Le progressioni
aritmetica, geometrica, ecc…
Zenone di Elea
Filosofo
Zenone di Elea è stato un filosofo greco antico
presocratico della Magna Grecia e un membro
della Scuola eleatica fondata da Parmenide.
Aristotele lo definisce inventore della
dialettica. Wikipedia
Data di nascita: 490 a.C., Elea-Velia, Ascea
Data di morte: 430 a.C.
Elea (greco: Ελαία), denominata in epoca
romana Velia, è un'anticapolis della Magna
Grecia. L'area archeologica è attualmente
localizzata nella contrada Piana di Velia, nel
comune di Ascea in provincia di Salerno,
all'interno del Parco nazionale del Cilento e
Vallo di Diano. L'accesso al sito è da via di
Porta Rosa.
IL PARADOSSO DI ZENONE
Achille e la tartaruga
Si racconta che nel V secolo a.C. il
filosofo greco Zenone di Elea
inventò alcuni
paradossi che poi diventarono
famosi. Fra questi sicuramente
primeggiano il
paradosso della dicotomia e di
“Achille e la tartaruga”.
Achille sfida una tartaruga in una gara di velocità lungo un percorso di 1km. La tartaruga
parte con 100 m. di vantaggio rispetto ad Achille che come è noto era il più veloce di
tutti gli Achei. Nella realtà Achille raggiunge e supera con facilità la lenta tartaruga, ma
Zenone dimostra che ciò non può accadere.
Infatti, quando Achille raggiunge il punto 0 s da cui è partita la
tartaruga, essa si sarà spostata nel punto 1 s ; quando Achille avrà allora raggiunto il
punto 1 s , la tartaruga si sarà spostata nel punto 2 s ecc.
In questo modo, anche se Achille si avvicinerà sempre più alla tartaruga, non la
raggiungerà mai!
Ancora una volta siamo caduti nel tranello delle somme infinite.
La progressione è la ripetizione successiva, ogni volta trasposta di un certo intervallo, di un elemento melodico e/o armonico,
che prende il nome di modello; essa si può svolgere nell'ambito di una voce o, in forma imitativa, in maniera alternata tra più
voci.
Si parla di progressione ascendente o discendente a seconda della direzione delle trasposizioni del modello. Si parla inoltre di
progressione monotonale se essa si mantiene sempre nell'ambito della medesima tonalità; di progressionemodulante se ciò
non si verifica. Le ripetizioni del modello possono essere del tutto letterali, ma si parla di progressione anche nel caso di
ripetizioni fiorite o variate in diversi modi.
Esempio di progressione monotonale discendente, dalla Fuga BWV 860 di Johann Sebastian Bach. Considerando le note cerchiate come
bassi armonici, si vede che la progressione segue un segmento del circolo delle quinte.
Utilizzo della progressione[modifica | modifica wikitesto]
La progressione è una forma di ripetizione, e quindi ha in
primo luogo la funzione di ribadire un pensiero musicale. Essendo
tuttavia una ripetizione trasposta, essa non comunica un effetto di staticità, ma fa evolvere il discorso musicale verso una tappa
più o meno provvisoria.
La progressione è stata impiegata assai largamente dalla musica del XVII e XVIII secolo, e anzi la sua frequenza nell'arte
musicale barocca costituisce, insieme al tipico ritmo pulsivo, uno degli elementi caratteristici più marcati.
La progressione ha un ruolo architettonico importante in diverse forme musicali. In particolare:
•nella Fuga essa caratterizza i divertimenti, che nell'ambito della composizione di scuola sono costruiti proprio a partire da una
progressione melodica imitativa formata da elementi sentiti nell'esposizione.
•nella Forma sonata essa è spesso un importante ingrediente dello sviluppo, ed è impiegata il più delle volte come mezzo
modulante in grado di aumentare la tensione fino a un culmine che viene risolto di solito dall'avvio della ripresa.
La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di
Fidiao proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica,
indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio
proporzionale tra la minore e la somma delle due. In formule, se è la lunghezza
maggiore e quella minore,
b:a=a:(a+b) ma è anche
a:b=b:(a-b) da cui segue che
Tale rapporto vale, approssimativamente,
Il numero phi (1,618).
Deriva dalla sequenza di Fibonacci, matematico medievale, il quale aveva individuato
una progressione nella quale la somma di due termini adiacenti è uguale al termine
successivo e
nella quale il quoziente di due numeri adiacenti tende sorprendentemente a 1,618 phi
(0-1-1-2-3-5-8-13-21). Nonostante l'origine matematica di phi esso sembra
avere un ruolo fondamentale in natura; i primi scienziati lo chiamarono
proporzione divina. Se si divide il numero delle femmine di un qualsiasi alveare
per il numero dei maschi si ottiene il numero phi; il nautilus, il mollusco che
galleggia nella sua conchiglia ha il rapporto del diametro di ogni spira con la
successiva di 1,618; le spirali dei semi di girasole, le spirali delle pigne, la
disposizione delle foglie sui rami sono altri esempi.
Platone considera la sezione aurea la chiave della fisica del
cosmo:"Platone nel Timeo cerca di dare la sua spiegazione del mondo della
natura, applicando il metodo dialettico, quello finalistico derivato dalle sue
vedute morali, suggestioni empedoclee ed atomistiche e la concezione dei numericose elaborata a partire dal pitagorismo. Dal Timeo proviene la celebre ipotesi
( di origine pitagorica) dell'esistenza di un'anima del mondo, da essa la
convinzione che l'ordine della natura sia qualcosa che antecede la natura".
Gli artisti e i matematici del Rinascimento tra cui Leonardo da
Vinci, Piero della Francesca, Bernardino Luini e Sandro Botticelli rimasero
molto affascinati dalla sezione aurea.
"De divina proportione" è anche il titolo del
trattato redatto dal matematico rinascimentale Luca Pacioli e illustrato da
sessanta disegni di Leonardo da Vinci (1452-1519).
Questo libro è stato
pubblicato nel 1509 ed influenzò notevolmente gli artisti ed architetti del
tempo, ma anche delle epoche successive.
In questo trattato Pacioli
ricercò nella proporzione dei numeri i principi ispiratori in architettura,
scienza e natura: la regola aurea introdotta fu in seguito chiamata praxis
italica.
Utilizzando
la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo inoltre scoprì che, guardando le
opere, si poteva creare un sentimento di ordine.
In particolare Leonardo
incorporò il rapporto aureo in tre dei suoi capolavori: La Gioconda, L'ultima
cena e L'Uomo di Vitruvio.
Nella Gioconda il rapporto aureo è stato
individuato:
nella disposizione del quadro
nelle dimensioni del viso
nell'area che va dal collo a sopra le mani
in quella che va dalla
scollatura dell'abito fino a sotto le mani.
Ne L'Ultima cena, Gesù, il
solo personaggio veramente divino, è dipinto con le proporzioni divine, ed è
racchiuso in un rettangolo aureo
Ne L'Uomo, Leonardo studia le
proporzioni
della sezione aurea secondo i dettami
del De architectura di Vitruvio che
obbediscono ai rapporti del numero
aureo. Leonardo stabilì che le
proporzioni
umane sono perfette quando
l'ombelico divide l'uomo in modo
aureo.Vitruvio nel De Architectura
scrive:
"Il centro del corpo
umano è inoltre per natura
l'ombelico; infatti, se si sdraia un
uomo sul dorso,
mani e piedi allargati, e si punta un
compasso sul suo ombelico, si
toccherà
tangenzialmente, descrivendo un
cerchio, l'estremità delle dita delle
sue mani e
dei suoi piedi".
Avete mai notato che le luci al neon sulla
cupola della Mole Antonelliana a Torino
formano dei numeri?
1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 …
Si tratta della successione
di Fibonacci(Matematico del tredicesimo
secolo).
La caratteristica dei numeri di questa
successione è che la somma di due termini
consecutivi è uguale al successivo:
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
5+8=13
8+13=21 …
ma non solo, il quoziente di un numero con il
suo precedente tende al valore 1,618 indicato
con phi. L’aspetto più sorprendente di questo
numero è il suo ruolo di mattone
fondamentale nella natura.
Il numero phi è presente anche nella struttura
delle sonate di Mozart, nella Quinta sinfonia di
Beethoven. Sembra che questo numero sia
stato anche usato da Stradivari per calcolare la
posizione esatta dei fori nella costruzione dei
suoi famosi violini. (Dal progetto” Sezione
aurea” realizzato con le colleghe di Italiano)
Leonardo Pisano detto
il Fibonacci (Pisa, settembre 1
170 – Pisa, 1240 circa.[1]) fu
un matematico italiano.
Costruiscila tu
una serie in
progressione!