succede invece se anche il termine noto è zero?
Esempio:
0· x = 0
0 =0
Come prima:
0 volte x (viceversa: x volte 0) è ZERO
Quindi? Cosa posso concludere?
Questa identità è VERA? SI
“Domanda che nasce spontanea”: ma dove è finita la x?
Risposta: 0 volte x (viceversa: x volte 0) è ZERO
PER QUALSIASI VALORE di x
Infinite soluzioni
Eq. indeterminata
Esempi:
0·3=0
0 · (-2) = 0
0 · 1_ = 0
4
…..
Esempi da:
“L’intelligenza numerica”, Lucangeli-Bertolli-Molin-Poli, ed. Erickson
Eq. Impossibili e indeterminate: partire da esempi pratici
Esempio di schema per le equazioni di primo grado
Alunno: M.T.G. Classe 1^D IT “V. Bachelet”
Esempio di U.D.
Equazioni di secondo grado
1. Forma normale di una equazione di secondo grado
soluzioni o radici
equazione completa ed incompleta: definizioni
tempi: circa un’ora
2. Risoluzione:
discriminante e formula risolutiva
utilizzo di colori/frecce
video-tutorial in aula video o visione materiale
per LIM
tempi: circa due o tre ore
Introduzione alla classe del software Aplusix (attività in
Laboratorio di informatica)
tempi: circa due ore
Risoluzione guidata di semplici equazioni col software
Aplusix (con utilizzo della figura tutor)
tempi: circa due ore
Risoluzione autonoma di semplici equazioni con
Aplusix
tempi: circa due ore
3. Equazioni incomplete e metodi risolutivi
trattazione in classe mediante esempi
risoluzione guidata di semplici equazioni con Aplusix
tempi: circa due ore
4.
Creazione di mappe concettuali (attività in classe o
in Laboratorio di informatica, con utilizzo di software
opportuni)/ Schemi riassuntivi/esemplificativi
sull’argomento
tempi: circa due ore
5.
Risoluzione di equazioni di secondo grado più
complesse (con richiami ai prodotti notevoli)
Utilizzo del software Aplusix per risoluzione guidata o
risoluzione con aiuto della figura tutor
Utilizzo di colori nelle equazioni fratte
Semplici tecniche risolutive per equazioni fratte
6. Risoluzione autonoma di equazioni con Aplusix
(attraverso l’opzione “aiuto” se necessario)
tempi: circa 8 ore
Modalità di verifica:
Somministrazione di un Test (verifica formativa) sulle
equazioni con Aplusix, con autocorrezione
Somministrazione di verifica sommativa finale o in
classe o in laboratorio
tempi: circa 2 ore
I colori nelle equazioni piu’ complesse
vedi sito di Rita Bartole….
Colore differente per indicare l’incognita (ad esempio sempre x in grassetto rosso…)
Colore differente per indicare gli esponenti di eventuali potenze (es: verde)
Colore differente per gli eventuali denominatori ( o evidenziati in giallo…)
Esempio:
Utilizzo dei colori per i tre coefficienti:
+3x2 + 2x −1 =0
Osservazione: mettere in evidenza fin da principio che tutti
i termini nella FORMA NORMALE si trovano a primo
membro, a differenza delle eq. di primo grado…
Risoluzione guidata con utilizzo di eventuale formulario:
a= ….
Calcola
b= ….
c= ….
Delta:
∆ = b · b − 4 ·a · c…….
Applica formula risolutiva:
x1=……..
x2=……..
Esempio:
Eq di secondo grado: risoluzione guidata + uso colori
4·(x2 – 1) = 2 · (2x + 1) – 3
(Proprietà distributiva)
… x2 – …. ______ = …. x + … – 3
… x2 …. x …. = 0
a= ….
b= ….
∆=
c= ….
…….
Applica formula risolutiva: x1=… x2=….
Calcola
Schema con formule
Segno del delta: Illustrazione dei 3 casi tramite esempi
Schema riassuntivo Alunno: M.T.G. Classe 2^D IT “V. Bachelet”
CASO DELTA POSITIVO
CASO DELTA NULLO
CASO DELTA NEGATIVO
Calcolo per arrivare alla forma normale
Equazioni di secondo grado incomplete
1. Osservazione: a= 0 l’equazione diventa di
primo grado
2. Se b = 0 e/o c = 0 vedi esempi
Non introdurre le terminologie spura/pura/monomia, ma solo
COMPLETA/INCOMPLETA
b = 0:
3x2 −1 = 0
a=…
c=…
se alunno DSA ha difficoltà procedurali risoluzione con utilizzo del
Delta/Formula risolutiva
Se alunno DSA ha solo discalculia per i fatti aritmetici e/o dislessia per
le cifre
più intuitivo il metodo senza utilizzo del Delta, illustrato tramite
esempio (non nel caso generale,con a e c generici…)
3x2 −27 = 0 3x2 = +27 x2 = +9 x1 = + 3
3
3
x2 = -3
Analoga distinzione anche per gli altri due casi…
c = 0:
4x2 + 3 x = 0
Delta e formula risolutiva….
Raccoglimento: 4
+3
+ 3) =
· (4
x
· (4
=
x
x1= 0
+ 3)=0
x2= --3/4
=0
=0
…difficoltà dell’alunno DSA a trovare la radice che annulla il secondo
fattore… richiamo alla bilancia dell’eq di primo grado
Richiami ai PRODOTTI NOTEVOLI: formulario
Discalculia Evolutiva
Fornasiero Marianna
Formule risolutive di equazioni di secondo grado complete e non:
Discalculia Evolutiva
Fornasiero Marianna
47
Schemi riassuntivi della teoria
• Schema tratto da siti internet:
DIFETTI: descrive le formule generali senza esempi
utilizza la terminolgia inutile “spuria/pura/monomia”
(alunno DSA non potrà mai ricordarla…): basta
introdurre il concetto di EQ. COMPLETA/INCOMPLETA
non utilizza i colori
riporta anche la formula ridotta: crea piu’ confusione
all’alunno DSA
• Consigliato: schema/formulario prodotto dall’alunno
stesso, dopo spiegazione in classe e/o ricerca su
internet
( vedi esempio alunno M.T.G.)
Differente approccio: per via grafica
Eq. lineare
Utilizzo della retta nel
piano cartesiano:
3x + 4 −5x = 6x +5 − 3
Portare tutto a primo membro
e sommare termini simili:
−8x +2 = 0
Considero la RETTA
r: y = −8x +2
Utilizzo Geogebra per
rappresentare la retta
Calcolo con Geogebra
l’intersezione tra la retta r e
l’asse delle x P(1/4 ; 0)
soluzione: x= 1/4
Eq. quadratica
Utilizzo della parabola nel
piano cartesiano:
3x2 + 4 +8x = 6x +5
Portare tutto a primo membro
e sommare termini simili:
3x2 +2x − 1 = 0
Considero la PARABOLA
P: y = 3x2 +2x − 1
Utilizzo Geogebra per
rappresentare la parabola
Calcolo con Geogebra
l’intersezione tra P e l’asse delle
x P1(− 1 ; 0) P2(1/3 ; 0)
soluzioni: x1= − 1 x2=1/3
Suggerimenti per il piano cartesiano
Usare foglio a quadretti, possibilmente punti con valori di x e y compresi tra +/-10
y
(-,+)
(+,+)
x
( -, -)
(+,-)
Parabola come luogo geometrico (con Cabrì - sito Math.it)
Esempio retta
Esempio parabola
Pro/Contro dei due approcci
Approccio(tradizionale)
per via algebrica
Adatto ad alunni
discalculici con
difficoltà procedurali e
nel problem solving
Adatto ad alunni con
difficoltà visuo-spaziali
Più meccanico e poco
intuitivo
Approccio utilizzabile
sia in classe sia in
Laboratorio con utilizzo
di opportuno software
Approccio per via grafica
Non adatto ad alunni con
discalculia di tipo
procedurale adatto più
ad alunni dislessici
Non adatto ad alunni con
difficoltà visuo-spaziali
Più intuitivo
Utilizzabile da alunni con
DSA solo in presenza di
un software opportuno per
il calcolo dei punti di
intersezione
Ulteriore approccio
Musica e Matematica
Dal sito www.doremat.it (appunti dalla conferenza “Matematica
e Musica”, Bologna, 16-01-2014, ENFAP-Emilia RomagnaIstruzione e Formazione Professionale)
Analogie tra ritmo ed equazioni di primo grado:
“DOREMAT è una metodologia didattica che permette di insegnare la
matematica attraverso la musica e di insegnare anche la musica
(sempre più raramente presente nei curricula scolastici); è un nuovo
approccio che, sfruttando le analogie che intercorrono tra la
matematica e la musica, correla, in chiave musicale le competenze
matematiche cosi come indicate nel quadro normativo nazionale in
materia di istruzione e formazione nei diversi ordini e gradi. ”
Da Tesi di Laurea: Serena Vincenzi, “La musica e altre passioni.
Esperienze di metodologie didattiche nell'ambito dell'obbligo formativo”
Per le espressioni con numeri razionali…
Domanda: nelle equazioni, come viene interpretata e gestita l’incognita?...
Scomposizione di un trinomio di secondo grado
Caso ∆
≥ 0: scomporre
+3x2 + 2 x −4
Risoluzione guidata:
a= ….
b= ….
c= ….
• Calcola Delta:
∆ = b · b − 4 ·a · c = …….
• Applica formula risolutiva: x1=…….. x2=……..
+3x2 + 2 x −4 = +3· (x − x1) · (x − x2)
Lezione dialogica:
Domanda: cosa succede se x1= x2 ?
Esempio: scomporre
+1x2 + 6 x +9 …..
Richiamo al prodotto notevole
+1x2
+ 6 x +9 = +1x2 + 2 · 1 · 3 x + 32 = (1 x + 3)2
Caso ∆ < 0: scomporre +3 x2 + 2 x +4
Risoluzione guidata:
a= ….
b= ….
c= ….
• Calcola Delta:
∆ = b · b − 4 ·a · c = ……. < 0
• Lezione dialogica:
• Domanda: cosa succede se non esistono x1= x2 ?
Riesco a scomporre come prima?
Esempio di equazioni fratte:
4+2x
x+4
+
4-x
=
2 +8)
8(3x−
x2 16
8 • (3x2 + 8)
2-4x
4+2x
x+4
+
−
2 −4x
4 x
=
x2 - 16
1. Scomporre x2 - 16 = prodotto notevole (formulario):....................
2. calcolare denominatore comune:……………………
2. porre le C.E.:…………………………………….
3. eliminare il denominatore:………………………
4. Risolvere l’equazione intera
5.Discalculia
dire se
le soluzioni sono
accettabili
Evolutiva
Fornasiero
Marianna
60
Mappe concettuali sulle equazioni
Per alunni con DSA le mappe sulle equazioni dovrebbero
presentare:
1.Colori per diversificare i contenuti
2.Esempi per ogni concetto, con eventuale risoluzione
proposta
3.Grafica accettabile
4.Poco testo scritto all’interno dei nodi
5.Eventuali riferimenti storici
6.Eventuali collegamenti tra risoluzioni per via algebrica e
risoluzioni per via grafica
vai al file «mappe su equazioni.docx»
Schede didattiche/mappe concettuali di matematica per la scuola media
http://lnx.fantasylands.net/aiuto-dislessia/schede-didattiche/scuola-media
Creazione di mappe concettuali sulla teoria:
Utilizzo del software free Vue:
Equazioni di secondo grado
organigramma con Power Point
Equazioni di
secondo grado
definizione
Risoluzione
segno del Delta
Caso Delta>0
CasoDelta<0
Caso Delta=0
Scomposizione
trinomio
Caso Delta>0
Caso Delta=0
Problemi drisolubili
con equazioni di
secondo grado
Caso Delta <0
Problemi di algebra
Problemi di
geometria
Programma free di Adriano Agostini
http://web.tiscali.it/AandA
Risoluzione guidata di equazioni
Esempio:
• +2(3x+2)+3(x-1)=+11x+7
• +6x+4+3x-3=+11x+7
• +6x+3x-11x=+7-4+3
• -2x=+6
• +2x=-6
• x=-6/+2
• x=-3
Software Aplusix 3
• Come installare Aplusix 3
Andare sul sito (versione in francese)
http://www.aplusix.com/fr/
•
•
•
•
cliccare su “Telecharger” (= download)
digitare la lingua italiano
chiedere la versione free di durata 10 giorni
cliccare sul file .exe ed estrarne i contenuti
Sito internet
69
Specificità del Software Aplusix 3
nell’apprendimento della matematica
Software di supporto all’apprendimento della
matematica perché:
Dà la possibilità agli alunni di auto correggere i propri
errori, attraverso la segnalazione di errore (freccia di
implicazione tra un passaggio e l’altro rossa e barrata)
Guida l’alunno nella risoluzione di espressioni/equazioni
o problemi attraverso i comandi «Suggerimento/Segnala
il passaggio successivo»
Aiuta l’alunno nella risoluzione di espressioni/equazioni o
problemi attraverso la figura di un “Tutor” virtuale, a
disposizione per eventuali suggerimenti, la cui età si può
selezionare in base agli argomenti di matematica da
svolgere
Diversi utilizzi di Aplusix
Il programma potrà essere scaricato ed
usato per 10 giorni per:
•Proporre esercitazioni guidate al gruppo
classe
•Lavorare in laboratorio sulle equazioni con
risoluzione guidata e/o aiuto della figura
tutor
•Proporre al gruppo classe una verifica
strutturata, da eseguire a computer
Programma Mathematics 4 (Microsoft)
Bibliografia
1. “La discalculia e altre difficoltà in matematica”
Dario Ianes, Daniela Lucangeli, Irene C. Mammarella
2.“L'intelligenza numerica” - volume 4
Daniela Lucangeli, Carla Bertolli, Adriana Molin, Silvana Poli
3. “Test SPM” (CD-ROM)
Daniela Lucangeli, Patrizio Emanuele Tressoldi, Michela Cendron, Laura Bertolo, Francesca
Potenza, Maria Rita Stocchi
4.“Test AC-MT 11-14 - Test di valutazione delle abilità
di calcolo e problem solving”, Cesare Cornoldi, Chiara Cazzola
5.“Didattica per la discalculia - Attività pratiche per gli
alunni con DSA in matematica”, Brian Butterworth, Dorian Yeo
6. Numeri e calcolo-Lo sviluppo delle competenze aritmetiche e la
discalculia evolutiva, Brian Butterworth
7. Collana STRUMENTI PER LA DIDATTICA DELLA MATEMATICA Diretta
da Bruno D'Amore
8. Collana "Programmi di potenziamento della cognizione numerica e
logico-scientifica" diretta da Daniela Lucangeli
9. “Mate+ -Vol. 2”, Adriano Demattè, Calcolare a mente
10. “Esercizi secondo l'approccio analogico-intuitivo”, Camillo Bortolato
Sitografia
http://www.istruzione.it/web/istruzione/home --> DSA
www.dislessia.it – sito A.I.D.
www.ferraramulticulturale.it – sito Le Ali – sezione Docet
http://www.erickson.it/
www.elvenkids.com/tools/geometria
www.ritabartole.it e www.laritabella.it
www.zanichelli.it scuola
http://www.ripmat.it
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/index.htm
http://www.dyscalculia.org (in inglese)
www.math.it
www.aplusix.com