Modi guidati
Dielectric slab
Within the limit angle
Cono di
luce
n2
sin  i 
n1
Beyond the limit angle
n2
sin  i 
n1
Dielectric slab
evanescent
waves
n2
sin  i 
n1
Slab
evanescent
waves
Dielectric slab
z
y
x
Below the limit angle
 
k  k //  k z eˆz

k //  k y yˆ
In the media
 M n
k 
c
M
ky  ky
k
M
z
 n
2
c
In air
A 
k 
c
A
ky  ky

c
ky 

2
2
 ky
2
k 
A
z

c
2
2
 ky
2
Solutions

A i ( k y y  k zA z t )
E A  Ex e
xˆ

M i ( k y y  k zM z t )
EM  E x e
xˆ
Within the limit angle any ,k is permitted
Cono di
luce
n2
sin  i 
n1
Beyond the limit angle
z
y
x
 
k  k //  k z eˆz
In the media
 M n
k 
c
k yM  k y
k
M
z
 n
2

2
c
2
n

k //  k y yˆ
 ky 
c
In air

c
A 
k 
c
k yA  k y
 ky  k
2
k 
A
z
2
c
2
 k y  i
2
Even solutions

 i  
E  E x xˆ
H
 E
 i E x
Hy 
 z

za
E x  Ae
ik y y z
e
Hy 
i

Ae
ik y y z
e
z a
E x  Be
ik y y
cos( kz)
Hy 
ik

Be
ik y y
sin( kz)
z  a
E x  Ae
ik y y z
e
Hy 
 i

Ae
ik y y z
e
Even solutions
za
Aea  B cos( ka)
i

i

Ae

a
ik

tan( ka) 

ik

B sin( ka)
tan( ka)

k
Odd solutions

 i  
E  E x xˆ
H
 E
 i E x
Hy 
 z

za
E x  Ae
ik y y z
e
i
Hy 

Ae
ik y y z
e
z a
E x  Be
ik y y
sin( kz)
Hy 
 ik

Be
ik y y
cos( kz)
z  a
E x   Ae
ik y y z
e
Hy 
i

Ae
ik y y z
e
Odd solutions
za
Ae a  B sin( ka)
i

i

Ae

a
 ik


 ik

B cos( ka)
cot( ka)
cot( ka)  

k
Beyond the limit angle
n
c
 ky 
k n
Even
Odd
2

2
c2

c
  ky2 
 ky  k
tan( ka) 
2

k y
k
cot( ka)  

k
k y
2
c2
one value of 
one value of 
Quantum well for electrons

k 
E  E '
2
E'  V
y
2m
2mE
2
k
 ky
2

Even
Odd
tan( ka) 
2m(V  E )
2

 ky
2


k y
k
cot( ka)  

k
k y
one value of E
one value of E
Eigenvalues calculation
Evanescent fields
Extended
modes
Forbidden
region
Confinamento moto lungo z
Guided
modes
Evanescent tails

k 

2
Analogy with QWell
Energy E/V
Cono di
luce
En (k y )  En
y
2m
Extended states
Confined
states
Modi guidati
z
Confinamento moto lungo z
Evanescent wavefunction
Modi guidati con confinamento in 2 dimensioni: guide d’onda
Fibre ottiche
𝐸𝑧 𝑟, 𝜑, 𝑧, 𝑡 = 𝐽𝑚 (𝑟)𝑒 𝑖𝑙𝜑 𝑒 𝑖(𝑘𝑧−𝜔𝑡)
The Nobel Prize in Physics 2009
Charles K. Kao
"for groundbreaking achievements concerning the
transmission of light in fibers for optical communication"
Guiding of light
Modi guidati con confinamento in 3 dimensioni: risuonatori ottici
Electronics
Photonics

0 1
00 01
000 001
Drude-Lorentz
Dispersione nei Dielettrici
Equazioni classiche dell’interazione radiazione-materia




1
pi  Np   0  r  1E
P

dV i


p  ex

2


dx
d x
 i ( t )
2
m 2  m  m0 x  eEe
dt
dt
Equazioni classiche dell’interazione radiazione-materia

 i (t )
x (t )  x0e




2
2
 m x0  imx0  m0 x0  eE


eE
x0 
2
2
m  0   im
Equazioni classiche dell’interazione radiazione-materia




Ne E
P  Np   Nex0  
m  2  02  im
2


Ne2
Ne2
1
 r ( )  1 
 1
2
2
m 0   0  im
m 0  2  02  i


2

2

 02  i
Ne
 r ( )    i  1 
2
2
2
m 0   0   2  2
'
''




Equazioni classiche dell’interazione radiazione-materia


Ne     i
 r ( )    i  1 
m 0  2  0   2  2
2
2
2
2
~
 ( )  n  (n  iq )  (n  q  2inq )
2
'
''

r

2
2
0
2 2


 2
 
Ne
2
n  q  1 
2
2
2
2 2
m

 
0   0


2

 2nq  Ne
2
2
2

m 0   0   2  2

2


2


2
0
Nel limite di gas, si usa sviluppo perturbativo
2
2
2





Ne
0
n  1 
2
2 2
2 2
2
m









0

0

2
Ne

 q
2
2
2

2m 0   0    2  2

Propagazione luce
 
 i ( k~x t )
E ( r , t )  E0 e
~ ~ 

k  n  n  iq   k  i
c
c
2
 
 i ( kx t )   x
E ( r , t )  E0 e
e 2
 
 2 x
Legge di Beer
S (r , t )  E0 e eˆx
2 Ne 2

1 Ne 2



2
c 2m 0  2  02    2  2 c m 0 4  0 2   2
Drude-Lorentz
Dispersione nei Metalli
Equazioni classiche dell’interazione radiazione-materia




1
P
pi  Np   0  r  1E

dV i


p  ex

2


d x
dx
2
 i ( t )
m 2  m  m0 x  eEe
dt
dt
Equazioni classiche dell’interazione radiazione-materia

 i (t )
x (t )  x0 e



2
 m x0  imx0  eE


eE
x0 
2
m  im
Equazioni classiche dell’interazione radiazione-materia
Ne
1

 r ( )  1 
 1 2
2
m 0   i
  i
2
2
2
2
~
 ( )  n  (n  iq )  (n  q  2inq )
2
2
P
r
2
 2

2
P
n

q

1


2
2





2
P 
 2nq 
2
2

  


2
Ne
 P2 
m 0
Propagazione luce
 
 i ( k~x t )
E ( r , t )  E0 e
~ ~ 

k  n  n  iq   k  i
c
c
2
 
 i ( kx t )   x
E ( r , t )  E0 e
e 2
 
 2 x
Legge di Beer
S (r , t )  E0 e eˆx
o effetto pelle
Legame con conducibiltà


J   ( ) E



J   Nex  iNexo  iNe

eE
m 2  im
 Ne 2 1 
 
J
E   ( 0)
E
m   i
  i
 ( )
 r ( )  1 
 0
Equazioni classiche dell’interazione radiazione-materia
   or
 2

n  1 


q0

2
P
2
0
 P2
r  1 2

2 2
ck
2
2 2
2
  2  c k  P
r
Free electron gas
Equazioni classiche dell’interazione radiazione-materia
 2  c 2 k 2  P2
3,0

2,0
P
Free
electron
gas
2,5
ck
1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
kc/P
2,0
2,5
3,0
Plasmone
2
  

    E   r 2
c
2
P
 r  1 2

     

2
  P      E     E   E  0
 
Se   E  0  k  0
  
 

Se   E  0  k k  E  k 2 E  0
di Plasma hanno k=0
o
Onde trasverse alla frequenza
D  0  E  P /  0

 

Plasmone
2
  

    E   r 2
c
2
P
 r  1 2

     

2
  P      E     E   E  0
 
Se   E  0  k  0
  
 

Se   E  0  k k  E  k 2 E  0



D  0  E  P /  0

 

Onde longitudinali alla frequenza di Plasma sono possibili
Plasmone
 
  
 

2
Se   E  0  k k  E  k E  0


E
k k 
E



D  0  E  P /  0
+
+
+
+
+
+
+
-
Equazioni classiche dell’interazione radiazione-materia