Zenone di Elea
La vita
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Anche per Zenone l'unica immagine
che possediamo è quella contenuta nel
racconto platonico
del Parmenide (127 a), nel quale un
quarantenne Zenone, «ben fatto e
gradevole a vedersi»
accompagna Parmenide ad Atene.
In base a questo racconto la nascita
di Zenone andrebbe collocata nel 490
o subito dopo.
Non conosciamo nessuna vicenda della
sua vita, a meno che si voglia dare
valore storico alla narrazione
del Parmenide platonico e alla notizia
in esso contenuta che Zenone era
l'amante diParmenide.
Apollodoro ne faceva invece il figlio
adottivo
di Parmenide e Ateneo protestava
contro quella che considerava
un'interpretazione maligna e gratuita
di Platone.
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I paradossi di Zenone ci sono stati
tramandati attraverso la citazione che ne
fa Aristotele nella sua Fisica. Zenone di Elea,
discepolo ed amico di Parmenide, per
sostenere l'idea del maestro, che la realtà è
costituita da un Essere unico e immutabile,
propose alcuni paradossi che dimostrano, a
rigor di logica, l'impossibilità della
molteplicità e del moto, nonostante le
apparenze della vita quotidiana.
 Le
argomentazioni di Zenone
costituiscono forse i primi esempi del
metodo di dimostrazione noto
come reductio ad absurdum o
dimostrazione per assurdo. Sono
anche considerate un primo esempio
del metodo dialettico, usato in
seguito dai sofisti e da Socrate.
In matematica
 Supponiamo
di dover dimostrare la
proposizione p. Il procedimento
consiste nel mostrare che assumere
"non p" (cioè che p sia falso)
conduce una contraddizione logica.
Perciò p non può essere falsa, e
perciò, secondo la legge del terzo
escluso, deve essere vera.
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Una valutazione
 Oggi
non si attribuisce valore fisico
alle argomentazioni di Zenone, ma la
loro influenza è stata molto
importante nella storia del pensiero
filosofico e matematico.
 I paradossi di Zenone restano anche
un utile esercizio di logica, per
riflettere sulla modalità di
costruzione dei ragionamenti umani.
Paradossi contro il pluralismo
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Si ricordano due paradossi contro il pluralismo e
quattro contro il movimento.
– Primo paradosso
– Il primo paradosso, contro la pluralità delle cose,
sostiene che se le cose sono molte esse sono allo stesso
tempo un numero finito e un numero infinito: sono finite
in quanto esse sono né più né meno di quante sono, e
infinite poiché tra la prima e la seconda ce n'è una terza
e così via.
– Secondo paradosso
– Il secondo paradosso invece sostiene che se queste
unità non hanno grandezza, le cose da esse composte
non avranno grandezza, mentre se le unità hanno una
certa grandezza, le cose composte da infinite unità
avranno una grandezza infinita.
Primo paradosso (lo stadio)
Il primo argomento contro il movimento è
quello sullo stadio.
 Esso afferma che non si può giungere
all'estremità di uno stadio senza prima
aver raggiunto la metà di esso, ma prima
di raggiungerla si dovrà raggiungere la
metà della metà e così via senza quindi
mai riuscire a raggiungere l'estremità dello
stadio.
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A. Dato il percorso A-B, prima di
giungere in B, il mobile deve
percorrere ½(A-B), raggiungendo A1,
ma prima di raggiungere A1, deve
percorrere 3/2(A-A1) e così via.
B. Supposto che il mobile abbia
raggiunto il punto A1, a metà del
percorso A-B, esso dovrà percorrere
½ (A2-B) prima di raggiungere B, e
poi 1/2(A2-B) e così via.
Aristotele spiegava la difficoltà posta
da questo argomento dicendo che in
esso una traiettoria infinita doveva
essere percorsa in un tempo finito. In
entrambe le interpretazioni il mobile
dovrà percorrere infiniti intervalli
decrescenti di 1/2, 1/4, 1/8,..., dove
il denominatore potrà crescere
all'infinito.
Achille e la tartaruga
Il secondo argomento contro il moto è
quello detto di Achille o di Achille e la
tartaruga. Si supponga che Achille
insegua una tartaruga, che ha su di lui
un vantaggio iniziale; pur muovendosi
con una velocità maggiore di quella
della tartaruga, Achille non la
raggiungerà mai, perché, se si
suppone che AB sia il vantaggio della
tartaruga su Achille, questi deve
giungere in B, per raggiungere la
tartaruga.
Nel frattempo però la tartaruga sarà
passata in A1 e, quando Achille sarà
giunto in A1, essa sarà ìn A2 e così
via. Secondo Aristotele questo
argomento era identico al precedente,
con la sola differenza che qui non si ha
una serie di dimezzamenti, ma gli
spazi che dividono Achille dalla
tartaruga diventano sempre più piccoli
secondo la serie 1/n, 1/n2 , 1/n3...
Terzo paradosso (la freccia)
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l terzo argomento è quello della freccia, che
appare in movimento ma, in realtà, è immobile.
In ogni istante difatti essa occuperà solo uno
spazio che è pari a quello della sua lunghezza; e
poiché il tempo in cui la freccia si muove è fatto
di singoli istanti, essa sarà immobile in ognuno di
essi.
Il concetto di questo terzo paradosso è in fondo
opposto a quello del secondo: l'esistenza di punti
e istanti indivisibili. Ma anche in questo caso il
movimento risulta impossibile, in quanto dalla
somma di istanti immobili non può risultare un
movimento.
Quarto paradosso (due masse
nello stadio)
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Zenone afferma che se due masse in
uno stadio si vengono incontro, risulterà
l'assurdo logico che la metà del tempo
equivale al doppio.
Consideriamo infatti tre segmenti (A, B,
C) uguali e paralleli, che si trovino
allineati. Supponiamo poi che il
segmento (B) si muova verso destra,
rispetto a quello (A) che resta fermo, e
che per ogni istante elementare avanzi
di un intervallo (elementare). Il
segmento in basso (C) faccia invece la
stessa cosa verso sinistra. Dopo il primo
istante avremo che i punti iniziali di B e
C si saranno allontanati di due intervalli.
Ma ciò è assurdo perché allora il tempo
che avrebbero impiegato per
allontanarsi di un solo intervallo
sarebbe di "mezzo istante",
contraddicendo l'ipotesi che stiamo
analizzando la situazione al primo
istante (indivisibile).
Zenone si sbagliava …
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In alcuni dei suoi paradossi, Zenone assume implicitamente che, data
una serie infinita, debba essere infinita anche la sua somma.
Non crediamo però che l'errore sia "sciocco": una prima dimostrazione di
convergenza delle serie infinite non geometriche è stata data solo nel XIV
secolo da Richard Suiseth e nel XVII secolo, mentre Zenone espose i suoi
paradossi nel V secolo a.C.. La tecnica mostrata da Zenone nella
suddivisione infinitesimale va sotto il nome di dicotomia.
Il paradosso della freccia, come quello dello stadio, possono essere
confutati sviluppando una teoria dei numeri reali che permetta di postulare
che lo spazio e il tempo siano infinitamente divisibili, e definendo al
contempo la possibilità di misurare un insieme di cardinalità illimitata,
concetti che sono stati resi formalmente solo alla fine del XIX secolo.
Nel paradosso delle masse dello stadio, Zenone implicitamente suppone
che le velocità possibili di un corpo siano illimitate superiormente, mentre
sappiamo dalla teoria della relatività ristretta che non è così. Anche in
quello della freccia, egli suppone che un corpo in moto sia indistinguibile
da uno in quiete. Sono trascorsi 2500 anni prima di raggiungere le
conoscenze necessarie a confutare il paradosso.
Sono state date anche delle confutazioni valide anche per la meccanica
classica. In genere si è sempre osservato che gli argomenti di Zenone si
basano sull'infinito. Per il paradosso della freccia, Bertrand Russell ha
osservato che il cinematografo crea il movimento utilizzando una
successione di immagini ferme.