Equazioni differenziali di una rete
Lezione 9
1
Storia SPICE 1/2
• Simulatori numerici per soluzioni
equazioni
differenziali reti elettriche
– ECAP prodotto dalla IBM
– CANCER sviluppato all’Università di
California in Berkeley
Lezione 9
2
Storia SPICE 2/2
– SPICE (Simulation Program with Integrated
Circuit Emphasis) sviluppato all’Università di
California in Berkeley
– SPICE2 evoluzione di SPICE
– SPICE3 prodotto come supporto ai
programmi CAD sviluppati a Berkeley
Lezione 9
3
Versioni per grossi calcolatori
• Famiglia SPICE:
– versioni per grossi calcolatori:
•
•
•
•
•
Lezione 9
HSPICE della Meta-Software
IG-SPICE della A.B. Associates
I-SPICE della NCSS Time Sharing
PRECISE della Electronic Engineering Software
PSpice della Microsim
4
Versioni per PC
• Famiglia SPICE:
– versioni per PC:
Lezione 9
•
•
•
•
•
•
ALLSPICE della Acotech
IS-SPICE della Intusoft
Z-SPICE della Z-Tech
SPICE-Plus della Analog Design Tools
PSpice della Microsim
WinSPICE della Ousetech
5
Editori di SPICE 1/2
• Editori che si utilizzano per il programma
SPICE:
– Scrittura diretta NETLIST in file ASCII
– Disegno con editore grafico (schematics
editor)
Lezione 9
6
Programmi in ambiente Windows scaricabili dalla rete
gratuitamente:
https://www.cadence.com/products/orcad/pages/downloads
.aspx
Si tratta pero' di un file di 924 MB!
:
versione 9.1 che funziona al Laib (solo 29 MB):
http://www.electronicslab.com/downloads/schematic/013/
oppure sul CD accluso al libretto di M.Biey su PSpice.
• Disegno con editore grafico (schematics editor)
- MicroCap Evaluation 9 (editore di circuiti)
http://www.spectrum-soft.com/index.shtm
Lezione 9
7
Testi su SPICE
• Alcuni testi di riferimento:
V.Daniele ed altri: Elettrotecnica, cap.9,
Monduzzi Editore, Bologna, 2005
– M.Biey: SPICE e PSPICE. CLUT Torino
(Scrittura diretta NETLIST in file ASCII)
– R.Perfetti: Circuiti Elettrici. Zanichelli, Bologna, 2003
(Disegno con editore grafico (schematics editor))
Lezione 9
8
Equazioni differenziali di una rete
Lezione 9
9
Svantaggi metodo nodi
• Il metodo dei nodi è alla base di SPICE
e altri simulatori.
– svantaggio: dà luogo ad un sistema con un
numero elevato di equazioni differenziali e
algebriche.
– il sistema non si presenta in forma normale
Lezione 9
10
Vantaggi equazioni stato
• Il metodo dell’equazioni di stato è
migliore da un punto di vista matematico
– le incognite sono le variabili di stato
– noto lo stato, qualsiasi uscita si determina con
l’equazioni di uscita
Lezione 9
11
Esempio 1/3
ingressi: e,a
variabili di stato : vC, il
uscite: v4,i1,i2
Esempio 2/3
• sostituire condensatori con generatori di tensione
• sostituire induttori con generatori di corrente
Esempio 3/3
• La sovrapposizione degli effetti dovuti ai generatori
equivalenti associati alle variabili di stato ed ai
generatori associati agli ingressi porge le equazioni:
v4 =
RR
R4
vC + 3 4 a
R3 + R4
R3 + R 4
i1 =
1
1
R2
e+
iL +
vC
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
i2 =
1
1
R1
e−
iL −
vC
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
• Le equazioni precedenti definiscono le equazioni
dell’uscita delle rete considerata:
Procedimento
• Procedimento per dedurre le Equazioni
di stato di una rete non degenere:
– Esprimere le variabili coniugate allo stato in
funzione degli ingressi e degli stati
– Esprimere le variabili coniugate con
l’equazioni costitutive che le legano alle di
variabili di stato
– Il confronto delle due espressioni consente di
eliminare le variabili coniugate e scrivere
l’equazioni differenziali che collegano le
Lezione 9
12
variabili di stato alle variabili di ingresso
Esempio 1/6
• Dedurre l’equazioni di stato della rete
• Ingressi: e, a
• Variabili di stato: vC, il
•Lezione
Variabili
coniugate: iC, vl
9
13
Esempio 2/6
• Esprimere le variabili coniugate in funzione
degli ingressi e delle variabili di stato
Lezione 9
14
Esempio 3/6
• La sovrapposizione degli effetti porge:
iC = −
vL =
Lezione 9
R1
R4
1
1
vC −
iL +
e+
a
( R1 + R2 ) || ( R3 + R4 )
R1 + R2
R1 + R2
R3 + R4
R1
RR
R2
vC − 1 2 iL +
e
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
15
Esempio 4/6
• Esprimere le variabili coniugate attraverso le
relazioni costitutive che le legano alle variabili
di stato
dvC
iC = C
,
dt
diL
vL = L
dt
• Confronto tra le due espressioni:
dvC
R1
R4
1
1
C
=−
vC −
iL +
e+
a
dt
R1 + R2
R1 + R2
R3 + R4
( R1 + R2 ) || ( R3 + R4 )
diL
R1
R1 R2
R2
L
=
vC −
iL +
e
dt R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
Lezione 9
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Esempio 5/6
• Equazioni di stato:
dvC
R1
R4
1
1
=−
vC −
iL +
e+
a
dt
C ( R1 + R2 ) || ( R3 + R4 )
C ( R1 + R2 )
C ( R1 + R2 )
C ( R3 + R4 )
diL
R1
R1 R2
R2
=
vC −
iL +
e
dt L( R1 + R2 )
L( R1 + R2 )
L( R1 + R2 )
Lezione 9
17
Esempio 6/6
• Forma matriciale dell’equazioni di stato:
dx
= A x + B s,
dt
−
A=
Lezione 9
1
C ( R1 + R2 ) || ( R3 + R4 )
R1
L( R1 + R2 )
x=
−
−
vC
iL
, s=
R1
C ( R1 + R2 )
R1 R2
L( R1 + R2 )
e
a
,
, B=
1
C ( R1 + R2 )
R4
C ( R3 + R4 )
R2
L( R1 + R2 )
0
18
Epressioni matriciali dell’equazioni di stato e delle
equazioni di uscita:
equazioni di stato
ingresso
stato
dx
= Ax+ Bs
⇑
dt
⇑
y =C x+Ds
equazioni di uscita
uscita
⇑
Lezione 9
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A, B, C , D: matrici strutturali che dipendono solo dai
parametri della rete.
Proprieta’ importante:
Gli autovalori di A coincidono con i poli della rete.
Soluzione nel caso di A costante:
t
x(t ) = e x(0) + ∫ e
At
⇑
risposta a ingresso nullo
Lezione 9
A ( t −t ')
0
B s (t ')dt '
⇑
risposta a stato iniziale nullo
20
Se l’ingresso e’ periodico s(t+T)=s(t), la soluzione puo’ essere riscritta:
x(t ) = e [ x(0) − x p (0)] + x p (t )
At
dove xp(t) e’ il valore di regime (periodico) definito da:
t
x p (t ) = x p (t + T ) = ∫ e A (t −t ') B s (t ')dt '
−∞
Lezione 9
21
Esempio
Calcolo le grandezze coniugate ic1 e ic2 come uscite. Uso il metodo dei nodi
modificando i lati C1 e C2 . Si hanno le tre equazioni ai nodi :
Lezione 9
22
Si hanno le seguenti equazioni dei due lati modificati:
Il sistema di cinque equazioni ha come incognite ic1, iC2, vo,,v3 e v4. Risolvendo
rispetto le due variabili coniugate ic1, ic2 e l’uscita vo, si ottengono l’equazioni
di stato e l’equazione di uscita:
Equazioni di stato
vo = −
Lezione 9
R1 R3 vc2 + R2 HR3 vc1 + R1 Hvc2 − viLL
H R1 + R2L R3
Hequazione di uscitaL
23
Forma matriciale:
y =C x+Ds
dx
= Ax+ Bs
dt
x=
vc1
vc 2
s = vi
R2
−
i
j
j C1 HR1+ R2L R3
B= j
j
j
R2
j
k C2 HR1 R3+ R2 R3L
C= I−
y = vo
D=
Lezione 9
y
z
z
z
z
z
z
{
R1 R2
H R1 + R2L R3
R2
R1+ R2
R2+ R1 R3
, − R1
M
H R1+ R2L R3
24