Lo strato limite planetario
Struttura fondamentale
A.A. 2009/2010
Caratteristiche generali (1/5)


Nello strato da  50 m  1000 m di
troposfera le caratteristiche della superficie
terrestre influenzano la velocità del vento
 IN QUANTO
Gli effetti di viscosità sono dello stesso
ordine di grandezza delle:
–
–
Forze di Coriolis
Forze di pressione
A.A. 2009/2010
Caratteristiche generali (2/5)
Pa4
Fatt=(z+z)-(z)
Pa1
U
Pr, r,Tr
Pa3
Fi = f . u
Pa2
Fg= r. V g
A.A. 2009/2010
Caratteristiche generali (3/5)
Tutte le forze agenti sul volume d’aria
rappresentativo, nel nostro sistema di
riferimento, sono dello stesso ordine di
grandezza:
 Forza di gravità: Fg = r.V. g
Forze di pressione: Fp= PaiAi
 Forze inerziali (di Coriolis):Fi = f.u
 Forze di attrito: Fatt =  d2u/dz2Ai V

A.A. 2009/2010
Caratteristiche generali (2/3)
1 p
1  x

 fv  
 x
 z

(1
La regione dove questo avviene viene
detta:
– STRATO
DI
CONFINE
PLANETARIO
(Planetary Boundary Layer - PBL)
A.A. 2009/2010
Caratteristiche generali (3/3)

La quasi totalità dei problemi di diffusione ha
luogo in questo strato
– Tipica scala sinottica (10 1000 Km - ora giorni)

La teoria del PBL prende le mosse dal
concetto che:
– Il trasporto di quantità di moto da parte dei moti
turbolenti
– possa essere parametrizzato in funzione della
circolazione media a grande scala
A.A. 2009/2010
Le equazioni di base del PBL (1/5)
Nei sistemi di moto a scala sinottica
 l’accelerazione è piccola rispetto alle:

– accelerazioni dovute alle forze di Coriolis
– accelerazioni dovute alle forze di pressione
Dall’equazione del moto (1 e (2 nel PBL si
ottiene, esplicitando:
– i termini turbolenti j
– le forze di pressione lungo le isobare di
riferimento
A.A. 2009/2010
Le equazioni di base del PBL (2/5)
Pa4
Fatt=(z+z)-(z)
U cost.
Pa1
Pr, r,Tr
Pa3
Fi = f . u
Pa2
Fg= r. V g
A.A. 2009/2010
Le equazioni di base del PBL (3/5)

Per la componente della velocità u
lungo l’asse x (diretto verso Est):
Du
1 p
1 
    fv   x 
Dt
 x
 z
Du
z

u
 g 
 fv  ( K mz  ) 
Dt
x p
z
z
z

u
0  g 
 fv  ( K mz  )
x p
z
z
A.A. 2009/2010
(4
(5
Le equazioni di base del PBL (4/5)

E, analogamente, per la componente
della velocità v lungo l’asse y (diretto
verso Nord):
z

v
0  g 
 fu  ( K mz  )
x p
z
z

(6
dove Kmz è la componente verticale
(lungo z) del “coefficiente di diffusività
del momento lineare” (eddy viscosity)
A.A. 2009/2010
Le equazioni di base del PBL (5/5)

Le equazioni (5 e (6 mostrano che,
nello strato di confine planetario,
sussiste un equilibrio fra:
– le forze di pressione
– le forze di Coriolis
– le forze di attrito dinamico (viscosità)
A.A. 2009/2010
L’approssimazione di Ekman alle equazioni del PBL (1/10)
Nel 1902 Ekman ricavò un’espressione
semplificata per l’equazione del campo
di vento nel PBL.
 Sotto le ipotesi:

– Kmz costante
– velocità del vento
origine geostrofica

si dimostra che: A.A. 2009/2010
essenzialmente
di
L’approssimazione di Ekman alle equazioni del PBL (2/10)
Per ogni campo di pressioni, a causa dell’attrito
a cui e soggetta l’atmosfera nello strato di
confine planetario il campo dei venti a bassa
quota presenta velocità:
più basse
 ruotate
rispetto al campo dei corrispondenti venti
geostrofici

A.A. 2009/2010
L’approssimazione di Ekman alle equazioni del PBL (3/10)
H
Spirale di Ekman
V
A.A. 2009/2010
L’approssimazione di Ekman alle equazioni del PBL (4/10)
ug  
vg 
g z

f y
g z

f x
(7
p
(8
p
che, inserite nelle (5 e (6, porta a:
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L’approssimazione di Ekman alle equazioni del PBL (5/10)
 2u
0  f (v  vg )  K mz  2
z
(9
 2v
0   f (u  u g )  K mz  2
z
(10
A.A. 2009/2010
L’approssimazione di Ekman alle equazioni del PBL (6/10)

Assumendo:
– un sistema di riferimento con l’asse x lungo la
direzione del vento geostrofico (vg=0)
– ug e vg costanti con l’altezza z

si ottiene:
u ( z )  u g  (1  e  az  cos(az))
(11
v( z )  u g  e  az  sin(az )
(12
dove: a 
f
2 K mz
A.A. 2009/2010
L’approssimazione di Ekman alle equazioni del PBL (7/10)

Le equazioni (11 e (12 descrivono la, così
detta:
– SPIRALE DI EKMAN
Z2
Z1
Z3
Z
Velocità del vento geostrofico
A.A. 2009/2010
ZI
L’approssimazione di Ekman alle equazioni del PBL (8/10)
Per z  0
u(0)  0
v(0)  0
(13
Per az  0  z  zi
uzi   u g
(14
v ( zi )  0
(15
dove zi rappresenta “l’altezza dello strato di rimescolamento
(mixing layer)”
A.A. 2009/2010
L’approssimazione di Ekman alle equazioni del PBL (9/10)

Secondo l’approssimazione di Ekman,
l’angolo previsto fra:
– il vento di superficie V e
– il vento geostrofico ug

E’ DATO DA:
A.A. 2009/2010
L’approssimazione di Ekman alle equazioni del PBL (10/10)
 1  e  az cosaz  
 v( z ) 

  arctg az
arctg
 u( z) 
 e sinaz  
(16
per z  0 , sviluppando in serie si ottiene:
 
  a2z2

a2z2

a2z2
 1  1  az 





...

1


...
 az 
 O a3z3
 

2!
2
!
 
 
  arctg 
2!
arctg 

2 2
3 3
 az  a z  O a 3 z 3


a z




1  az  ...   az 
 ... 




3!






arctg(1) 

 

  

(17
4
A.A. 2009/2010
Considerazioni sulla spirale di Ekman (1/2)

A causa delle approssimazioni usate per
la soluzione analitica (e.g.: inversioni di
temperature al limite dello strato di rimescolamento)
L’angolo osservato sperimentalmente è
  dell’angolo previsto:

– 5o10o in condizioni instabili
– 15o20o in condizioni neutre
– 30o50o in condizioni stabili
A.A. 2009/2010
Considerazioni sulla spirale di Ekman (2/2)

La spirale di Ekman è molto importante
nella diffusione
– di emissioni alte
– a grandi distanze
A.A. 2009/2010
Lo strato di attrito (1/2)

Nei primi  50 m di troposfera:
– Le forze di attrito predominano su quelle

di Coriolis
1  x

 fv
 z

(2
di pressione
1  x
1 p

 
 z
 x

(3
Tale zona viene detta:

Strato di attrito (Surface Layer)
A.A. 2009/2010
Lo strato di attrito (2/2)


La descrizione dei fenomeni in questo strato si
appoggia sulla:
Teoria della similiarità di Monin-Obukhov
SECONDO CUI
lo stato statistico delle fluttuazioni turbolente
al di sopra di una superficie piana ed
omogenea è interamente determinato dai
valori dei flussi turbolenti lungo la verticale di:


– momenti (velocità del vento)
– calore
A.A. 2009/2010
– opportuno parametro
di galleggiamento