I paradossi di Zenone
V. Durante – M. Mari – C. Ternullo
Liceo Scientifico "Morgagni"
Paradosso
1.
Una convinzione, affermazione o dottrina che sfidano il senso comune (dóxa).
2.
Un problema logico la cui risoluzione implica una contraddizione (antinomia).
Es. (1): “È un paradosso ritenere che l’anima sia mortale.”
Es. (2): Il paradosso del “Mentitore”, di Russell, Grelling, Richard, ecc.
Il paradosso del “Mentitore”
Considera le seguenti proposizioni:
1.
Epimenide di Creta asseriva: “Tutti i Cretesi mentono”
2.
“Questa proposizione è falsa”
3.
“Tutto quello che asserisco è falso”
Ciascuna delle proposizioni fra virgolette è vera o falsa?
Reductio (ad absurdum)
È una regola logica tramite cui è possibile negare una proposizione assunta come vera se da
essa ne deriva una contraddizione.
Schema
1.
A. (Assunzione)
2.
A implica una contraddizione.
3.
Ne segue ¬A (introduzione di “¬”)
Tutti gli argomenti zenoniani (a parte la “Freccia”, che, però, è facilmente riducibile ad un
argomento basato su reductio) si basano su reductio.
Zenone, Platone, Aristotele
Zenone: fonti
o
Platone, Parmenide, 127D6-128E4
Nella cornice dialogica immaginata da Platone, Zenone si trova ad Atene con Parmenide per discutere con
Socrate. Nel passo citato, si fa menzione dei celebri argomenti di Zenone in difesa della dottrina eleate
dell'illusorietà del mutamento.
o
Aristotele, Fisica, IV, 3, 210b; VII, 5, 250a
Aristotele cita gli argomenti di Zenone essenzialmente per confutarli, e mostrare che l’idea del movimento
non è contraddittoria. Proprio grazie ad Aristotele noi conosciamo gli argomenti di Zenone.
Paradossi del moto/1: Dicotomia
1.
Supponiamo che il movimento sia possibile.
2.
Il movimento avviene in uno spazio continuo (per ipotesi nell’intervallo [0, 1]).
3.
Perché X raggiunga 1, deve prima raggiungere 1/2. Prima di 1/2, 1/4, prima di 1/4, 1/8
e così via, ad infinitum.
4.
Ne deriva che X dovrebbe attraversare infinite parti di [0, 1] in una quantità di tempo
finita.
5.
Il movimento è impossibile!
Paradossi del moto/2: Achille
1.
Supponiamo che il movimento sia possibile. Ne segue che, dati due mobili X,Y, se
X è più veloce di Y ad un certo punto avverrà che X supererà Y.
2.
Supponiamo che Achille e una tartaruga si sfidino alla corsa sul tratto [0, 1] e che
la tartaruga parta con un vantaggio, s≠0.
3.
A t, Achille raggiunge s, e la tartaruga è in s’>s. A t’, Achille raggiunge s’ e la
tartaruga è in s'’>s’ e così via, ad infinitum.
4.
Quindi Achille, per raggiungere la tartaruga, dovrebbe attraversare infinite parti in
una quantità di tempo finita.
5.
Il movimento è impossibile!
Achille e la tartaruga
Paradossi del moto/3: Freccia
1.
Ogni oggetto che si muove ha una velocità.
2.
Se si considera una quantità di tempo sempre più piccola, lo spazio attraversato è
sempre più piccolo. Quindi, in ogni istante, la freccia è immobile.
3.
Il moto in un intervallo continuo è decomponibile in una somma di istanti, quindi
in una somma di stati di immobilità.
4.
La freccia è immobile.
Esercizio: volgi la “Freccia” in un argomento basato su RA.
Freccia
Paradossi del moto/4: Stadio
1.
Supponiamo che il movimento sia possibile. Due oggetti che si muovono a uguale
velocità coprono porzioni di spazio uguale in un tempo uguale.
2.
Si dispongano tre oggetti, A, B e Γ , ciascuno di lunghezza pari a 1/2,
nell'intervallo [0, 1] (lo “stadio”), in maniera tale che B occupi [0, 1/2], Γ occupi
[1/2, 1] e A [1/4, 3/4].
3.
B si muova di un 1/4 verso 1, Γ di un 1/4 verso 0 e A stia fermo. Rispetto ad A,
sia B che Γ avranno percorso 1/4, ma l’uno rispetto all’altro, essi avranno percorso
1/2.
4.
Il movimento è impossibile!
Stadio
Osservazioni
Nota:
1)
L’uso della regressio ad infinitum
2)
Il problema di attraversare infinite parti in un tempo finito
3)
Il movimento come somma infinita di punti/istanti
4)
Differenza fra velocità assoluta e relativa
5)
Assimilazione del continuo matematico allo spazio fisico
La matematica di Zenone
Claim. Esistono metodi matematici adeguati per risolvere tutti i paradossi. Es.:
•
considera somme finite di serie infinite convergenti (Cauchy). [Dicotomia, Achille]
•
la misura della velocità dei due corpi nello stadio è relativa al corpo rispetto a cui si
muove. Nel caso dei due corpi in movimento, la velocità di B e Γsi devono
sommare. [Stadio]
•
la definizione di velocità istantanea implica che Δt tenda a 0, non che si annulli. In
altri termini, misurare la velocità implica sempre che si consideri un intervallo, per
quanto piccolo, non nullo di spazio e di tempo (eliminazione del concetto di
infinitesimo). [Freccia]
Aristotele su Zenone
•
Aristotele distingue infinito attuale e potenziale: l’infinito attuale implica
l’esistenza di un’infinità di parti reali
•
Un percorso infinitamente divisibile in senso attuale non è percorribile
(perché, secondo Aristotele, l’esistenza di parti reali implica una
discontinuità)
•
Un percorso infinitamente divisibile in senso potenziale è percorribile, e
viene a cadere l’esistenza di infinite parti reali (che produce i paradossi)
Russell su Zenone
“In questo mondo capriccioso, nulla è più capriccioso che
la fama presso i posteri. Una delle più notevoli vittime
della mancanza di senno della posterità è Zenone di Elea.
Malgrado che abbia inventato quattro argomentazioni
tutte smisuratamente sottili e profonde, la stupidità dei
filosofi venuti dopo di lui proclamò che Zenone era
null'altro che un ingegnoso giocoliere e le sue
argomentazioni erano tutti sofismi. Dopo duemila anni di
continua confutazione questi sofismi vennero nuovamente
enunciati, e formarono la base di una rinascita della
matematica.”
(I principi della matematica, Milano, 1988, pp. 482-3)
Russell su Zenone
Il problema di [Dicotomia] e [Achille] è un problema definitorio (logico): la
definizione sembra implicare che le parti proprie di [0, 1] siano logicamente anteriori
ad esso. Russell nega che lo siano. In particolare, esiste una definizione logicamente
adeguata di [0, 1] tramite il concetto di insieme, che risolve il problema
dell’anteriorità.
Russell considera [Freccia] un argomento che confuta l’esistenza degli infinitesimi.
Usando la teoria delle cardinalità transfinite, Russell spiega come per capire come
Achille superi la tartaruga non implichi prendere in considerazioni nozioni di
cardinalità (gli intervalli percorsi da Achille e la tartaruga hanno la stessa
cardinalità).
Questioni aperte
Le nozioni matematiche di spazio e tempo sono adeguate a descrivere la
realtà fisica?
Lo spazio ha degli elementi minimi (infinitesimi)?
Il tempo e lo spazio sono nostre rappresentazioni o elementi strutturali
della realtà?
Il cambiamento è illusorio?
…
Grazie!