UNITÀ DI
INSEGNAMENTO/APPRENDIMENTO
Uno studio relativo al
“FIOCCO DI NEVE” di Koch
Contesto in cui è stata prodotta: Ricerca azione: Metodi per lo
studio dei frattali promossa dall'OPPI, Organizzazione per la
Preparazione Professionale degli Insegnanti, 2004-05
Destinatari: Classe IV B, scuola primaria “Giuseppe Garibaldi” di
Genova, Anno Scolastico 2004/2005
Docente coinvolto: Ivana Niccolai
A cura di Ivana Niccolai
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RIFERIMENTI TEORICI
•“PENTOLE, OMBRE, FORMICHE – In viaggio con la matematica”
di Emma Castelnuovo, ed. La Nuova Italia
•“LA MATEMATICA DEL NOVECENTO – Dagli insiemi alla
complessità” di Piergiorgio Odifreddi, Piccola Biblioteca Einaudi,
2000
http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/odifreddi/lamatematica.htm
•“C’ERA UNA VOLTA UN PARADOSSO – Storie di illusioni e
verità rovesciate” di Piergiorgio Odifreddi, Grandi Tascabili Einaudi,
2001
http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/odifreddi/paradosso.htm
•“SPAZIO IPERSPAZI FRATTALI – Il magico mondo della
geometria” di Giuseppe Arcidiacono, Di Renzo Editore, Prima
Ristampa 2004
http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/af_file/ARCIDIACONO.htm
A cura di Ivana Niccolai
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OBIETTIVI
•SAPERE: Conoscere la curva di Koch e
comprendere il concetto di frattale
•SAPER FARE: Imparare a usare il linguaggio LOGO
e il software FRACTINT, per realizzare i vari stadi
della costruzione del “fiocco di neve” di Koch e saper
eseguire opportuni calcoli; saper ricercare
informazioni varie in Internet (utilizzando la sitografia
predisposta dall’insegnante)
•SAPER ESSERE: Acquisire sicurezza e disinvoltura
nell’esprimere, in forma di dimostrazione e di
recitazione, i concetti appresi; saper collaborare
proficuamente con i compagni
A cura di Ivana Niccolai
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ARTICOLAZIONE
DELL’APPRENDIMENTO
•Presentazione del fiocco di neve di Koch, tramite lezione frontale
e, successiva ricerca, in Internet, ( utilizzando la sitografia stabilita
dall’insegnante) di informazioni storiche e musicali, utili per il
lavoro da svolgere
•Studio della poesia “Qual è la dimensione del fiocco di neve?”
(appositamente scritta da Grazia Raffa e Ivana Niccolai)
•Realizzazione con il programma LOGO e con il software
FRACTINT delle varie figure geometriche prese in considerazione
•Esecuzione di calcoli precisi per la preparazione di una tabella
relativa ai vari stadi della costruzione del “fiocco di neve” di Koch,
traendo le opportune conclusioni
A cura di Ivana Niccolai
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DISCIPLINE COINVOLTE
•Matematica: per lo studio della geometria frattale;
•Informatica: per la costruzione delle figure geometriche,
utilizzando il programma logo e il software fractint;
•Italiano: per saper riferire, in forma chiara e corretta, ogni
procedimento seguito;
•Storia: per ricercare informazioni inerenti al matematico Nils
Fabien Helge von Koch (1870 – 1924) nelle pagine web,
opportunamente scelte dall’insegnante;
•Educazione musicale: per ricercare in Internet (nelle pagine web
scelte dall’insegnante) musica “frattale” e “non frattale”, ritenuta
adeguata all’argomento trattato;
•Educazione all’immagine: per preparare un cartellone murale,
relativo all’argomento studiato;
•Educazione alla convivenza civile: per saper collaborare
proficuamente con i compagni nei lavori di gruppo.
A cura di Ivana Niccolai
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POESIA
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“QUAL È LA DIMENSIONE DEL
FIOCCO DI NEVE DI KOCH?”
di Grazia Raffa e Ivana Niccolai
(Ringrazio moltissimo Grazia Raffa, che ha collaborato con me, per
rendere poetica e particolarmente piacevole una lezione matematica)
A cura di Ivana Niccolai
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POESIA
2/9
Da un triangolo si parte
con i lati uguali ad arte;
ogni lato in tre segmenti
si divide, “equivalenti”.
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POESIA
3/9
Un segmento in ogni lato
poi nel centro vien levato.
Fatto ciò, si forma stella,
con sei punte, molto bella,
sostituendo, ai segmenti,
dei triangoli “carenti”.
A cura di Ivana Niccolai
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POESIA
4/9
Poi, con un calcolatore,
si ripete anche per ore…
Riflettiamo che il costruito
ha un modello stabilito:
che da sempre sostituisce
quattro a tre, quindi arricchisce.
A cura di Ivana Niccolai
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POESIA
5/9
Tre e quattro, qui abbinati,
in che modo son legati?
Tre, pensato alla seconda,
porta a nove, cifra tonda,
che è di quattro ben maggiore,
di sicuro, non ci piove;
mentre tre, quel poverino,
è di quattro più piccino.
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POESIA
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Quindi un numero, che è “d”,
va cercato lì per lì:
tre alla d, a quattro uguale,
qui risulta tal e quale
e il “d” con emozione
qui si chiama dimensione
della curva, detta in breve
(ma che gel!) “fiocco di neve”;
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POESIA
7/9
questa fredda dimensione
osserviam con attenzione:
decimal tra uno e due
resta sempre sulle sue;
più di uno ha dimensione,
ma di due è in defezione:
non ricoprirà il quadrato,
perché al due non è arrivato…
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POESIA
8/9
È un esempio niente male
della curva ch’è frattale;
per saper come si ottiene,
“frattalare” qui conviene,
ripetendo all’infinito
tutto ciò che s’è costruito.
A cura di Ivana Niccolai
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POESIA
9/9
La “foresta” del frattale
non è simbolo di male,
bensì quello d’avventura
sulla strada di cultura.
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Dimensione della curva di
Koch
Utilizzando,ad esempio, Excel, si può
calcolare la dimensione “d” della curva
frattale di von Koch:
d = 1,2618595071…
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TABELLA di osservazione dei vari stadi della
costruzione del “fiocco di neve” di Koch
“PUNTE
esterne” che si
aggiungono di
volta in volta
“PUNTE
esterne” totali
della figura
STADIO
ZERO:
PARTENZA
3
1
3
3
PRIMO
STADIO: 3
3+3=6
1/3
12
1/3 * 12 = 4
(4/3 * 3 = 4)
12 + 6 = 18
1/9
48
1/9 * 48 =16/3
(4/3 * 4 =16/3)
SECONDO
STADIO: 12
MISURA
DEL
LATO
della
figura
LATI
totali
della
figura
PERIMETRO della figura
Ecc…
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METODI, TEMPI,
SOLUZIONI
ORGANIZZATIVE
•Metodo ludico-euristico, tenendo nella dovuta
considerazione anche la componente
dell’imprevisto nella didattica (mi riferisco alla
cosiddetta “serendipity”)
•Si stabiliscono due ore la settimana, per un
totale di 14 ore
•Lavori individuali e di gruppo in aula e nel
laboratorio d’informatica
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ATTIVITÀ DI VERIFICA
Compilazione, da parte di ogni alunno, di un
questionario, comprendente, tra l’altro, le seguenti
frasi da completare:
•Studiando il fiocco di neve di Koch ho imparato che
un frattale è …
•Ho eseguito le seguenti costruzioni con il logo: … e
con fractint:… usando queste procedure: …
•Insieme con i compagni (scrivi il loro nome): … ho
preparato la seguente tabella, osservando
attentamente i vari stadi della costruzione del
“fiocco di neve”: …
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ATTIVITÀ DI
AUTOVALUTAZIONE
Compilazione, da parte di ogni alunno, di un questionario,
predisposto dall’insegnante, comprendente, tra l’altro, le
seguenti domande:
•Hai incontrato difficoltà nello studio del “fiocco di neve” di
Koch? Quali? Ti occorrono altre spiegazioni dell’insegnante,
per capire l’argomento affrontato? Quali?
•Hai usato volentieri il logo e fractint? Sapresti utilizzare da solo
tali programmi? Hai collaborato volentieri con i compagni, nel
lavoro di gruppo? (Se sono nati disaccordi, spiegane i motivi)
•Quale tra questi giudizi: Sufficiente, Buono, Distinto, Ottimo,
ritieni di meritare, in base all’impegno speso e alle conoscenze
apprese?
A cura di Ivana Niccolai
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