Dalla felce al… fiocco di neve!
Alla scoperta delle configurazioni
nascoste della natura
31/08/2004
A cura di Ivana Niccolai
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Un frattale IFS: La felce
A cura di Ivana Niccolai
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Osserviamo una felce..


Una felce consiste in una serie di fronde,
disposte su entrambi i lati di un fusto
centrale. La stessa descrizione si applica
alle fronde.
In molte felci, anche le sottofronde hanno
lo stesso tipo di struttura delle fronde e
della felce stessa.
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Autosimilarità



La felce è autosimile, essendo composta di
copie di sé stessa in scala ridotta.
I matematici idealizzano l’autosimilarità
della natura, che è approssimativa, in
un’autosimilarità perfetta.
La felce è un frattale IFS (Iterated
Function System), cioè ottenuto iterando
un insieme di trasformazioni del piano.
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Idealizzazione dell’autosimilarità
della natura


I matematici studiano le configurazioni
naturali costruendo forme ideali, versioni
chiare delle strutture naturali, che sono
meno regolari.
I matematici idealizzano l’autosimilarità
della natura, che è approssimativa, in
un’autosimilarità perfetta.
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5
La felce del matematico

La felce del matematico ha una struttura
dettagliata anche a scale molto più piccole
di un atomo e perfino alla scala della più
piccola lunghezza significativa
dell’universo fisico, vale a dire la
lunghezza di Planck (1,616 * 10-35 m,
all’incirca 10 trilionesimi di trilionesimi di
trilionesimi di metro).
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Un frattale
IFS: Crystal
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Divisione della punta (1/2)

La causa principale delle configurazioni a
forma di felce è un fenomeno noto come
“divisione della punta”. Certe
combinazioni di umidità e temperatura
creano condizioni in cui le superfici piane
sono dinamicamente instabili.
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Divisione della punta (2/2)

Se su una superficie piana si sviluppa una
sporgenza, questa cresce più velocemente
delle altre regioni. La sporgenza diventa
sempre più grande fino a dare origine a una
gran quantità di nuove sporgenze più
piccole. E’ come un germoglio che si
sviluppa , la cui punta si divide
ripetutamente in due o più germogli più
piccoli (di qui il nome di “divisione della
punta”).
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Rottura di simmetria

L’intero processo della divisione della
punta, può essere visto, con l’occhio del
matematico, come una cascata di eventi di
rottura di simmetria, che rompono la
simmetria traslazionale di una superficie
piana.
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Dendrite


Il risultato della rottura di simmetria, nel
caso di un cristallo di ghiaccio in
formazione, è una configurazione, simile a
una felce, nota come dendrite.
Il fiocco di neve, quanto meno per alcuni
scopi, si può utilmente considerare come
un frattale.
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Compito della matematica


Nella scienza, la matematica ha il compito
importante di astrarre caratteristiche
semplici da un mondo complicato.
Analizzandole, si può scoprire la semplicità
che sta alla base delle leggi naturali.
Per comprendere il fiocco di neve è sensato
astrarre le sue caratteristiche semplici.
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12
Modellizzazione matematica

Ai fini di una modellizzazione matematica,
possiamo supporre che il fiocco di neve
abbia una simmetria esagonale perfetta e
che presenti configurazioni di
ramificazioni frattali.
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13
Il fiocco di neve e la sua
modellizzazione matematica
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Confronto tra frattale e fiocco di
neve


Un frattale è un’astrazione matematica; un
fiocco di neve è un oggetto reale.
Anche i fiocchi di neve hanno quella
caratteristica combinazione di ordine e
disordine: l’ordine è la simmetria
esagonale e il disordine sono le complicate
configurazioni ramificate a forma di felce.
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La bellezza del fiocco di neve
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16
Il fascino dei fiocchi di neve


E’ proprio la combinazione di simmetria e
irregolarità a rendere tanto affascinanti i
fiocchi di neve.
Verso la fine del secolo scorso Martin
Golubitsky si rese conto che esiste un
modo semplice di combinare simmetria e
caos in un unico sistema matematico.
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Simmetria e caos

La simmetria e il caos non sono
mutuamente esclusivi, ma sono le due
facce di una stessa moneta dinamica. Dal
punto di vista matematico, la simmetria e il
caos possono coesistere e, quando lo fanno,
creano bellissimi attrattori simmetrici.
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Creazione di configurazioni
dendritiche


Se si scrivono le equazioni dinamiche con
la simmetria esagonale del fiocco di neve,
scegliendo i coefficienti in modo tale che la
dinamica sia caotica, si possono ottenere
attrattori caotici con simmetria esagonale.
Rimpolpando un po’ le equazioni
matematiche , con un caos simmetrico, si
possono creare configurazioni dendritiche.
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Immagine di attrattori creati con
equazioni a simmetria esagonale
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Biforcazione


La parola “catastrofe” non è più di moda;
oggi si preferisce usare il termine più
neutro “biforcazione”.
Se lo stato di un sistema cambia in maniera
cospicua per effetto di piccoli cambiamenti
esterni, gli scienziati dicono che si è
realizzata una biforcazione.
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Un particolare tipo di
biforcazione


In natura, la formazione della neve è una
biforcazione nello stato di un sistema di
molecole d’acqua.
La formazione dei fiocchi di neve è legata
a un importante tipo di biforcazione: il
congelamento.
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Transizioni di fase



Un piccolo cambiamento di temperatura
produce un grosso cambiamento qualitativo
nella struttura molecolare e nelle proprietà
fisiche dell’acqua.
I principali cambiamenti dello stato fisico
della materia si chiamano “transizioni di
fase”.
La cristallizzazione è una transizione di
fase.
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Fattori che determinano le varie
forme dei cristalli di ghiaccio (1/2)
Condizioni atmosferiche diverse portano a
cristalli di ghiaccio di forme diverse e i fattori
più importanti, che determinano tale varietà di
forme, sono:
 la temperatura;
 la sovrassaturazione (che riguarda la
quantità di vapore acqueo presente
nell’aria), cioè l’umidità disponibile.
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Fattori che determinano le varie
forme dei cristalli di ghiaccio (2/2)
Inoltre:
 I valori numerici di questi fattori
determinano la forma generale del
cristallo;
 i dettagli minuti dipendono dalle
condizioni caotiche nelle nubi.
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Una grande varietà di forme


I cristalli di ghiaccio presentano una grande
varietà di forme.
La più semplice, la lamina esagonale, si
forma a temperature appena al di sotto del
punto di congelamento (tra 0° e –3°) e a
bassi livelli si sovrassaturazione (meno del
30%)
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Cristalli dendritici simili a felci
(1/2)

Sempre tra 0° e –3°, ma a livelli più alti di
sovrassaturazione (al di sopra del 30%), la
simmetria traslazionale di un bordo piatto
si rompe e la dinamica va incontro a una
biforcazione; le piccole irregolarità
vengono amplificate e sul bordo si formano
punte e si verifica un processo simile alla
divisione della punta, che si ha nei
processi di sviluppo frattali.
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Cristalli dendritici simili a felci
(2/2)

La regolarità geometrica del reticolo
cristallino fa sì che questo processo di
sviluppo frattale generi cristalli dendritici
simili a felci.
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Presentazione di alcune forme dei
cristalli di neve (1/2)



Intorno al livello di sovrassaturazione del
30%, si trovano molte altre forme di
cristalli di ghiaccio, a seconda della
temperatura.
Tra – 3° e – 5° i cristalli sono a forma di
aghi
Tra – 5° e – 8° il ghiaccio forma prismi
esagonali cavi
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Presentazione di alcune forme dei
cristalli di neve (2/2)


Tra – 8° e – 12° e di nuovo tra – 16° e –24°
si osservano sottili lamine con decorazioni
simmetriche
Tra – 12° e – 16° ricompaiono i cristalli
dendritici e, a temperature più basse (- 24°)
ricompaiono i prismi cavi.
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Affermazione di Jan Stewart

Ian Stewart, professore di matematica
all’Università di Warwick, in Gran Bretagna, nel
suo libro “Che forma ha un fiocco di neve?”,
Bollati Boringhieri Editore, ha affermato:
“Laddove il bambino vedeva una felce su una
finestra ghiacciata, oggi l’adulto vede lo sviluppo
frattale di molecole cristalline e la simmetria
nascosta delle forze della natura”.
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Il fiocco di neve di Koch
è un frattale L-SYSTEM
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L-SYSTEM (Lindenmayer-System)

Lindenmayer è il nome del biologo
olandese che nel 1968 inventò una
formalizzazione (L-SYSTEM) della
descrizione del processo di generazione dei
rami delle piante, adatta per essere
implementata con programmi di computer
graphics.
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Costruzione del fiocco di neve di
Koch
1/2

Si parte da un triangolo equilatero e si
incolla un triangolo più piccolo, di lato pari
a 1/3 del lato originario, sul segmento
centrale di ogni lato, ottenendo una stella a
sei punte.
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Costruzione del fiocco di neve di
Koch
2/2

Si ripete, poi, la procedura con altri 12
triangoli, di lato pari a 1/9 del lato
originario, poi con altri 48 triangoli di lato
pari a 1/27 del lato originario e così via…
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Perimetro infinito del fiocco di
neve di Koch

La forma del fiocco di neve di Kock ha un
perimetro infinito (ogni stadio della
costruzione ne moltiplica la lunghezza per
4/3)
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Il fiocco di neve di Koch assomiglia a
un fiocco di neve vero?

Il fiocco di neve, inventato alla fine del
secolo XIX dal matematico svedese Helge
von Koch, è troppo regolare, per
assomigliare a un fiocco di neve vero, ciò
nonostante coglie alcune caratteristiche
della sua forma ad albero, perché tali
caratteristiche fanno ricordare ai
matematici la simmetria esagonale e le
configurazioni di ramificazioni frattali.
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