Zenone di Elea
La vita




Anche per Zenone l'unica immagine
che possediamo è quella contenuta nel
racconto platonico
del Parmenide (127 a), nel quale un
quarantenne Zenone, «ben fatto e
gradevole a vedersi»
accompagna Parmenide ad Atene.
In base a questo racconto la nascita
di Zenone andrebbe collocata nel 490
o subito dopo.
Non conosciamo nessuna vicenda della
sua vita, a meno che si voglia dare
valore storico alla narrazione
del Parmenide platonico e alla notizia
in esso contenuta che Zenone era
l'amante di Parmenide.
Apollodoro ne faceva invece il figlio
adottivo
di Parmenide e Ateneo protestava
contro quella che considerava
un'interpretazione maligna e gratuita
di Platone.

I paradossi di Zenone ci sono stati
tramandati attraverso la citazione che ne
fa Aristotele nella sua Fisica. Zenone di Elea,
discepolo ed amico di Parmenide, per
sostenere l'idea del maestro, che la realtà è
costituita da un Essere unico e immutabile,
propose alcuni paradossi che dimostrano, a
rigor di logica, l'impossibilità della
molteplicità e del moto, nonostante le
apparenze della vita quotidiana.
 Le
argomentazioni di Zenone
costituiscono forse i primi esempi del
metodo di dimostrazione noto
come reductio ad absurdum o
dimostrazione per assurdo. Sono
anche considerate un primo esempio
del metodo dialettico, usato in
seguito dai sofisti e da Socrate.
In matematica
 Supponiamo
di dover dimostrare la
proposizione p. Il procedimento
consiste nel mostrare che assumere
"non p" (cioè che p sia falso)
conduce una contraddizione logica.
Perciò p non può essere falsa, e
perciò, secondo la legge del terzo
escluso, deve essere vera.
1
2
3
Una valutazione
 Oggi
non si attribuisce valore fisico
alle argomentazioni di Zenone, ma la
loro influenza è stata molto
importante nella storia del pensiero
filosofico e matematico.
 I paradossi di Zenone restano anche
un utile esercizio di logica, per
riflettere sulla modalità di
costruzione dei ragionamenti umani.
Paradossi contro il pluralismo

Si ricordano due paradossi contro il pluralismo e
quattro contro il movimento.
– Primo paradosso
– Il primo paradosso, contro la pluralità delle cose,
sostiene che se le cose sono molte esse sono allo stesso
tempo un numero finito e un numero infinito: sono finite
in quanto esse sono né più né meno di quante sono, e
infinite poiché tra la prima e la seconda ce n'è una terza
e così via.
– Secondo paradosso
– Il secondo paradosso invece sostiene che se queste
unità non hanno grandezza, le cose da esse composte
non avranno grandezza, mentre se le unità hanno una
certa grandezza, le cose composte da infinite unità
avranno una grandezza infinita.
Primo paradosso (lo stadio)
Il primo argomento contro il movimento è
quello sullo stadio.
 Esso afferma che non si può giungere
all'estremità di uno stadio senza prima
aver raggiunto la metà di esso, ma prima
di raggiungerla si dovrà raggiungere la
metà della metà e così via senza quindi
mai riuscire a raggiungere l'estremità dello
stadio.


A. Dato il percorso A-B, prima di
giungere in B, il mobile deve
percorrere ½(A-B), raggiungendo A1,
ma prima di raggiungere A1, deve
percorrere 3/2(A-A1) e così via.
B. Supposto che il mobile abbia
raggiunto il punto A1, a metà del
percorso A-B, esso dovrà percorrere
½ (A2-B) prima di raggiungere B, e
poi 1/2(A2-B) e così via.
Aristotele spiegava la difficoltà posta
da questo argomento dicendo che in
esso una traiettoria infinita doveva
essere percorsa in un tempo finito. In
entrambe le interpretazioni il mobile
dovrà percorrere infiniti intervalli
decrescenti di 1/2, 1/4, 1/8,..., dove
il denominatore potrà crescere
all'infinito.
Achille e la tartaruga
Il secondo argomento contro il moto è
quello detto di Achille o di Achille e la
tartaruga. Si supponga che Achille
insegua una tartaruga, che ha su di lui
un vantaggio iniziale; pur muovendosi
con una velocità maggiore di quella
della tartaruga, Achille non la
raggiungerà mai, perché, se si
suppone che AB sia il vantaggio della
tartaruga su Achille, questi deve
giungere in B, per raggiungere la
tartaruga.
Nel frattempo però la tartaruga sarà
passata in A1 e, quando Achille sarà
giunto in A1, essa sarà ìn A2 e così
via. Secondo Aristotele questo
argomento era identico al precedente,
con la sola differenza che qui non si ha
una serie di dimezzamenti, ma gli
spazi che dividono Achille dalla
tartaruga diventano sempre più piccoli
secondo la serie 1/n, 1/n2 , 1/n3...
Terzo paradosso (la freccia)


l terzo argomento è quello della freccia, che
appare in movimento ma, in realtà, è immobile.
In ogni istante difatti essa occuperà solo uno
spazio che è pari a quello della sua lunghezza; e
poiché il tempo in cui la freccia si muove è fatto
di singoli istanti, essa sarà immobile in ognuno di
essi.
Il concetto di questo terzo paradosso è in fondo
opposto a quello del secondo: l'esistenza di punti
e istanti indivisibili. Ma anche in questo caso il
movimento risulta impossibile, in quanto dalla
somma di istanti immobili non può risultare un
movimento.
Quarto paradosso (due masse
nello stadio)


Zenone afferma che se due masse in
uno stadio si vengono incontro, risulterà
l'assurdo logico che la metà del tempo
equivale al doppio.
Supponiamo tre treni disposti su binari
paralleli, di cui i primi due corrano (B e
C) in direzioni opposte ad una velocità
di 100 km/h e il terzo stia immobile (A).
Ora la velocità del treno B apparirà di
100 km/ nei confronti del treno A e di
200/km nei confronti del treno C