ATTENZIONE !
per visualizzare le formule
occorre avere installato
l’Equation Editor di Office
oppure il programmino
Math Type
...
Formulazione finita
dell’elettromagnetismo
partendo dai fatti sperimentali
1 / 55
...
La formulazione differenziale delle leggi fisiche
Dai tempi dell’invenzione del calcolo infinitesimale,
avvenuta circa tre secoli fa,
le leggi fisiche sono state formulate
in termini di equazioni differenziali.
L’avvento dei calcolatori ha fatto nascere la necessità
di avere una descrizione discreta delle leggi fisiche.
Cosa è avvenuto ?
Invece di ripartire dalle leggi fisiche
per ottenere direttamente una formulazione discreta
sono stati escogitati diversi procedimenti
per discretizzare le equazioni differenziali.
2 / 55
...
Procedimento attuale
Il procedimento che si segue per giungere alla risoluzione dei
problemi della fisica è illustrato nello schema che segue:
Leggi sperimentali
La soluzione numerica,
esige la trasformazione
delle equazioni differenziali
in equazioni algebriche.
per problemi semplicissimi
soluzione analitica
per problemi di media difficoltà
Equazioni differenziali
soluzione approssimata
per problemi complessi
soluzione numerica
3 / 55
...
Dalla formulazione differenziale a quella discreta
Siamo abituati a scrivere le leggi della fisica direttamente in forma di
equazioni differenziali e successivamente le convertiamo in equazioni
algebriche attraverso uno dei tanti metodi di discretizzazione.
problemi
fisici
sistemi
algebrici
....
edge elements
point matching
soluzione
numerica
metodi spettrali
boundary elements
momenti
elementi finiti
differenze finite
4 / 55
equazioni differenziali
...
Formulazione finita
E’ proprio il processo di discretizzazione
necessario per la soluzione numerica
che fa nascere la seguente domanda:
?
È possibile una formulazione finita
dell’elettromagnetismo?
5 / 55
...
Vogliamo dimostrare che una formulazione finita:
… è possibile,
… è facile,
… è intuitiva,
… si presta immediatamente
alla risoluzione numerica.
6 / 55
...
La formulazione integrale
Una formulazione finita sembra essere esistere già:
la formulazione integrale.
Senonché la formulazione integrale
è indotta dalla formulazione differenziale,
non è ottenuta a partire dalle leggi sperimentali.
Leggi sperimentali
Formulazione integrale
Teorema di Gauss
Teorema di Stokes
Formulazione differenziale
7 / 55
...
Dalla formulazione differenziale a quella finita
problema
fisico
sistema
algebrico
soluzione
numerica
dopo possiamo dedurre
la formulazione differenziale
… se è necessario!
8 / 55
equazione differenziale
...
Formulazione finita
L’obiettivo che ci proponiamo è quello di ottenere una formulazione finita
che parta dai fatti sperimentali.
Da questa sarà possibile poi dedurre la formulazione integrale
e infine quella differenziale.
Leggi sperimentali
Formulazione finita
Formulazione integrale
Formulazione differenziale
9 / 55
...
Dal momento che la formulazione matematica di una teoria fisica
è resa possibile dall’esistenza grandezze fisiche
appare evidente che una formulazione finita delle leggi fisiche
deve partire da un riesame delle grandezze fisiche.
Le variabili
dell’elettromagnetismo
parte I
10 / 55
...
Una prima classificazione delle variabili fisiche:
• variabili globali
• variabili intermedie
• variabili locali
globali
intermedie
flusso di carica Qf
impulso di f.e.m.
corrente I
E
f.e.m E
flusso magnetico 
11 / 55
densità di corrente J
campo elettrico E
induzione magnetica B
densità 
contenuto di carica Qc
impulso di f.m.m.
locali
Fm
f.m.m Fm
campo magnetico H
...
Una prima classificazione delle variabili fisiche
formulazione finita
funzioni di dominio
variabili
intermedie
complessi di celle
variabili globali
flusso di
carica
variabili
intermedie
corrente
densità di flusso
densità di corrente
funzioni di punto
12 / 55
variabili locali
formulazione differenziale
coordinate
...
Le 6 variabili globali dell’elettromagnetismo
Flusso
magnetico
Impulso di forza
elettromotrice
E

Carica
contenuta
Qc
Carica
fluita
Qf
weber
B
Flusso
elettrico
Impulso di forza
magnetomotrice

Fm
D
H
coulomb
E

J
Le 6 variabili locali dell’elettromagnetismo
13 / 55
...
Le variabili globali si misurano !
Qc
La carica contenuta si misura
Qf
La carica uscita si misura
Il flusso elettrico si misura

(col metodo dell’azzeramento)
n
La tensione magnetica si misura
Fm
14 / 55
Fm  ni
(col metodo dell’azzeramento)
i
...
La tensione elettrica ed il flusso magnetico si calcolano
E
misurato E si calcola E
15 / 55
B
misurato B si calcola 
...
definizione operativa
Quindi alle grandezze globali
si può dare una definizione operativa
Questo implica che possono essere prese
come punto di partenza
per la formulazione finita.
16 / 55
... ...
Le leggi
dell’elettromagnetismo
17 / 55
...
Conservazione della carica
La carica elettrica
che esce attraverso il bordo di un volume
durante un intervallo di tempo
è opposta
alla variazione della carica
contenuta nel volume durante l’intervallo.
Qc
Qf
Q
At
Q f  V , T   Q c V , I    Q c V , I  
I

Q
Qf
T
I
18 / 55
Qf
c

Q
V
V
c
Qc
...

Induzione elettrostatica (Gauss)
Il flusso elettrico
attraverso il bordo di un volume
ad un istante
è uguale alla carica elettrica
contenuta entro il volume in quell’istante.
Q
 V , I   Qc V , I 
I
Q
c

V
V
Qc
19 / 55
...
Legge di Gauss della magnetostatica
Vt
Il flusso magnetico
associato al bordo di un volume
ad ogni istante è nullo.
Vt
Vt
Vt
 V , I   0
I


V
V
20 / 55
...
Legge di Faraday-Neumann
L’impulso della forza elettromotrice E
lungo il bordo di una superficie
durante un intervallo
è opposto
alla variazione del flusso magnetico 
associato alla superficie
in quell’intervallo.
+ +
+
+ +
+
+ +
+
+
+
v
+ +
+
+

Vt
E
E  S , T     S , I      S , I  

I
21 / 55
S
E
T
I



S
E
...
Legge di Ampère-Maxwell
L’impulso della forza magnetomotrice
lungo il bordo di una superficie
durante un intervallo
è uguale al flusso di carica
attraverso la superficie nell’intervallo
aumentato della variazione del flusso elettrico
associato alla superficie in quell’intervallo.
Fm
Q
f
magnetometro
Vt
Fm  S , T     S , I      S , I    Q f  S , T 
I


Q Fm
Q

S
f
T
I
22 / 55


f
S
Fm
...
Riassunto
Uno dei principi fondamentali dell’elettromagnetismo
è il principio di sovrapposizione degli effetti
(quando le cariche e le correnti si considerino congelate).
Esso assicura la linearità delle equazioni.
In sintesi le leggi fondamentali dell’elettromagnetismo sono:
• il principio di sovrapposizione degli effetti
• la legge della conservazione della carica
• la legge dell’induzione elettrostatica (Gauss)
• la legge di Gauss della magnetostatica
• la legge di Faraday-Neumann
• la legge di Ampère-Maxwell
23 / 55
...
Riassumendo: le equazioni dell’elettromagnetismo in forma finita sono:
 V , I   Qc V , I 
Gauss
 V , I   0
Gauss





E  S , T     S , I     S , I 
Fm  S , T     S , I      S , I    Q f  S , T 
Faraday-Neumann
AmpèreMaxwell
Conservazione carica
Q f  V , T   Q c V , I    Q c V , I  
Che corrispondono alle equazioni in forma differenziale
div D  
24 / 55
B
rot E  
div B  0
t

div J  
t
D
rot H 
J
t
...
Le 4+1 leggi dell’elettromagnetismo
valgono QUALUNQUE sia la forma e la dimensione
degli elementi geometrici a cui fanno riferimento
(linee, superfici, volumi);
valgono anche se linee, superfici e volumi
stanno a cavallo di materiali DIVERSI;
NON CONTENGONO misure di lunghezza,
di area, di volume, di angoli, di durata
e quindi non sono equazioni metriche;
valgono anche per mezzi in MOVIMENTO.
Per queste ragioni si possono denominare
EQUAZIONI DI STRUTTURA
25 / 55
...
Le variabili
dell’elettromagnetismo
parte II
26 / 55
...
Una seconda classificazione delle variabili fisiche
In ogni teoria fisica del macrocosmo le variabili
fisiche si possono classificare
in una delle tre classi seguenti: (Hallen 1947)
Variabili di
configurazione
Variabili di
sorgente
Variabili
energetiche
27 / 55
...
1 - variabili di configurazione
sono quelle che descrivono
la configurazione del campo.
Fra queste vi sono:
le variabili geometriche
e quelle cinematiche della meccanica,
il potenziale elettrico,
il potenziale vettore magnetico,
il flusso magnetico,
il vettore induzione magnetica,
l’intensità del campo elettrico,
la forza elettromotrice, ecc.
28 / 55
...
2 - variabili di sorgente
sono quelle che descrivono
le sorgenti del campo.
Fra queste vi sono:
le variabili statiche
e quelle dinamiche della meccanica,
il vettore densità di corrente,
l’intensità del campo magnetico,
la forza magnetomotrice,
il vettore induzione elettrica,
La carica elettrica
la corrente elettrica, ecc.
29 / 55
...
3 - variabili energetiche
sono quelle che risultano dal prodotto di una variabile di
sorgente per una di configurazione.
Tipiche sono il lavoro, l’energia, la densità di energia
elettrica e magnetica, la potenza, ecc.
Variabili
energetiche
Variabili
di sorgente
Variabili di
configurazione
LAVORO = forza spostamento
ENERGIA POTENZIALE = peso altezza
ENERGIA CINETICA = quantità di moto velocità
POTENZA = forza velocità
ENTALPIA = U + pressione volume
30 / 55
...
I due tipi di orientazione di un elemento geometrico
Orientazione interna
Superficie S
Volume V
bordo S
bordo V
31 / 55
Orientazione esterna
Superficie S
bordo S
Volume V
bordo V
...
Associazione agli elementi orientati
variabili di configurazione
orientazione: interna
P
L
S
V
32 / 55
Si constata che
le variabili di
configurazione
sono naturalmente
associate agli elementi
spaziali e temporali
dotati di orientazione
interna.
variabili di sorgente ed energetiche
orientazione: esterna
V
Si constata che
le variabili di
sorgente
S
e quelle
energetiche
sono naturalmente
associate agli elementi
spaziali e temporali
dotati di orientazione
L
P
esterna.
...
Le equazioni precedenti danno la struttura del campo.
Le variabili di configurazione sono legate alle variabili
di sorgente mediante le equazioni costitutive.
Le equazioni costitutive
in forma finita
Nell’elettromagnetismo si hanno tre equazioni costitutive:
33 / 55
...
Equazioni costitutive
Sono le equazioni che legano
le variabili di sorgente
con le variabili di configurazione
variabili di
configurazione
34 / 55
equazioni
costitutive
variabili
di sorgente
... ...
Le equazioni costitutive in forma finita
Equazione costitutiva elettrica


E

S
L
S
Perpendicolarità:
SL
Lunghezze e aree:
S,L
L
+

E

S
LT
Uniformità del campo
E
nel differenziale
35 / 55
D   E
...
Le equazioni costitutive in forma finita
Equazione costitutiva magnetica
Fm
 
Fm

S
L
S
Perpendicolarità:
SL
Lunghezze e aree:
L
nel differenziale
36 / 55

Fm

S
LT
S,L
Uniformità del campo
B   H 
...
Le equazioni costitutive in forma finita
Equazione di Ohm
Perpendicolarità:
E
I
S
L
I
E

S
L
SL
Lunghezze e aree:
Qf
E

S
L
S,L
Uniformità del campo
nel differenziale
37 / 55
J   E
...
S
Le equazioni costitutive in forma finita
E

L
+
Fm
S

L
E
S
L
38 / 55

E

S
LT

Fm

S
LT
Perpendicolarità:
SL
Lunghezze e aree:
S,L
Uniformità del campo
Qf
Qf
E

S
L
...
Le equazioni costitutive in forma finita
Le equazioni costitutive DIPENDONO DAL MEZZO;
possono essere lineari o non lineari,
possono descrivere un materiale isotropo o anisotropo.
Contengono NOZIONI METRICHE,
quali lunghezze, aree, volumi, perpendicolarità.
Dal momento che sono sperimentate in condizioni di campo UNIFORME
il loro utilizzo in campi non uniformi è approssimato.
A causa di questo fatto noi siamo spinti ad usarle in regioni infinitesime.
Ed è per questo che siamo invitati a fare la formulazione differenziale.
Senonché è sufficiente considerare regioni SUFFICIENTEMENTE
piccole, secondo una tolleranza prestabilita per ogni problema.
39 / 55
...
Riassumendo: le equazioni dell’elettromagnetismo in forma finita sono:
Gauss
 V , I   Q V , I 
Gauss
 V , I   0
Faraday-
E  S , T     S , I      S , I  
Neumann
AmpèreMaxwell
c
Fm  S , T     S , I      S , I    Q f  S , T 
Equazioni costitutive

E

S
LT
40 / 55
Q
E

S
L
f

Fm

S
LT
...
Il ruolo della geometria
I fenomeni fisici si svolgono nello spazio.
Per poterli descrivere in termini matematici
occorre passare attraverso la geometria.
fisica
geometria
spazio
matematica
 V , I   0

F
 m
S
LT
 V , I   Qc V , I 
div B  0
41 / 55
rot E  
B
t
...
Il ruolo della geometria
La formulazione differenziale, accanto ai numerosi meriti,
ha il torto di spogliare la fisica degli aspetti geometrici
in quanto riduce tutte le grandezze a funzioni del punto.
La formulazione numerica, al contrario, necessita di rendere esplicita
la geometria che era nascosta nella formulazione differenziale.
Occorre quindi dare più importanza alla geometria,
( topologia, metrica, affinità, ecc. ) nello studio della fisica
Che l’aspetto geometrico diventi sempre più importante lo mostra il
successo che stanno ottenendo le forme differenziali esterne
le quali restituiscono alle leggi fisiche quegli aspetti geometrici
che erano impliciti ( ma nascosti ) nella formulazione differenziale.
42 / 55
...
I complessi di celle
43 / 55
...
I complessi di celle
Nella formulazione differenziale si usano funzioni del punto e
quindi occorre utilizzare un sistema di coordinate.
Nella formulazione finita occorre invece
introdurre un complesso di celle.
Applicando le equazioni in forma finita
ad ogni cella del complesso
si perviene ad un sistema di equazioni algebriche.
La risoluzione numerica dei problemi elettromagnetici
si ottiene quindi applicando le leggi in forma finita
alle singole celle del complesso.
44 / 55
...
Poligoni duali di Voronoi
Alcune leggi fisiche devono essere applicate alle celle di
un complesso altre a quelle del complesso duale.
13
12
11
10
5
7
3
2
4
1
Gli assi dei lati si
Intersecano nel
circocentro
8
6
14
9
15
16
17
Questo può essere formato dai poligoni i cui lati tagliano
ortogonalmente i lati del primale nei punti di mezzo.
Questi si chiamano poligoni di Voronoi.
45 / 55
...
Complesso di celle nel tempo e suo duale
n
Complesso
tn
duale
Complesso
primale
46 / 55
tn 1
tn1
tempo
tn
n
tn1
 n1
...
Formulazione finita
Formulazione differenziale
rot E  t B
Faraday-Neumann
E [S , T ]  [S , I  ]  [S , I  ]
E
 z E y   y Ez   t Bx

 x Ez   z Ex   t By
t
 y Ex   x E y   t Bz
Attraverso un processo
di discretizzazione
Sistema algebrico
47 / 55
tn
tn 1
n
E
n 1

c
1

0
1

tn 1
n
n
n 1
n
c
E




   


...
Estensione delle leggi di Kirchhoff ai campi
Le equazioni finite del campo elettromagnetico
che abbiamo esposto sono l’estensione
delle equazioni circuitali di Kirchhoff ai campi.
campi
 d   Q 
f
k
n

 Q
circuiti

c n 1
k
 Q
Conservazione della carica
n
n 1
n
c
E




   


Faraday-Neumann
48 / 55

c n
 d  I   0
k
k
Correnti nodali
c E  0


Tensioni di maglia
...
Applicazioni numeriche
49 / 55
...
Esempio di elettrostatica.
Data una regione bidimensionale delimitata
da una poligonale ABCDEA, assegnato il potenziale sui lati ABCD,
assegnati i flussi elettrici sui lati DEA, si vuole determinare il potenziale
nei vertici in cui il potenziale è incognito (vertici in giallo)
E
k D
Potenziale assegnato
Potenziale incognito
h
A
lhk
 hk
B
shk
 hk  
(Vh  Vk )
lhk
h

k
50 / 55
Vk
hk
 Qh
C
Vh
shk
shk
k  l (Vh  Vk )  Qh
hk
Poisson discreta relativa al nodo h
...
Equazione di Poisson discreta
shk
k  l (Vh  Vk )  Qh
hk

shk
 
 k lhk

shk
Vk  Qh
Vh   
lhk
k

chhVh   chkVk  Qh
k
coefficienti di
capacità propria
51 / 55
coefficienti di capacità mutua
...
2
3
determinazione dei potenziali
2
3
4
1
chhVh   chkVk  Qh
k
Si ottiene in tal modo
un sistema
di tante equazioni
quanti sono
i potenziali incogniti.
52 / 55
c11V1  c12V2  c13V3  c14V4  Q1

c21V1  c22V2  c23V3  c24V4  Q2   2

c31V1  c32V2  c33V3  c34V4  Q3   3
 c V  c V  c V  c V  Q
4
 41 1 42 2 43 3 44 4
...
Conclusione 1 / 2
Abbiamo visto che facendo uso delle variabili globali,
è possibile scrivere le equazioni del campo elettromagnetico
direttamente in forma finita.
Facendo poi uso di un complesso di celle
si possono applicare le equazioni in forma finita
alle singole celle del complesso.
In questo modo si perviene ad un sistema di equazioni algebriche
e quindi si possono risolvere numericamente
tutti i problemi di campo.
Questo mostra che la formulazione differenziale,
non è l’unica formulazione possibile.
53 / 55
...
Conclusione 2 / 2
La formulazione finita mette in evidenza
alcune proprietà geometriche
che la formulazione differenziale teneva nascoste.
In particolare mette in luce il ruolo dei due complessi
e delle orientazioni interna ed esterna.
La formulazione finita è molto semplice,
può essere usata anche in un Istituto Tecnico
in quanto non richiede le equazioni alle derivate parziali.
54 / 55
...
Riassumendo: le equazioni dell’elettromagnetismo in forma finita sono:
 V , I   Q V , I 
c
Gauss
(elettrica)
Gauss
(magnetica)
FaradayNeumann
AmpèreMaxwell
 V , I   0
E  S , T     S , I      S , I  
Fm  S , T     S , I      S , I    Q f  S , T 
Equazioni costitutive

E

S
LT
55 / 55
Q
E

S
L
f

Fm

S
LT
...
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